格点与面积-小学奥数知道点详解.doc

如下图，在一张由一组水平线和一组垂直线组成方格纸上，如果任意相邻平行线之间的距离都相等，我们就把这样两组平行线的交点称为格点（如下图中的红点），把图中相邻两个格点的距离看着一个单位长度，把每个小正方形的面积看作一个面积单位（如图中带阴影的方格）一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形，本讲就，学习求格点多边形的面积问题这种格点多边形的面积计算起来很方便，一般有三种方法：① 规则的格点多边形，可以运用多边形的面积公式求出面积；② 一些简单而又特殊的格点多边形，可以通过数格子求出面积；③ 较复杂的不规则图形，一般用皮克公式计算其中数格子的方法比较原始，很少用任意格点多边形，只要数出多边形周界上的格点的个数及图内格点的个数，就可用下面的皮克公式算出面积：格点多边形面积=内格点个数 + 边格点数÷2-1这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”，这是一个实用而有趣的定理皮克定理的证明：将格点图中的每个点看作以这个点为圆心、以单位面积正方形的边长的一半为半径的圆格点多边形图内的点对应的圆的面积都是图形面积的一部分；而在多边形边界上的点对应的圆的面积只有一半属于这个多边形，且多边形每个角上的圆属于图内的面积都不到半个圆，少了其外角对应的扇形面积，因任意多边形的外角和是360度，正好是个整圆，所以周界上圆在图内的面积为：周界格点数÷2-1所以格点多边形面积为：图内格点个数+周界格点数÷2-1。

皮克定理的证明过程比较抽象，孩子难以理解本讲只要求孩子初步认识格点面积公式，掌握格点面积公式的应用，到初中还会进一步学习皮克定理例1：求下面各图形的面积解析】：图①是个平行四边形，周界上有10个格点，图内有4个格点，根据格点面积公式，图①的面积为：4+10÷2-1=8；图②是个梯形，周界上有8个格点，图内有2个格点，根据格点面积公式，图②的面积为：2+8÷2-1=5；图③是个三角形，周界上有6个格点，图内有4个格点，根据格点面积公式，图③的面积为：4+6÷2-1=6；以上3个图形都是规则图形，但四年级学生还没有学过这3种图形的面积计算，不能用面积公式计算图④是个六边形，周界上有8个格点，图内有9个格点，根据格点面积公式，图④的面积为：9+8÷2-1=12这四个图形也可以用数格子的方法计算面积例2：下图中喇叭、小猫、小狗的面积各是多少？【解析】：这三个图形都适合用格点面积公式计算面积喇叭周界上有8个格点，图内没有格点，面积为：0+8÷2-1=3；小猫周界上有20个格点，图内有2个格点，面积为：2+20÷2-1=11；小狗图案可以看着是两个格点多边形组成，先分别求出每个格点多边形的面积，再求出总面积。

躯干面积：0+12÷2-1=5；尾巴面积：0+4÷2-1=1；总面积：5+1=6像小狗图案这样，由两个或两个以上独立的格点多边形拼成的多边形，要求其总面积，一般先求出每个独立多边形的面积，再求和，以免发生漏数多个独立图形公共格点的错误例3：下面是一个漂亮礼盒的平面图，请你求出它的面积解析】：这个礼盒平面图是由3个独立的格点多边形组成的左边三角形面积可以用皮克公式求出：4+4÷2-1=5；右边三角形面积可以用皮克公式求出：2+6÷2-1=4；下面长方形长为6、宽为3，可以直接用长方形面积公式算出面积：6×3=18；所以上图总面积为：5+4+18=27例4：你知道下图中共有多少个图形吗？每个图形的面积各是多少？【解析】：这里所说的图形既包括凸多边形，也包括凹多边形图中有8个三角形： AEC,AED,ADC,ABD,ABC,EBD,EBC,DBC；有3个四边形：ADBC,ABDC,ABCD可以用皮克公式算出每个图形的面积，例如四边形ADBC的面积为：21+8÷2-1=24其它图形的面积：（略）。