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一、非线性光学及其现象光学克光学克尔效效应：一种三阶非线性光学效应普通克尔效应是指介质在电场作用下，沿平行和沿垂直于电场方向偏振的光波的折射率n〃和n寑发生不同的变化,且它们之间的差值Δn正比于电场的二次方，从而出现感应双折射现象通常，所加电场是直流或低频交变电场当所加的是光频电场时，如果光足够强 ,也会发生同样的现象此时Δn正比于作用在介质中的激光束的光强这称为光学克尔效应1产生光学克尔效应的非线性介质可以是液体、固体、气体或原子蒸气产生的物理机制、效应的强弱都可以很不相同有时也可以同时来源于几种不同机制常见的物理机制有：①在光的作用下能级粒子数分布发生了改变这适用于有分立能级的原子、分子或固体体系②在光的作用下电子云分布发生了变化这适用于原子或固体③光场感生的电致伸缩效应这适用于液体、固体和高压气体④光场引起分子取向发生变化适用于由各向异性分子组成的有机液体和溶液、分子晶体和液晶等⑤光场引起分子排列发生变化适用于例如液态的惰性元素等通过对于来自光学克尔效应的双折射的测量，能够有效地测定各种介质的三阶非线性极化率由于不同介质产生的光学克尔效应有着不同的机制，通过光学克尔效应的研究还可以进行各种不同物质的物性研究，测量不同的微观参量，例如分子取向的弛豫时间等。

2•物质在强光如激光束的照射下，其光学性质发生了变化．而这种变化又反过来影响了光束的性质研究这种光与物质的相互作用就是非线性光学的内容•非线性光学效应来源于分子与材料的非线性极化 3•在电磁场作用下物质中的电荷位移能力称为电极化率当较弱的光电场作用于介质时，介质的极化强度P与光电场E 成线性关系：•其中 ε0为真空介电常数 χ为介质的线性极化系数  4•当作用于介质的光为强光(如激光)时，介质的极化将是非线性的，在偶极近似的情况下，原子或分子的微观极化关系可表示为：•其中第一项为线性项，第二项以后为非线性项，α为分子的线性光学系数(一阶非线性光学系数)，β、γ分别为分子的二阶和三阶非线性光学系数(又称分子的二阶或三阶极化率)，  5•对于一个由多个原子或分子组成的宏观样品来说，外部光电场作用产生的极化强度可表示为：•其中χ(n)的含义与α．β、γ类似χ(n)是(n+1)阶张量，由张量定义可知，当分子和分子集合体具有中心对称性时，n为偶数项的系数就为零，因此，只有那些非中心对称的分子和晶体，β和χ(2)不为零，才能显示出二阶非线性光学效应而中心对称的分子和晶体，则显示出三阶非线性光学效应。

   6非线性光学材料的分类•氧化物和铁电晶体(如铌酸锂、磷酸二氢钾和偏硼酸钡等)、•Ⅲ--Ⅳ族半导体(如砷化镓等) •有机聚合物材料 7•矿物氧化物和铁电单晶这类材料都有良好的光学透过和机械坚硬度．主要通过自然界中材料的筛选来满足不同实际需要但是，这类材料往往难以批量生长出大单晶；其微观结构与宏观非线性光学性能关系的理论研究方面尚有未解决的问题给其新材料探索带来难度•非线性光学材料的研究主要集中在无机晶体材料上，有的已得到了实际应用，如磷酸二氢钾(KDP)、铌酸锂(LiNbO3 )、磷酸钛氧钾(KTP)等晶体在激光倍频方面都得到了广泛的应用，并且正在光波导，光参量振荡和放大等方面向实用化发展 8•III—V族半导体材料它们在 “限制材料”(confined structures)方面有很好的前景． III—V族半导体材料的所谓 “带隙工程”(bandgap engineering)技术是通过调节材料的能隙，有效地改变电子的跃迁几率，从而控制材料的非线性光学响应然而，这类材料在实际应用中存在共振条件限制：即激光运作波长通常在量子阱激子能级附近． 9•有机非线性光学材料•有机晶体在合成和生长方面的特性使这类材料最有机会成为可分子设计的光电功能料．而且，有机材料在快速非线性光学响应、大尺寸单晶生长 三次谐波产生等方面都极富吸引力． 10•有机非线性光学材料具有无机材料所无法比拟的优点：•(1)有机化合物非线性光学系数要比无机材料高1—2个数量级；•(2)响应时间快；•(3)光学损伤阀值高；•(4)可以根据要求进行分子设计。

•但也有不足之处：如热稳定性低、可加工性不好，这是有机NLO材料实际应用的主要障碍 11•典型的有机二阶非线性光学材料包括：•(1)尿素及其衍生物；•(2)硝基苯衍生物，如MAP(2，4一二硝基苯丙氨酸甲酯)、MNA(2一甲基4硝基苯胺)、CNA(2一氯4．硝基苯胺)等；•(3)硝基吡啶氧类，如POM(3一甲基4．硝基吡啶氧)；•(4)二苯乙烯类，如MMONS(3一甲基4．甲氧基4 一硝基二苯乙烯)；•(5)查耳酮类，如BMC(4一溴4 一甲氧基查耳酮)；•(6)苯甲醛类，如MHBA(3一甲氧基4．羟基苯甲醛)；•(7)有机盐类 1213•高分子非线性光学材料和金属有机非线性光学材料就是针对有机NLO材料的热稳定性低、可加工性不好等不足应运而生的高分子NLO材料在克服有机材料的加工性能不好和热稳定性低等方面是十分有效的，若在非线性效应方面再得以优化，将是一类很有前景的新材料 14• 非线性光学材料的实用化应具备以下几个条件；•①非线性极化率较大，转换率高；•②光损伤阈值高；•③光学透明而且均一的大尺寸晶体；•④在激光波段吸收较小，•⑤易产生位相匹配，•⑥化学及热稳定性较好，不易吸潮•⑦制备工艺简单，价格使宜。

15•高分子非线性光学材料的特点概括为以下几点：•①响应速度快，低于10-12秒•②非常大的非共振光学效应；•③低的直流介电常数，使器件要求小的驱动电压；•④吸收系数低，仅为无机晶体及化合物半导体的万分之一左右；•⑤优良的化学稳定性及结构稳定性，系统不需要环境保护及低温设备•⑥激光损伤阈值高；•⑦机械性能好且易于加工等等 16非线性光学效应的理论 •非线性光学材料的理论模型有：•非谐振子模型、•键参数模型、•双能级模型、•键电荷模型•电荷转移模型等•阴离子基团理论、•双重基元结构模型、•二次极化率矢量模型•簇模型理论 171819第5章 三阶非线性光学效应 •5.1 克尔效应与自聚焦现象克尔效应与自聚焦现象•5.2 三次谐波产生三次谐波产生•5.3 四波混频四波混频 •5.4 双光子吸收双光子吸收 •5.5 受激喇曼散射（受激喇曼散射（SRS）） •5.6 受受 激激 布布 里里 渊渊 散散 射射（（SBS）） •5.7 受激光散射现象的一般受激光散射现象的一般考虑考虑 • 205.1 克尔效应与自聚焦现象•   5.1.1 克尔效应•            1. 克尔效应•            克尔（Kerr）在1875年发现: 线偏振光通过外加电场作用的玻璃时, 会变成椭圆偏振光, 如图5.1 - 1所示, 当旋转检偏器时, 输出光不消失。

作用下, 由原来的各向同性变成了光学各向异性, 外加电场感应引起了双折射, 其折射率的变化与外加电场的平方成正比, 这就是著名的克尔效应 21图5.1 - 1 克尔效应实验示意图 22•           从非线性光学的角度来看, 克尔效应是外加恒定电场和光电场在介质中通过三阶非线性极化率产生的三阶非线性极化效应 假定介质受到恒定电场E0和光电场Eexp(iωt)+c.c.的作用, 按(1.1 - 39)式和(1.1 - 41)式有 (5.1 - 1) 23•            这表示由于三阶非线性极化的作用, 恒定电场的存在使得介质的介电张量元素        改变了      , 且 (5.1 - 2)        因子3是由于考虑了三阶极化率张量元素的本征对易对称性出现的24•            2. 光克尔效应•            现在进一步讨论用另一光电场代替恒定电场E0的光克尔效应 假定频率为ω的光电场作用于介质的同时, 还有另一束任意频率为ω′的光电场作用于该介质, 则由于ω′光电场的作用, 会使介质对ω光波的作用有所改变 通过三阶非线性极化效应, 将产生与频率为ω′光电场平方有关的三阶非线性极化强度的复振幅P(3) (ω)为(5.1 - 3) 25•假定频率为ω的光波沿z方向传播, 由(5.1 - 3)式可得(5.1 - 5) 对于偏振方向与频率ω‘光波相平行的光电场来说：对于偏振方向与频率ω‘光波相垂直的光电场来说：克尔效应可以提供一种改变光波偏振状态的方法。

例如，通常使用的非线性介质硝基苯，没有恒定电场时，在光学上是各向同性的当外加恒定电场后，它就具有各向异性晶体的性质这时，与E平行和垂直的光波通过它是，便产生相位差：因为，△n与E02成正比，所以相位差可以通过改变E0调节，其结果可以使得入射线偏振光的振动面转过90度，或者使其变为椭圆偏振光图5.1 - 2  光克尔效应开关这种开关的速度取决于样品对激光场的响应时间，一般很短，可达ps28•    5.1.2 激光束的自聚焦现象•        上述的光克尔效应中，光波的频率ω与产生效应的光波频率ω’不相同，实际上，一束强的光波本身就能起到产生该效应的光波作用•        自聚焦是感生透镜效应, 这种效应是由于通过非线性介质的激光束的自作用使其波面发生畸变造成的 •         现假定一束具有高斯横向分布的激光在介质中传播, 此时介质的折射率为其中, Δn(|E|2)是由光强引起的折射率变化 如果△n是正值，由于光束中心部分的光强较强，则中心部分的折射率变化较边缘部分的变化大，因此，光束在中心比边缘的传播速度慢，结果是戒指中传播的光束波面越来越畸变，如图所示这种畸变好像是光束通过正透镜一样，光线本身呈现自聚焦现象。

图5.1 - 3 光束在非线性介质中的光线路径             （虚线为波面, 实线为光线） 30        但是，由于具有有限截面的光束还要经受衍射作用，所以只有自聚焦效应大于衍射效应时，光才表现出自聚焦现象        粗略地说，自聚焦效应正比于光强，衍射效应反比于光束半径的平方，因此，由于光束收自聚焦作用，自聚焦效应和衍射效应均越来越强如果后者增强的较快，则在某一点处衍射效应克服自聚焦效应，在达到某一最小截面（焦点）后，自聚焦光束将呈现出衍射现象但是在许多情况下，一旦自聚焦作用开始，自聚焦效应总是强于衍射效应，因此光束自聚焦的作用一直进行着，直至由于其他非线性光学作用使其终止31       使自聚焦作用终止的非线性光学作用有：受激喇曼散射、受激布里渊散射、双光子吸收和光损伤等         当自聚焦效应和衍射效应平衡时，将出现一种有趣的现象，即光束自陷，表现为光束在介质中传输相当长的距离，其光束直径不发生改变实际上，光束自陷是不稳定的，因为吸收或散射引起的激光功率损失都可以破坏自聚焦和衍射之间的平衡，引起光束的衍射        与自聚焦效应相反，如果由光强引起的折射率变化△n是负值，则会导致光束自散焦，趋向于使高斯光束产生一个强度更加均匀分布的光束，这种现象为光模糊效应。

32•            光强分布引起折射率变化还会造成光的群速度变化, 图5.1 - 4表示一时域高斯光脉冲在非线性介质中传播一定距离后, 脉冲后沿变陡的现象 这是由于脉冲峰值处折射率大, 光速慢， 而在后沿, 光强逐渐下降, 光速逐渐增大, 以致后面部分的光“赶上”前面部分的光, 造成光脉冲后沿变陡 这就是光脉冲的自变陡现象 图5.1 - 4 光脉冲在非线性介质中的自变陡现象 33•           自聚焦现象的研究始于1964年, 促使对这种现象的研究主要有以下两个因素: •         （1） 高功率密度激光在透明介质中传播时会发生所谓的丝状破坏•         （2） 在研究受激喇曼散射过程中观察到一些反常现象, 如许多固体和液体中, 受激喇曼散射有一个非常尖锐的阈值, 有异常高的增益, 前后向增益不对称, 有反常的反斯托克斯环等经研究表明，这些现象都与激光束自聚焦现象相关 34•           引起光束自聚焦的原因是光致折射率的变化, 而光致折射率变化的物理机制是多种多样的, 归纳起来主要有: •         （1） 强光场使组成介质的分子或原子中的电子分布发生变化, 这导致介质宏观电极化的变化, 从而使折射率发生变化。

引起折射率变化的响应时间fs量级 •         （2） 对含有各向异性分子的液体（如CS2、 苯及其衍生物）来说, 由于各向异性分子在不同方向上有不同的分子极化率, 这时与分子取向有关的高频克尔效应是引起折射率变化的主要原因引起折射率变化的响应时间ps量级 35•         •         （3） 在强光场作用下的电致伸缩效应使介质密度发生起伏, 从而引起折射率发生相应的变化引起折射率变化的响应时间ns量级 •         （4） 由于各种介质对入射光束均存在着不同程度的吸收, 导致介质温度升高, 从而引起介质折射率变化引起折射率变化的响应时间s量级 36•    5.1.3 自聚焦的稳态理论•            考虑到三阶非线性效应, 在光场作用下各向同性介质的介电常数发生变化, 总的相对介电常数为(5.1 - 15) 式中, εr为线性相对介电常数, ε2为非线性相对介电常数系数, |E0|2为光电场振幅平方 相应的极化强度可以表示成 (5.1 - 16) 37•由此, 在(5.1 - 15)式中, (5.1 -17)介质的折射率为(5.1 - 18) 式中 (5.1 - 19) 38•             是线性折射率, Δn是非线性折射率。

 因为通常n0>>Δn, 所以由(5.1 - 18)式可得 (5.1 - 20) 若令 (5.1 - 21) 则 (5.1 - 22) 通常称n2为非线性折射率系数 39考虑上述非线性效应后，麦克斯韦方程可以写成：由此得到波动方程：假定光束沿z方向传播，振动方向为x方向，电场的表示式为：考虑到慢变振幅近似，波动方程为：如果没有非线性，上式就变为描述透明介质内线性光束传播规律的方程，它的解是一组完全的高斯模：41图5.1 - 5  高斯光束进入自聚焦介质（虚线表示无自聚焦时光束的半径） 假定高斯光束进入介质处的坐标为z=0（如图），则z用（z-zmin）代替42在z=0处输入光束的场强为：令z=0处的输入光束半径为d：在z=0处输入光束的场强简化为：引入聚焦参数：在z=0处输入光束的场强变为：根据θ的定义，对于θ=0的光束，其束腰在z=0处如果θ>0，即zmin>0，表明在z=0处的输入光场是收敛的，而对于θ<0的光束，则是发散的我们在z=0附件将光束强度按级数展开，并保留最初三项，可以得到光束的截面积：假定光束聚焦处的光束面积为零，可求得自聚焦焦点离输入平面的距离：P是输入光束的总功率：Pc称为临界功率：如果输入光束原来是收敛的，则当总功率P超过Pc是，它将突然在zf处聚焦。

自聚焦的临界功率与光束起始的收敛程度（即聚焦参数）及起始光束直径d无关46如果光束起始是发散的，则自聚焦的临界功率为：这是自聚焦的临界功率与自聚焦参数θ有关，光束起始发散愈厉害，临界功率越大例如，在二硫化碳液体中，对于波长为1微米的激光，自聚焦临界功率约为2*104W，因此，在中等高的功率水平上也会发生自聚焦•   5.1.5 光束的自相位调制•            假定输入光束为均匀平面波, 则振幅函数满足的方程可以写为 (5.1 - 58) 该方程的近似解为 (5.1 - 60) 这里         表示输入光场幅度 48非线性折射率造成的附加相移为：因此，瞬时频率为：49图5.1 – 8  自相位调制和的时间关系脉冲前沿：脉冲后沿：脉冲峰值处：最大频移发生在功率曲线的拐点处，即   图5.1 - 9 考虑响应时间后自相应调制的Δφ(t)和频谱图 (a) Δφ(t)相对光脉冲迟后； (b) 频谱图以以上上讨论只只对输入入脉脉冲冲比比介介质非非线性性响响应时间大大很很多多的的情情况况才才是是正正确确的的如如果果脉脉冲冲宽度度与与介介质非非线性性响响应时间同同一一数数量量级，，则附附加加相相移移的的值不不能能瞬瞬时跟跟上上光光强的的变化化，，需需要要迟后后一一段段时间，，其其结构构是是光光谱结构构不不再再对称称，，大大部部分分能能量量集集中中到到斯斯托托克克斯斯分分量量一一边，，反反斯斯托托克克斯斯分分量量的的能能量降低了。

量降低了515.2 三次谐波产生 •    5.2.1 平面波的三次谐波产生•          设有一束频率为ω的线偏振光作用于非线性介质, 光波电场为 (5.２ - １) 式中, 复振幅E(ω)为 (5.２-２) 52•            其中, E0、 a(ω)和n1分别为入射基波的振幅、 振动方向的单位矢量和折射率 由三阶非线性效应产生的三次谐波极化强度的复振幅为 (5.２ - ３) 按(３.３ - ２３)式, 三次谐波光电场满足的耦合波方程为(5.2 - 4) 53•            式中k3=3ωn3/c 组合(5.２ - ２)式、 (5.２ - ３)式和(5.２ - ４)式, 并令(5.２ - ５) (5.２ - ６) 可得  (5.２ - ７) 54•在小信号近似情况下, 可得三次谐波光电场为 (5.２ - ８)  (5.２ - ９) 555.3 四 波 混 频 •    5.3.1 四波混频概述•           四波混频是介质中四个光波相互作用所引起的非线性光学现象, 它起因于介质的三阶非线性极化 •            四波混频相互作用的方式一般可分为如图5.3 - 1所示的三类。

图5.3 - 1 四波混频中的三种作用方式 56• 1） 三个泵浦场的作用情况•         在这种情况下, 作用的光波频率为ω1 , ω2和ω3, 得到的信号光波频率为ωs, 这是最一般的三阶非线性效应 • 2） 输出光与一个输入光具有相同模式的情况•             在这种情况下, 例如输入信号光为Es0=E30, ωs=ω3, 则由于三阶非线性相互作用的结果, E3将获得增益或衰减 •  3） 后向参量放大和振荡•            这是四波混频中的一种特殊情况, 其中两个强光波作为泵浦光场, 而两个反向传播的弱波得到放大这与二阶非线性过程中的参量放大相似，其差别只是这里是两个而不是一个泵浦光场，两个弱光分别是信号光波和空闲光波 57在四波混频中，相位匹配时非常重要的条件，因为它可以大大地增强信号光波的输出由于四波混频在所有介质中都能容易地被观测到，而且变换形式很多，所以它可以得到许多很有意义的应用例如，利用四波混频可以把可调谐相干光源的频率范围扩展到红外和紫外；在材料研究中，共振四波混频技术是非常有效的光谱和分析工具58•  5.3.2 简并四波混频（DFWN）理论•            1. 简并四波混频作用•            简并四波混频是指参与作用的四个光波的频率相等。

 这时, 支配这个过程的三阶非线性极化强度一般有三个波矢不同的分量: (5.３ - 1) 59•式中 简并四波混频的输出可以利用耦合波方程求解其四波相互作用也可以理解为如下的全息过程：三个入射光波中的两个相互干涉，形成一个稳定光栅，第三个光波被光栅衍射，得到输出波60         图5.3 - 2 与简并四波混频过程相应的光栅图 例如：考虑到k1=-k1’,特殊情形下的三个稳定光栅根据衍射理论可以得到三个衍射波，其波矢分别为：ks=k1+k1’-ki；ks=k1-k1’+ki；ks=-k1+k1’+ki输出光波ks=-ki总是满足相位匹配61上面的分析指出了简并四波混频与全息过程的相似性，但必须明确他们之间存在的根本差别首先，普通全息的记录过程是通过参考光和信号光干涉、对记录介质曝光，并调制其透明度实现的，所以，参考光与信号光必须同频率，否则就会形成不稳定的运动光栅，在曝光过程中会将全息图擦除掉而在四波混频过程中，相互作用的光波则不一定同频率第二，四波混频过程中的四个光波是通过三阶非线性极化率发生相互作用的，在一般情况下，三阶极化率是一个张量，它可以使不同偏振的光之间产生耦合。

62•            2. 非共振型简并四波混频过程•            在非共振型四波混频过程中, 光场将引起介质折射率的变化 通常所采用的介质, 大致分为两类: 一类对本地场响应（光克尔效应［13］ ）, 另一类对非本地场响应（热响应［12］ 、 光折变效应［13, 14］ 、 电致伸缩效应［15］等） 前者可以利用非线性极化率表征, 后者不能直接利用非线性极化率表征 这些介质中的四波混频过程都可以通过耦合波方程描述 •  63      图5.3 - 3 简并四波混频结构示意图•            我们讨论的DFWM结构如图5.３ - ３所示, 非线性介质是透明、 无色散的类克尔介质, 三阶非线性极化率是χ(3)  在介质中相互作用的四个平面光波电场为 (5.３ - ３) 64•            其中, E1、 E2是彼此反向传播的泵浦光, E3、 E4是彼此反向传播的信号光和散射光 一般情况下, 信号光和泵浦光的传播方向有一个夹角, 它们的波矢满足（5.３ - ４） 如果这四个光波为同向线偏振光, 则可以根据非线性极化强度的一般关系, 得到相应于某一分量的感应非线性极化强度, 例如: （5.３ - ５） 65•           在考虑到慢变化振幅近似的条件下, 介质中光电场复振幅的变化规律满足耦合波方程, 即  (5.３ - ６)66• 1） 小信号理论•            如果介质中的四个光电场满足|E1(r)|2、|E2(r)|2>>|E3(r)|2、 |E4(r)|2, 就可以忽略泵浦抽空效应。

 在这种情况下, 只需考虑E3(r)和E4(r)所满足的方程即可 假设E3(r)和E4(r)沿着z轴彼此相反方向传播,相应的耦合波方程为(5.３ - ８) 67•            因为三阶极化率是实数, 所以右边第一项仅影响光电场的相位因子, 对能量的变化没有贡献, 故可以定义(5.3  -  9) 68•            并可以得到E′3 (z)和E′4 (z)满足的方程 为了方便起见, 在下面求解E′3 (z)和E′4 (z)的过程中, 我们略去右上角的撇号, 将E′3 (z)和E′4 (z)满足的方程改写为  (5.３ - １０) 式中  (5.３ - １１) 69•在这里已考虑到k3=k4=k 假设边界条件为 (5.３ - １２) 可以解得 (5.３ - １３) 70•在两个端面上的输出光电场为  (5.３ - １４) 71• 由此可以得到如下结论: •            (1) 在输入面(z=0)上, 通过非线性作用产生的反射光场E4(0)正比于入射光场E*30  因此, 反射光E4(z<0)是入射光E3(z<0)的背向相位共轭光 •            (2) 若定义相位共轭（功率）反射率为 (5.3 - 15) 则由(5.3 - 14)式得到 (5.3 - 16) 在gL较小的情况下，随着gL的增大，R也增大。

如果介质长度一定，则g越大，R越大g的大小反映了泵浦光对散射光耦合的强弱72•           (3) 由(5.３ - １６)式可见, 当|g|L≈π/2时, R→∞, 这相应于振荡的情况 在这种情况下, E3和E4在介质中的功率分布如图5.３ - ４所示图5.３ - ４ 振荡时, 介质中E3和E4的功率分布  73图5.３ - 5  DFWN的放大特性 当(3π/4)>|g|L>(π/4)时, R>1 此时， 可以产生放大的反射光, 在介质中E3和E4的功率分布如图5.3 - 5所示  74• 2） 大信号理论［16, 17］ •           在DFWN过程中, 如果必须考虑泵浦抽空效应, 就应当同时求解 (5.３ - ７)式的四个方程, 这就是大信号理论 •           我们讨论的ＤＦＷＭ作用结构如图5.３ - ６所示, E1、 E2是彼此反向传播的泵浦光, E3, E4是彼此反向传播的信号光和相位共轭光, 光电场仍采用(5.3 -3)式的形式 75      图5.３ - 6  非共线DFWM结构示意图 76•            为了分析简单起见, 我们假设四个光电场同向线偏振, 并且忽略光克尔效应引起的非线性折射率变化项。

 在这种情况下, (5.３ - ７)式变为(5.３ - 17) 77•            在求解这些方程时, 为了克服有多个坐标量的困难, 我们引入共同坐标z 对于平面波而言, 有(5.３ - １８) 而由图5.３ - ６, 又有                         cosθ1=cosθ3=cosθ                          cosθ2=cosθ4=cosθ 78•于是, (5.３ - １７)式可以改写为 （5.3 - 19） 79。