第 43 讲 空间角(第3课时-求面面夹角).doc

第 43 讲 空间角-求面面夹角 （第3课时）考点热点一定掌握！3. 求面面夹角⑴ 定义二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫二面角的两个面二面角的平面角：从二面角的棱上任一点在它的两个面内各引一条垂直于棱的射线，这两条射线所成的角，叫做这个二面角的平面角⑵ 求面面夹角的步骤如下：①找出或作出二面角的平面角；②证明其确实是所求的面面夹角；③计算平面角的值，一般均在三角形中进行⑶ 作二面角的平面角的方法有三种：ⅰ 根据定义：过棱上一点分别在两个平面内作垂直于棱的射线所成的角也可以在棱上取两点，过每一点在不同的面内作棱的一条垂线，这两垂线所成的角ⅱ 作垂面：过棱上一点作垂直于棱的平面与两个面的交线所成的角ⅲ 根据三垂线定理：过一个面内一点分别作另一个面的垂线和棱的垂线，两垂足的连线与棱的垂线所成的角⑷ 求面面夹角常用的方法如下：①平面角法（这是常规解法，但有时较繁要求面面夹角，只要求出二面角的平面角即可。

②利用异面直线上两点的距离公式的变形 来求③利用面积射影公式来求设棱锥底面积为，各侧面积分别为、、……、，侧面与底面夹角分别为、、……、，则 如果所有侧面与底面夹角都相等（），则例．如图，一条长为2的线段夹在互相垂直的两个平面、之间，与成45º角，与成30º角，过分别作两平面交线的垂线、，求平面与平面所成的角解法一：如图，∵ ，，∴ ，，同理，，∴ ，，==，，过作于，过作交于，连接，∴ 为所求的二面角的平面角∵ 是等腰直角三角形，∴ ===1，= ，，又 ， ，∴ ，故所求的二面角为 点评：解法一使用方法①（二面角的第1种作法）解法二：如图，作于，于，在中，，，在中，，=，∴ =-，又在中，，由异面直线上两点的距离公式可得 ∴ 故所求的二面角为 点评：解法使用方法②解法三：对于三棱锥-，选取作底面，则 ，∵ ，∴ ，∴ 平面平面，∴ ，∴ ，∴ 点评：解法使用方法③例．如图，已知是斜边为10的等腰直角三角形，所在的平面外有一点，==求二面角--解：过作平面于，则是二面角--的平面角，∵ ，=，∴ 到的距离 ，而 ，∴ ∵ ≌，∴ =，，故所求的二面角等于 。

点评：⑴ 本题如果作于，连接，则要证，多一事从≌可证⑵ 本题使用方法①（二面角的第2种作法）例．如图，直二面角--，，是等腰直角三角形，为直角，，，为直角三角形，，求二面角--解：作于，则 ，作于，连接，则 （三垂线逆定理），∴ 就是二面角--的平面角∵ ==，=，∴ ，故所求的二面角为 （）点评：本题使用方法①（二面角的第3种作法）能力测试认真完成！1．如图，已知圆的半径为3，垂直圆所在的平面于，且，是圆的切线，为切点，，求二面角--分析题目时使用左图，写解答过程时请使用右图2．如图，正方体的棱长为，、分别是、的中点，求截面与侧面所成的二面角分析题目时使用左图，写解答过程时请使用右图 解法一的图 解法二的图 3四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD，证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°参考答案仔细核对！LJ0134求面面夹角的方法12345678求面面夹角的方法1√√2√3√证二面角相等√证二面角不等√1．如图，已知圆的半径为3，垂直圆所在的平面于，且，是圆的切线，为切点，，求二面角--。

分析题目时使用左图，写解答过程时请使用右图解法一：如图，作于，于，则与所成角即为二面角--的平面角，设为∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∵ ，，∴ （三垂线定理）由 得 ，由 得 ，，，，由 得，∴ ，故所求的二面角为 （）点评：解法一使用方法②解法二提示：作于，证面，则为在面内的射影2．如图，正方体的棱长为，、分别是、的中点，求截面与侧面所成的二面角分析题目时使用左图，写解答过程时请使用右图87年预考题）解法一（作出平面角后解三角方程）：如图，作，连接∵ 是在侧面内的射影，∴ （三垂线定理逆定理），∴ 是所求二面角的平面角在中， ，∴ ，在中，，故所求的二面角为 点评：解法一使用方法①解法二（利用）：如图，在梯形中，，，，，，梯形的面积 ，梯形的面积 ，设所求的二面角的平面角为，则 ，即 ，即 ，故所求的二面角为 点评：解法二使用方法③四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD，证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°证明：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形，作AE⊥DP，垂足为E，连结EC，则 △ADE≌△CDE ，∴ 是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角，设AC与DB相交于点O，连结EO，则EO⊥AC，∴ ，在， ， 故平面PAD与平面PCD所成的二面角恒大于90°。

点评：本题使用方法①本题具有一定的探索性4．如图，已知空间四边形中，，求证：二面角=分析题目时使用左图，写解答过程时请使用右图证明：如图，作面，于，于，连接、，∵ ，面，∴ （三垂线定理），同理 ，∴ 与分别是二面角与二面角的平面角又∵ ，∴ 点在的平分线上，∴ 又 公共，∴ ≌，∴ ，∴ 二面角=5. 如图，已知锐角在平面内，且，为平面外一点，且==，求证：二面角分析题目时使用左图，写解答过程时请使用右图证明：如图，作于，∵ 为锐角三角形，∴ 在内注意, 如果没有条件“为锐角三角形”，那么当时，下面说的就无法连接了实际上，为任意三角形时，此题结论也成立，只是在证明时要把或的情况另行说明一下即可作于，于，连接、，则、分别是二面角与二面角的平面角∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，而 ，∴ ，又 ，，∴ ，又 ，，∴ ，∵ 、，∴ ，∴ 二面角解题错误：①未注明、的范围②由推出，但实际上。