选修2-1疑难规律方法第二章空间向量和立体几何.docx

第二章空间向量与立体几何重点深化41空间向量的概念及运算1. 空间向量与平面向量有什么相同与不同之处？答(1)空间向量的定义、表示方法及相等关系都与平面向量相同，但平面向量仅限于研究 同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移.(2) 由于空间任意两个向量都可平移至同一平面，所以凡只涉及空间两个向量的问题，平面 向量的有关结论仍然适用.(3) 与平面向量一样，空间向量不能比较大小，能比较大小的是它们的模.例如a>b没有意 义，而|a|>|ft|是有意义的.2. 平行直线与平行向量的区别与联系是什么？答 区别：平行向量是指两个向量的方向相同或相反，且规定零向量与任一向量平行，平行 向量所在的直线既可以平行也可以重合；平行直线是指同一平面内没有公共点的两条直线, 任意两条平行直线都不可能重合，一个点与一条直线也不可能平行.联系：平行直线的方向向量一定是平行向量，非零的平行向量所在的直线若不重合，则一定 是平行直线.3. 学习空间向量的加减法和数乘时应注意什么？答(1)空间向量的和、差及空间向量的数乘仍是一个向量，平血向量的加减法和数乘的运 算律推广到空问中仍然成立.(2) 实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，如久一d都无意义.(3) 在向量共线定理中，必须有方H0,因为零向量与任意一个非零向量共线.(4) 利用向量共线定理可以证明两条直线平行或三点共线，但需注意：判定, 〃所在直线平 行(两向量均不为0),还需判定一条直线上有一点不在另一条直线上；判定A, B, C三点共 线，除了判定两相关向量(如乔，荒)共线外，还需说明这两个向量有一个公共点.4. 如何理解空间向量的数量积？答(1)两个向量的数量积是一个数，而不是向量，它们的值为两向量的模与其夹角的余眩 值的乘积，其符号由夹角的余弦值的符号决定.(2) 两向量的数量积a力是向量间的一种乘法，它与数的乘法是有区别的，我们在书写中只能 用a•方表示，而不能用aX方或血表示.(3) 两向量a与b的数量枳a・b的儿何意义：向量b在向量a方向上的投影与向量a的模的乘 积，也可以看作是向量a在向量〃方向上的投影与向量方的模的乘积.(4) 在运用数暈积公式解题时，一定要注意两向量夹角的取值范围是［0, n］.难点再析42空间向量加减法运用的三个层次空间向量是处理立体几何问题的有力工具，但要用好向量这一工具解题，必须熟练运用加减法运算.第1层 用已知向量表示未知向量例1如图所示，在平行六面体ABCD-AxBxCyDy中，设AAx=a, AB=b, AD=c, M, N, P分别是必］,BC, CQ的中点，试用a, b, c表示以下各向量：(1)乔；(2)丽；(3)MP+NC}.D\ P r.解⑴TP是CQ的中点,・••乔=诵 +A0 + 命=a+Ab+扌必1=a+c+^AB=a+c+^b.(2)TN是BC的中点，—► —► —► > 1 —► :.A]N=AiA+AB+BN=-a+b+^C1 — 1=—a+b+^AD= —a+b+^c ・⑶TM是Mi的中点，—► —► —► 1 —► —► :.MP=MA+AP=^A}A+AP=-*a + (a+c+如)=*a+如+c,—► —► —► 1 —► —► 又 NCi =NC+CC\ =科+必1MP+NC]=(如+如+c) + (a+*c)点评 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确 理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和，等于白起始向量的 始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.在立体几 何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立.第2层化简向量例2如图，已知空间四边形ABCD,连接AC、3D设M、G分别是BC、CQ的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量.(1) AB+BC+CD；(2) AB+|(SD+BC)；⑶花-*（乔+花）・解 (1 )AB+BC+ CD=AC+ CD=AD.—► 1 —► ―► ―► 1 —► 1 —►(2)佔+㊁(BD+BC)=4B+㊁ BC+尹 D=AB+BM+MG=AG.—► 1 —► ―► —► —► —►（3）AG~2（AB+AC）=AG-AM=MG.AD. AG.尿7如图所示.点评要求空间若干向量之和，可以通过平移，将它们转化为首尾相接的 向量，如杲首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为0.两个向量相加的平行四 边形法则在空间仍成立，求始点相同的两个向量之和吋，可以考虑运用平行四边形法则.第3层 证明立体几何问题例3如图，己知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重 心，且G为AM上一点，且GM： GA=1 : 3.求证：B、G、/V三点共线.证明 设AB=a, AC=b9 AD=ct. . . 、 3则 BG=BA+AG=BA+^AM—► ―► ―► ―► 1 —► —►BN= BA+AN= BA +^(AC+AD):.BN//BG,即3、G、N三点共线.易错点1对向量夹角与数量积的关系理解不清例1 “a・XO”是“〈a, b)为钝角”的 条件.mh错解a力vOOcos〈a,方〉面<0。

〈方〉为钝角，所以"a力<0”是“〈a, b)为钝角”的充要条件.错因分析错解中忽略了两个向量共线且反向的情况.正解 当〈a, b} =7i时，a・b<(),但此时夹角不为钝角，所以"a•方<0”是“〈a,方〉为钝角”的必要不充分条件.总结a-b<0^a与b夹角为钝角或a与b方向相反，a・b>0oa与b夹角为锐角或a与〃方向相同.易错点2判断是否共面出错例2已知0、A、B、C为空I可不共面的四点，a=OA+OB+OC, b=OA + ^-OC,则与〃不能构成空间的一个基底的是()X.OA B.OBC. OC D.页或丽错解 a=OA + OB+OCi b=OA + OB-OCf相加得：OA + OB=^a+b)f所以页、丽都与方共面，不能构成空间的一个基底，故选D.> 1 ► 1 1 > 1 > ► ►剖析 OA + OB=^a + b)，说明OA + OB与a、〃共面，但不能认为OA、OB都与a、方共面.对 A、B:设OA=xa+ybf因为 a = OA + OB+OCf b=OA + OB-OCy代入整理得(x+y- \)OA + (x+y)^B+U-.y)OC=0,因为 O、A、B、C 不共面，所以鬲、OB.冼不共面，所以 x+y—1=0, x+)=0, x—y=0,此时，兀、y不存在，所以a、方与OA不共面，故a、〃与鬲可构成空间的一个基底.同理“、〃与丽也可构成空间的一个基底.► ► 1 ► A A 1 ► A 1 ►对 C：因为 a=OA + OB+OCf b=OA + OB~OCf 相减有OC=^a~b),所以OC与 a、〃共 面，故不能构成空间的一个基底.正解C易错点3混淆向量运算和实数运算例3阅读下列各式，其中正确的是()A. ab=b c(b^0) =>a=cB. a 〃=0=>a=0 或方=0C. (a 〃) c=a (〃 c)D. dABb=\dA\\Bb\cos(\80 一 ZAOB)错解A(或B或C)剖析 想当然地将向量的数量枳运算和实数运算等价，以致出错.向量的数量积运算不满足 消去律、结合律,故A、C错误；若a b=0^a=0或方=0或a丄方，故B错误；OA BO的 夹角是 180-ZAOB.正解D易错点4忽略建系的前提例4四边形ABCD是边长为2的菱形，ZABC=60。

AE丄平面ABCQ, AE=2, F为CE 中点，试合理建立坐标系，求心、荒夹角的余眩值.错解 以A为坐标原点，以乔、AD.疋的方向分别为x、z轴的正方向，建立空间直角 坐标系心z此时AF=(1,1,1), (0,2,0),所以 cos