电路学：第3章正弦稳态交流电路.ppt

第第3章章 正弦稳态交流电路正弦稳态交流电路u 3.1 正弦稳态交流电路的基本概念正弦稳态交流电路的基本概念 u 3.2 正弦量的相量表示正弦量的相量表示 u 3.3 正弦交流电路中电阻、电容、电感伏安关系的相量正弦交流电路中电阻、电容、电感伏安关系的相量 形式形式 u 3.4 阻抗、导纳及简单正弦交流电路的分析阻抗、导纳及简单正弦交流电路的分析 u 3.5 正弦交流电路的功率正弦交流电路的功率 u 3.6 谐振电路谐振电路u 本章小结本章小结 3.1 正弦稳态交流电路的基本概念正弦稳态交流电路的基本概念3.1.1 正弦量的瞬时值正弦量的瞬时值 与直流电不同，正弦交流电的大小、方向随时间不断变化，即一个周期内，正弦量在不同瞬间具有不同的值，将此称为正弦量的瞬时值，一般用小写字母如i（ ）、u（ ）或i、u来表示 时刻正弦电流、电压的瞬时值 表示正弦量的瞬时值随时间变化规律的数学式叫做正弦量的瞬时值表达式，也叫解析式，用i（t），u（t）或i、u表示表示正弦量的瞬时值随时间变化规律的图像叫正弦量的波形。

图3.1所示为一个正弦电压的波形 正弦电压u（t）的解析式可写为 u（t）= Umsin（ωt +  u ） （3.1） 同样，正弦电流i（t）的解析式为 i（t）= Imsin（ωt +  i ） （3.2） 需要说明的是，同一交流量，如果参考方向选择相反，那么瞬时值和解析式都相差一个负号，波形相对横轴（时间轴）相反因此画交流量的波形和确定解析式时，必须先选定参考方向3.1.2 正弦量的三要素正弦量的三要素 由式（3.1）和(3.2)不难看出,一个正弦量是由振幅、角频率和初相来确定的，称为正弦量的三要素它们分别反映了正弦量的大小、变化的快慢及初始值三方面的特征 1、振幅、振幅Um（或（或Im）） 正弦量瞬时值中的最大值叫振幅，也叫峰值，振幅用来反映正弦量的幅度大小有时提及的峰-峰值是指电压正负变化的最大范围，即等于2Um必须注意，振幅总是取绝对值，即正值 2、角频率、角频率ω 角频率ω是正弦量在每秒钟内变化的电角度，单位是弧度/秒（rad/s）正弦量每变化一个周期T的电角度相当于2π电弧度，因此角频率ω与周期T及频率f的关系如下： ω = = 2πf (3.3) 这里提到正弦量的周期和频率。

所谓周期，就是交流电完成一个循环所需要的时间，用字母T表示，电位为秒（s）单位时间内交流电循环的次数称为频率，用f表示，据此定义可知，频率与周期互为倒数关系频率的单位为1/秒，又称赫兹（Hz），工程实际中常用的单位还有kHz、MHz及GHz，等，相邻两个单位之间是103进制 工程实际中，往往也以频率区分电路，例如：高频电路、低频电路我国和世界上大多数国家，电力工业的标准频率即所谓的“工频”是f = 50 Hz，其周期为0.02 s，少数国家（如美国、日本）的工频为60 Hz在其他技术领域中也用到各种不同的频率，如声音信号的频率为20～20 000 Hz，广播中频段载波频率为535～1 605Hz，电视用的频率以MHz计，高频炉的频率为200～300 kHz，目前无线电波中频率最高的是激光，其频率可达106 MHz（即1GHz）以上 角频率ω、周期T、频率f都可用来反映正弦量随时间变化得快慢 3、相位和初相、相位和初相 (1) 相位 在正弦量的解析式（3.1）、（3.2）中的（ωt + ）是随时间变化的电角度，它决定了正弦量每一瞬间的状态，称为正弦量的相位角或相位，单位是弧度（rad）或度（o）。

(2) 初相 初相是正弦量在t = 0 时刻的相位，用表示，我们规定| |≤π初相反映了正弦量在t = 0 时的状态需要注意的是，初相的大小和正负与计时起点（即t = 0 时刻）的选择有关，选择不同，初相则不同，正弦量的初始值也随之不同  图3.2给出了几种不同计时起点的正弦电流的波形由波形可以看出在一个周期内正弦量的瞬时值两次为零现规定：靠近计时起点最近的，并且由负值向正值变化所经过的那个零值叫做正弦量的零值，简称正弦零值正弦量初相的绝对值就是正弦零值到计时起点（坐标原点）之间的电角度初相的正负这样判断：看正弦零值与计时起点的位置，若正弦零值在计时起点之左，则初相为正，如图3.2（a）所示；若在右边，则为负值，如图3.2（b）所示；若正弦零值与计时起点重合，则初相为零，如图3.2（c）所示 例例3.1 在选定参考方向下，已知两正弦量的解析式为i（t）= -10sin（628t + 30o ）A，u（t）= 311sin（1 000πt - 240o ）V求i和u的振幅、角频率、频率、周期和初相 解：解： 分析此题必须明确两点：（1）振幅值只取绝对值；（2）初相| |≤180o。

i（t）= -10sin（628t +30o ）=10sin（628t + 30 o -180 o ）=10sin（628t -150o ）A 振幅值 Im = 10 A， 角频率 w = 628 rad/s， 频率 ， 周期 初相  i = -150ou（t）= 311sin（1 000πt - 240 o ）= 311sin（1 000πt + 120 o ）V 振幅值 Um = 311 V， 角频率 w = 1 000πrad/s， 频率 ， 周期 初相  u = 120 o  例例3.2 图3.3给出一正弦电压的波形，试根据所给条件确定该正弦电压的三要素，并写出其解析式 解解: 由波形图可知： 电流振幅 Im = 20 A 周期 T = (25 – 5)×2 = 40 ms = 0.04 s角频率假定此电流的解析式为 i（t）= 20sin（50πt +  i ）A 由图可知正弦电流在t = 5 ms时，i = 0，即 20sin（50π×0.05 +  i ）= 0 因此 50π×0.05 +  i = 0假定此电流的解析式为 i（t）= 20sin（50πt +  i ）A 由图可知正弦电流在t = 5 ms时，i = 0，即 20sin（50π×0.05 +  i ）= 0 因此 50π×0.05 +  i = 0  i = 此正弦电流的解析式为 i（t）= 20sin（50πt ）A 3.1.3 相位差相位差 两个同频率正弦量的相位之差，称为相位差，用 表示。

同样规定| |≤π现有两个同频率的正弦电流 i1（t）= I1msin（ωt +  1 ） i2（t）= I2msin（ωt +  2 ）它们的相位差为  =（ωt +  1）-（ωt +  2 ）=  1 -  2 （3.4） 上式表明两个同频率正弦量的相位之差等于它们的初相之差相位差不随时间变化，与计时起点也没有关系通常用相位差的量值来反映两同频率正弦量在时间上的“超前”和“滞后”关系以式（3.4）为例，若 =  1 -  2 ＞0，表明i1（t）超前i2（t），超前的角度为 ；若 =  1 -  2＜0，表明i1（t）滞后i2（t），滞后的角度为||图3.4（a）、（b）分别表示电流i1（t）超前i2（t）和i1（t）滞后i2（t）的情况 同频率正弦量的相位差有3种特殊的情况1） =  1 -  2 = 0，称电流i1（t）与i2（t）同相；（2） =  1 -  2 = ±π/2，称电流i1（t）与i2（t）正交；（3） =  1 -  2 = ±π，称电流i1（t）与i2（t）反相。

例例3.3 已知正弦电压、电流的解析式为 u（t）= 311sin（70 t -180o ）V i1（t）= 5 sin（70 t - 45o ）A i2（t）= 10 sin（70 t + 60o ）A试求电压u（t）与电流i1（t）和i2（t）的相位差并确定其超前滞后关系 解：解： 电压u（t）与电流i1（t）的相位差为  = （-180o）-（- 45o ）= - 135o＜0所以u（t）滞后i1（t）135o 电压u（t）与电流i2（t）的相位差为  = -180o - 60o= - 240o由于规定||≤π，所以u（t）与i2（t）的相位差应为 = - 240o + 360o = 120o＞0，因此u（t）超前i2（t）120o 同频率正弦量的相位差不随时间变化，即与计时起点的选择无关在同一电路中有多个同频率正弦量时，彼此间有一定的相位差。

为了分析方便起见，通常将计时起点选得使其中一个正弦量的初相为零，这个被选初相为零的正弦量称为参考正弦量其它正弦量的初相就等于它们与参考正弦量的相位差同一电路中的正弦量必须以同一瞬间为计时起点才能比较相位差，因此一个电路中只能选一个正弦量为参考正弦量这与在电路中只能选一点为电位参考点是同一道理3.1.4 正弦量的有效值正弦量的有效值 由于正弦量的瞬时值是随时间变化的，不便比较其大小，所以通常采用有效值来衡量它们的大小正弦量的有效值是根据它的热效应确定的以正弦电压u（t）为例，它加在电阻R两端，如果在一个周期T内产生的热量与一个直流电压U加在同一电阻上产生的热量相同，则定义该直流电压值为正弦电压u（t）的有效值据此定义有： 如果正弦电压u（t）的解析式为u（t）= Umsin（ωt +  u ），则其有效值U为(3.5) 同理，正弦电流i（t）= Imsin（ωt +  i ）的有效值I为 I = 0.707Im （3.6） 式（3.5）和式（3.6）表明，振幅为1 V的正弦电压（或振幅为1 A的正弦电流），在电路中转换能量方面的实际效果与0.707 V的直流电压（或0.707 A的直流电流）的效果相当。

正弦量的有效值为其振幅值的 = 0.707倍应该注意，式（3.5）和式（3.6）只适用于正弦量非正弦周期量的有效值与最大值之间不存在这个关系，要按有效值的定义进行计算通常习惯上用正弦量的有效值表示正弦量大小即幅度，因此有效值可代替振幅作为正弦量的一个要素常用的交流仪表所指示的数字均为有效值交流电机和交流电器铭牌上标的电压或电流也都是有效值当交流电压表测量出电网电压的读数值（有效值）为220V时，用峰值电压表测出的读数值应为Um = 311 V 交流电路中使用电容器、二极管或交流电器设备时，电容器的耐压、二极管的反向击穿电压、交流设备的绝缘耐压等级等，都要根据交流电压的最大值来考虑  例例3.4 一个正弦电流的初相为，在t = 时电流的值为8.66 A，试求该电流的有效值 解：解： 设此正弦电流的解析式为 i（t）= Imsin（ωt +  i ）A已知 i = ，t = 时，i = 8.66 A，所以 所以此正弦电流的有效值为  例例3.5 将两只反向击穿电压为50 V的二极管串联接于有效值为100 V的正弦电源上，能正常使用吗？需要几只串联才行？ 解：解： 正弦电源有效值为U = 100 V，振幅值Um == 141.4 V。

已超过了两只二极管串联时的反向击穿电压，二极管会损坏，不能正常使用至少需要3只反向击穿电压为50 V的二极管串联使用于有效值为100 V的正弦电源上3.2 正弦量的相量表示正弦量的相量表示 前面已经学习了正弦量的两种表示方法，解析式（三角函数表示法）和正弦量的波形图（正弦曲线表示法）这两种表示方法都反映了正弦量的三要素，表示出正弦量的瞬时值随时间变化的关系，但是用这两种方法去分析和计算正弦电路就比较繁琐为了解决这个问题， 引入了正弦量的第三种表示方法——相量表示法相量表示法，实际上采用的是复数表示形式，因此，为了更好地掌握相量表示法，首先复习复数的有关知识3.2.1 复数的表示形式及运算规则复数的表示形式及运算规则 复数与复平面上的点一一对应，此时复数可用点的横纵坐标，即复数的实部、虚部来描述；复数与复平面上带方向的线段（复矢量）也具有一一对应关系，此时复数可用该线段的长度和方向角，即复数的模和幅角来描述如图3.5所示直角坐标系中，实轴（+1）和虚轴（+j）组成一个复平面，该复平面内，点A的坐标为（a，b），复矢量 的长度、方向角分别为r、，则它们之间的关系为(3.7) a = r cos ， b = r sin （3.8） 其中a、b叫做复数的实部、虚部；r、 叫做复数的模、幅角，规定幅角||≤π。

1、复数的表示形式、复数的表示形式（1）代数形式 A = a + j b （3.9）其中j 叫做虚数单位，且 j2 = -1， 2） 三角函数形式 A = rcos + j rsin （3.10）（3） 指数形式 A = （3.11） 指数形式是根据欧拉公式“ ”得到的4）极坐标形式 A = （3.12） 例例3.6 写出复数A1 = 3 – j4 ，A2 = -4 + j3的指数形式和极坐标形式 解：解： 由两复数的实部和虚部可以看出，复数A1的幅角在第四象限，复数A2的幅角在第三象限。

复数A1的模 幅角 所以A1 = 3 – j4的指数形式为 极坐标形式为 复数A2的模 幅角 所以A2 =-4 + j3的指数形式为 极坐标形式为  例例3.7 试写出1，-1，+j，-j的极坐标形式并在复平面内画出它们的复矢量 解：解： 实数和虚数均可看作复述的特例 1的极坐标形式为 1 = -1的极坐标形式为 -1 = +j的极坐标形式为 +j = -j的极坐标形式为 -j = 在复平面上与之对应的矢量如图3.6所示2、复数的运算规则、复数的运算规则 （1）复数的加减法 复数相加或相减时，一般采用代数形式，实部、虚部分别相加减即 A±B = （a1±a2）+（b1±b2） （3.13） 复数相加或相减后，与复数相对应的矢量亦相加或相减。

在复平面上进行加减时，其矢量满足“平行四边形”或“三角形”法则（2）复数的乘除法 复数相乘或相除时，以指数形式和极坐标形式进行较为方便两复数相乘时，模相乘，幅角相加；复数相除时，模相除，幅角相减以极坐标形式为例：(3.14)(3.15) 例例3.8 求复数 解：解： 在复平面上用矢量的“平行四边形”法则也可求出，如图3.7所示  例例3.9 已知A = 6 + j8，B = 4 – j3，求AB和 解：解： 3、旋转因子、旋转因子 复数 是一个模等于1、幅角等于θ的复数现有一任意复数，将其乘以 ，可得 复数的模仍为r1，幅角变为θ1 +θ，也就是将 所对应的复矢量由原来的位置（幅角为θ1）逆时针旋转了θ角因此 的作用是，并不改变复数 的模，只是使其逆时针旋转了θ角，所以称为 旋转因子3.2.2 正弦量的相量表示正弦量的相量表示1、正弦量的相量表示形式、正弦量的相量表示形式 一个正弦量为什么可以用相量（即复数）来表示呢？怎样将正弦量与复数联系起来呢？ 设一个正弦电压为 u（t）= Umsin（ωt +  ） 今在复平面上作一矢量，如图3.8所示。

要求满足：（1）矢量长度OA按比例等于振幅Um；（2）矢量的初始位置和实轴正方向的夹角等于初相；（3）矢量以等于正弦电压的角频率ω的角速度绕坐标原点逆时针方向旋转t = 0时，该矢量在纵轴上的投影oa = Umsin ，此即正弦电压u的初始值经过时间t1，矢量转过ωt1到B的位置，与横轴正方向夹角为ωt1 + ，在纵轴上的投影为Umsin（ωt1 +  ），等于t1时刻正弦电压的瞬时值……因此旋转矢量各瞬间在纵轴上的投影都等于正弦电压在对应各瞬间的值（见图3.8）由此可见，上述的旋转矢量既能反映正弦量的三要素，又能通过它在纵轴上的投影确定正弦量的瞬时值所以复平面上的一个旋转矢量可完整地表示一个与之对应的正弦量 复平面上的矢量与复数是一一对应的，上述的旋转矢量就是复数Um ，其中Um 表示在起始位置时的矢量，旋转因子 相当于该矢量在复平面上以角速度ω逆时针旋转，即 此复数的虚部即是正弦电压u的解析式，这与旋转矢量在纵轴上的投影是对应的正弦电压的瞬时值是同样意思与旋转矢量一样，一个复数也可以对应地表示一个正弦量但应注意，复数的虚部为一正弦函数，而复数本身并不是正弦函数，因此用复数对应表示一个正弦量并不意味着两者相等。

在正弦稳态交流电路中，所有电压和电流都是同频率的正弦量，分析这些正弦量时，主要在于确定它们的有效值（或振幅）和初相那么在用对应的旋转矢量和复数表示它们时，由于旋转矢量的角速度相同，复平面上的相对位置不变，就可以不考虑它们旋转，与旋转矢量对应的复数就可以省略旋转因子 ，而用起始位置的矢量即用复数Um 对应地表示正弦量因为正弦量的有效值经常使用，所以也常用复数U对应地表示一个正弦量 相量的模为正弦量的振幅，称振幅相量，以 、 等表示其振幅相量表达式为 相量的模为正弦量的有效值，称有效值相量，以 、 等表示其有效值相量表达式为 这就是正弦量的相量表示法今后书中提到“用相量表示正弦量”时，若未加说明，这个相量就是指有效值相量 同频率的正弦量的相量能相互运算，后面关于正弦电路的分析都是采用的相量分析法所谓相量分析法，就是将电路中的电压、电流先表示成相量形式，然后用相量形式进行运算的方法由前面分析可知，相量分析法实际上利用了复数的四则运算2、相量图、相量图 和复数一样，正弦量的相量也可以用复平面上一条带方向的线段（复矢量）来表示。

我们把画在同一复平面上表示正弦量相量的图称为相量图只有同频率的正弦量，其相量图才能画在同一复平面上 在相量图上，能够非常直观地表示出各相量对应的正弦量的大小及相互之间的相位关系为使图面清晰，有时画相量图时，可以不画出复平面的坐标轴，但相位的幅角应以逆时针方向的角度为正，顺时针方向的角度为负 例例3.10 写出下列各正弦量的相量形式，并画出相量图 u1（t）= 10sin（100πt + 60o ）V u2（t）= -6sin（100πt + 135o ）V u3（t）= 5cos（100πt + 60o ）V 解：解： 7.07 V因为 u2（t）= -6sin（100πt + 135o ）=6sin（100πt + 135o –180o）=6sin（100πt - 45o ）V u3（t）= 5cos（100πt + 60o ）= 5sin（100πt + 60o + 90o ）=5sin（100πt + 150o ）V所以其相量图如图3.9所示。

 3.3 正弦交流电路中电阻、电容、电感伏安关系的相量形式正弦交流电路中电阻、电容、电感伏安关系的相量形式 电阻、电容和电感是构成正弦交流电路的基本元件从本节开始将着重研究这三个元件在正弦电路中电压与电流的相量关系这是学习正弦交流电路的基础当我们了解了单一元件正弦电路的基本规律后，再去研究多个元件组合的正弦电路乃至复杂的正弦电路就方便多了由浅入深，由基本到复杂，这在电路分析中是一种经常使用的分析方法3.3.1 纯电阻电路纯电阻电路1、电阻元件上电压与电流的关系、电阻元件上电压与电流的关系 正弦电路中，元件上电压与电流关系包括三个方面：频率关系，大小关系（通常指有效值关系）和相位关系 图3.10（a）所示为一纯电阻电路，选取电阻元件的电压、电流为关联方向，根据欧姆定律有 u（t）= R i（t）假设流过电阻R的电流为 i（t）=则电压的解析式为 u（t）= R i（t）= =  由上式可以看出，电阻元件上电压、电流为同频率的正弦量，同时，u、i 之间存在如下关系：（1）电压与电流间有效值关系：U = R I。

（2）电压与电流的相位关系： （电压电流同相）2、电阻元件上电压与电流的相量关系、电阻元件上电压与电流的相量关系 由以上关系可以推出电阻元件电压与电流的相量关系式为 （3.16） 式（3.16）又叫相量形式的欧姆定律图3.10（b）、（c）为电阻元件的相量模型与相量图3.3.2 纯电感电路纯电感电路1、电感元件、电感元件 实际的电感器（也叫线圈）是用导线绕制而成的根据用途的不同，电感器也有很多的种类，但它们可用“电感元件”这个共同的理想化模型来代替，电感元件简称电感，是一种理想元件，用L表示其电路符号如图3.11（a）所示 电感具有储存和释放能量的特点当在电感中通入交流电流i时，电感周围就会建立磁场，即储存了磁场能量，而在电感两端会出现感应电压u电感储存能量的多少通常用电感系数（简称电感）这个参数来表征，该参数也用L表示在国际单位制中，电感的单位为亨[利]，用H表示，此外还有毫亨（mH）、微亨（µH），它们与H的关系是 1H = 103 mH = 106 µH  在图3.11（a）所示关联参考方向下，电感的磁链与电流成线性关系，即 Ψ（t）= L i（t） （3.17） 与式（3.17）对应的韦-安特性如图3.11（b）所示。

根据法拉第定律，电压、电流取关联方向时，电感元件的电压、电流关系为(3.18) 式（3.18）表明，电感元件的电压、电流是微分关系，即感应电压与该时刻电流的变化率成正比电流的变化率越大，则u越大倘若电流不变化，即在直流电路中，则电压u = 0，电感相当于短路因此，电感具有“通低频、阻高频”的作用，可用来制成滤波器 当i（0）= 0时，式（3.18）也可写成(3.19) 电感的储能公式为(3.20)2、电感元件上电压与电流的关系、电感元件上电压与电流的关系 在图3.11（a）所示纯电感电路中，假设流过电感的电流为 关联方向下根据电感的伏安关系可得 由以上推导结果可以看出，电感元件上电压电流为同频率的正弦量，同时，u、i 之间存在如下关系：（1）电压与电流间有效值关系：U = wL I （2）电压与电流的相位关系： （电压超前电流90o）3、感抗、感抗 电感元件上电压与电流的有效值满足“wL”倍关系，wL称为电感元件的感抗，用XL表示感抗的表达式为 XL = wL = 2  f L （3.21） 感抗的单位是欧姆（Ω），用来表征电感元件对电流阻碍作用的大小。

在L确定的条件下，XL与w成正比，因此电感具有“通直隔交”的作用 应该注意，感抗XL只是电感电压与电流有效值（或振幅）之比，而不是它们的瞬时值之比， 对于电感元件来说，电压电流瞬时值之间存在的是微分关系而不是正比关系同时感抗只对正弦电路有意义 4、电感元件上电压与电流的相量关系、电感元件上电压与电流的相量关系 根据正弦电路中电感元件上电压与电流的关系（大小和相位关系）可以推出 式（3.22）就是电感元件电压与电流的相量关系式图3.12（a）、（b）所示分别为电感元件的相量模型和相量图 例例3.11 图3.13（a）所示的电感电路中，已知uL（t）= 311sin（100 t + 60o ）V，L = 2 H，求电感电流iL（t）并画出相量图 解：解： 选定电压uL与电流iL参考方向一致，如图所示由已知得 根据式（3.22）可求得 相量图如图3.13（b）所示3.3.3 纯电容电路纯电容电路1、电容元件、电容元件 电容是电路中最常见的基本元件之一两块金属板之间用介质隔开就构成了实际的电容器。

电容器在工程上应用非常广泛，种类规格也很多，常用的有电解电容器、瓷片电容器等，而电容元件是各种实际电容器的电路模型，它是一种理想元件，简称电容，用C表示其电路符号如图3.14（a）所示 电容也具有充、放电的特性，当在其两端加上电压，两个极板间就会建立电场，储存电场能量，这是充电过程；反之，若给储存有电能的电容提供放电回路，它就会释放其中的能量，这是电容的放电过程电容放电时，相当一个电压源 电容是一种能够储存电场能量的元件，储存能量的多少用电容量（简称电容）来表征，电容量是电容元件的主要参数，该参数也用C表示在国际单位制中，电容的单位为法[拉]，用F表示此外还有微法（µF）、纳法（nF）和皮法（pF），它们与F的关系是 1F = 106 µF = 109 nF = 1012 pF 电容极板上储存的电荷量q与两极板间的电压u成线性关系，写成表达式为 q = C u （3.23） 与式（3.23）对应的库-伏特性如图3.14（b）所示。

 图3.14（a）中，当电压、电流选为关联方向时，其关系式为(3.24) 式（3.24）说明，电容元件上电压与电流也是微分关系，电流与该时刻电压的变化率成正比显然，电压变化越快，即变化频率越大，电流就越大；如果电压不变化，即加上直流电压，则i = 0，电容相当于开路这是电容的一个明显特征：“通高频，阻低频；通交流，隔直流”利用此特性，电容也可制成滤波器 设t = 0时，电容两端电压u = 0，由式（3.24）可以得到电压与电流另一种表示形式 （3.25） 同时还可得到电容的储能公式为 （3.26） 2、电容元件上电压与电流的关系、电容元件上电压与电流的关系 在图3.14（a）所示纯电容电路中，假设加在电容上的电压为 关联方向下根据电容的伏安关系可得 由以上推导结果可以看出，电容元件的电压电流也是同频率的正弦量，同时，u、i 之间存在如下关系：（1）电压与电流间有效值关系： 。

（2）电压与电流的相位关系： （电压滞后电流90o或电流超前电压90o）3、容抗、容抗 电容元件上电压是电流有效值的“ ”倍， 称为电容元件的容抗，用XC表示容抗的表达式为 XC = = （3.27） 容抗的单位是欧姆（Ω），用来表征电容元件对电流阻碍作用的大小在电容C确定的条件下，XC 与w成反比，因此电感具有“通交隔直”的作用 与感抗一样，容抗XC只是电容上电压与电流有效值（或振幅）之比，而不是它们的瞬时值之比， 同样容抗只对正弦电流有意义4、电容元件上电压与电流的相量关系、电容元件上电压与电流的相量关系 根据正弦电路中电容元件上电压与电流的关系（大小和相位关系）可以推出(3.28) 式（3.28）就是电容元件的电压电流相量关系式图3.15（a）、（b）所示分别为电容元件的相量模型和相量图。

 例例3.12 电容电压uC和电流iC参考方向关联一致，已知，， , 频率f = 50 Hz，求电容C 解：解： uC、iC参考方向一致3.3.4 电感与电容的联接电感与电容的联接1、电容的联接、电容的联接 在实际中，考虑到电容器的容量及耐压，常常要将电容器串联或并联起来使用1）并联 图3.16画出了三个电容并联的情况所有电容处在同一电压u之下，根据电容的定义，各电容极板上的电量为 q1 = C1u， q2 = C2u， q3 = C3u 三个电容极板上所充的总电量为q1 + q2 + q3如果有一电容C处在同样电压u之下，极板上所充的电量为q = q1 + q2 + q3，此电容C 即为并联三电容的等效电容根据等效条件(3.29) 电容并联时，其等效电容等于各电容之和电容的并联相当于极板面积的增大，所以增大了电容量当电容器的耐压符合要求而容量不足时，可将多个电容并联起来使用（2）串联 图3.17所示为三个电容串联。

由于只有最外面的两块极板与电源连接，电源对这两块极板充以相等的异号电荷，中间极板因静电感应也出现等量异号电荷各电容极板间的电压分别为 u = u1 + u2 + u3 = + + = 根据等效条件，得到(3.30) 电容串联时，等效电容的倒数等于各电容倒数之和 电容串联时，其等效电容比串联时的任一个电容都小这是因为电容串联相当于加大了极板间的距离，从而减小了电容若电容的耐压值小于外加电压，则可将几个电容串联使用 从每个电容上的电压可推出(3.31) 电容串联时，各个电容上的电压与其电容的大小成反比电容小的所承受的电压高，电容大的所承受的电压反而低这一点在使用时要注意 电容可采用既有并联又有串联的接法，以获得所需要的电容量和耐压 例例3.13 有两个电容器，一个为50μF，300 V，一个为250μF，150 V1）若两个电容器并联时，等效电容为多少？外接电压不能超过多少伏？（2）当它们串联时，等效电容为多少？接在400 V直流电压上使用是否安全？ 解：解： （1）并联时等效电容 C = C1 + C2 = 50 + 250 = 300μF 并联时外接电压不能超过低的额定电压，因此外加电压 u ≤ 150 V（2）串联时的等效电容 接在400 V直流电压上时，应分析每个电容承受的电压是否超过其额定电压。

设C1（50μF）上的电压为U1，C2（250μF）上的电压为U2，则 U1 + U2 = 400 联立解之得 u1 = 333.3 V ＞ C1的额定电压300 V u2 = 66.7 V ＜ C2的额定电压150 V所以外接400 V直流电压使用时是不安全的 例例3.14 有两个电容器，C1 = 150μF，耐压450 V，C2 = 100μF，耐压250 V，现将它们串联使用，求其等效电容及允许的端电压 解：解： 串联时的等效电容为 分析电容串联时允许的端电压，不能将这两个电容的耐压简单地相加因为串联时，电容上的电压与其电容量的大小成反比，电容小的分得的电压大，故应使电容较小的C2所分得的电压不超过其耐压，再分析电容大的端电压是否超过其耐压 U2 ≤ 250 V＜450 V所以这两个电容串联后允许的端电压为 U = U1 + U2 = 166.7 + 250 = 416.7 V 例例3.15 四只电容器联接如图3.18所示，已知C1 = C2= C3 = C4= 100μF，它们的耐压都是150 V。

求：（1）等效电容Cab；（2）它们总的端电压U不能超过多少伏？ 解：解：（1）并联部分的等效电容 Cdb = C2 +C3 + C4 = 100 + 100 + 100 = 300μFC1和Cdb串联，等效电容为（2）每个电容耐压均为150 V，现C1= 100μF，Cdb = 300μF，电容小的分得的电压大，即 U1 ≤150 V所以 U = U1 + U2 = 150 + 50 = 200 V 总的端电压不能超过200 V2、无互感电感的连接、无互感电感的连接 对于无互感的电感来说，当其串并联时，其等效电感的求解方法与电容的串并联正好相反此处不再赘述3.4 阻抗、导纳及简单正弦交流电路的分析阻抗、导纳及简单正弦交流电路的分析 3.4.1 RLC串联电路的分析串联电路的分析1、电路中电压与电流关系、电路中电压与电流关系 图3.22给出了电阻R、电感L和电容C相串联的电路选取各电压、电流的参考方向如图所示由于是串联电路，所以通过各元件的电流均为端电流i。

设i 的解析式为 ，其对应的相量为 各元件上的电压相量分别为 根据相量形式的KVL得(3.34) 式（3.34） 是在关联参考方向下，RLC串联电路端电压与电流的相量关系式，如果端电压与电流参考方向不一致，则 式（3.34）中，X = XL – XC称为RLC串联电路的电抗，它等于感抗与容抗之差，单位是欧姆（Ω）X可为正、可负、也可为零，X值的正负体现了电路中电感和电容所起作用的大小，关系到电路的性质1）XL ＞XC 此时，电抗X＞0，而且UL（XL I）＞UC（XC I）以 为参考相量，分别画出电阻、电感、电容各元件电压的相量图，将各电压相量相加（满足矢量加），即可得到总电压即端电压相量图如图3.23（a）所示 从相量图中可以看出，电压超前于电流，电路是感性的图中 为电抗电压相量，电抗电压的大小为UX = UL – UC （2）XL ＜XC 此时，电抗X＜0，UL ＜UC ，如前所述作出相量图如图3.23（b）所示。

从相量图中可以看出，电流超前于电压，电路是容性的 图3.23（a）、（b）所示的相量图中，由电阻电压、电抗电压和端电压这三个相量组成一个直角三角形，称电压三角形电压三角形三条边的长分别代表了、和三个电压的大小（即它们的有效值）由电压三角形可以看出，端电压的有效值U并不等于电阻、电感、电容各元件电压有效值UR、UL、UC的代数和，即U≠UR +UL +UC ，而应满足以下关系 利用式（3.35），可以求解RLC串联电路中各段电压的有效值3）XL = XC 此时，电抗X = 0，UL =UC 其相量图如图3.23（c）所示在相量图中，与同相，电路为纯电阻性质这是串联电路的一种特殊情况，称之为“串联谐振”2、复阻抗、复阻抗式（3.34）中Z是串联电路的复数阻抗，简称复阻抗其表达式为(3.36) 复阻抗的单位是欧姆（Ω），它是一个复数，其实部为串联电路的电阻R，虚部为串联电路的电抗X，复阻抗的极坐标形式为其中(3.37)(3.38)(3.39) ∣Z∣为复数阻抗Z的模，也称电路的阻抗它反映了串联电路对正弦电流的阻碍作用大小∣Z∣越大，对正弦电流的阻碍作用越大。

∣Z∣只与元件的参数及频率有关，与电压电流无关  为复阻抗的模，又称电路的阻抗角它是在关联参考方向下，端电压与端电流的相位差，即 = u -  i当XL＞XC即X＞0时，＞0，端电压超前端电流 的电角度；当XL＜XC即X＜0时， ＜0，端电压滞后端电流∣∣的电角度；当XL = XC 即X = 0时， = 0，端电压与端电流同相 例例3.18 图3.22所示正弦电路中，已知端电压u（t）= 10 cos（2 t ）V，R = 2Ω，L = 2 H，C = 0.25 F，试用相量法计算电路的等效复阻抗Z、电流i（t）和电压uR（t）、uL（t）、uC（t） 解：解： 复阻抗 Z = ZR + ZL +ZC = =2 + j（2×2）- j= 2 + j4– j2 = 2 + j2 = Ω根据式（3.34），求得端电流由R、L、C各元件电压与电流的相量关系式得根据以上电压、电流的相量得到相应的瞬时值表达式 i（t）= A uR（t）= V uL（t）= V uC（t）= V 例例3.19 日光灯导通后，镇流器与灯管串联，其电路模型如图3.24所示。

已知工频电源电压U = 220 V，f = 50 Hz，镇流器电阻R = 20 Ω，电感L = 1.65 H，测得镇流器两端电压U2 = 190 V，试求灯管电压U1及灯管电阻R1 解：解： 由已知镇流器端电压U2 = 190 V，它的阻抗为  |Z2|=所以 I = U2 /Z2 = 190/18.5 = 0 .366 A UR = IR = 0 .366×20 = 7 .32V UL = wLI= 314×1 .65×7 .32 = 189 .6 V各电压有效值间的关系为 U2 =（U1 +UR）2 + UL2所以灯管电压 7 .32 = 104 .3 V灯管电阻 R1 = U1/I = 104 .3/0 .366 = 285Ω3.4.2 复阻抗的串联与并联复阻抗的串联与并联1、复阻抗的串联、复阻抗的串联 RLC串联电路推广到一般的情况，就是多个复阻抗的串联。

图3.25（a）所示为多个复阻抗串联的电路，按习惯选定电流和各电压的参考方向如图所示 已知复阻抗Z1，Z2，…，Zn，各个复阻抗上的电压分别为 ， … ，根据相量形式的KVL，总电压即端电压为 （Z1 + Z2 + …+ Zn） = Z （3.40） 其中Z为串联电路的等效复阻抗，如图3.25（b）所示，有(3.41) 复阻抗串联时，等效复阻抗等于各个复阻抗之和例如，R、L、C串联组成的电路，其等效阻抗为 复阻抗串联，分压公式仍然成立，以两个复阻抗串联为例，分压公式为(3.42)2、复阻抗的并联、复阻抗的并联 多个复阻抗并联时，各并联阻抗两端电压相等以两个复阻抗并联为例，如图3.26（a）所示，根据相量形式的KCL，得总电流的相量为(3.43)(3.44) 其中Z为并联电路的等效复阻抗，如图3.26（b）所示，有或(3.45) 复阻抗并联时，等效复阻抗的倒数等于各个并联复阻抗倒数之和 复阻抗并联，分流公式仍然成立，图3.26（a）电路中，分流公式为或 复阻抗的倒数称为复导纳，用字母Y表示，单位是西门子（S）。

对于有多个（两个以上）复阻抗并联的电路，用复导纳分析较为方便复阻抗并联，其等效复导纳等于各并联复导纳之和3.46) 例例3.20 电路如图3.27所示，端口电压为 ，试求各支路电流及电压 解：解： 图中注明的各段电路的复阻抗为 电路的等效复阻抗为电路的总电流为 各支路电流为 各支路电压 3.5 正弦交流电路的功率正弦交流电路的功率3.5.1 瞬时功率和平均功率瞬时功率和平均功率 图3.28所示二端网络，在端口电压电流采用关联参考方向的前提下，它吸收的瞬时功率表达式为 p（t）= u（t）i（t） （3.47）二端网络工作于正弦稳态的情况下，端口电压和电流是同频率的正弦量，即u（t）= Umsin（ωt + )= U sin（ωt + ） i（t）= Imsin（ωt + )= I sin（ωt + ）则二端网络的瞬时功率为 p（t）= u（t）i（t）= 2U I sin（ωt + ）sin（ωt + ）= U I [cos（ - ）- cos（2wt + + ）] = U I cos- U I cos（2wt +2 - ） （3.48） 其中 = - 是二端网络端电压与端电流的相位差。

由式（3.48）可知，瞬时功率p（t）作周期性变化，且有正有负，表明二端网络既消耗功率，也能发出功率一般用平均功率来表征二端网络的能量消耗情况平均功率是指周期性变化的瞬时功率在一个周期内的平均值用P 表示，单位瓦特（W），其定义为：  平均功率是一个重要的概念，得到广泛使用通常所说某个家用电器消耗多少瓦的功率，就是指它的平均功率，简称功率 下面讨论二端网络的几种特殊情况1、二端网络是一个电阻，或其等效阻抗为一个电阻、二端网络是一个电阻，或其等效阻抗为一个电阻 此时二端网络的端电压、端电流相位相同，即 =  u - i = 0，则cos =1，sin =0，式（3.48）变为 p（t）= U I -U I cos2（wt +  u ） 可见，瞬时功率在任何时刻均大于或等于零，表明电阻元件始终吸收功率此时平均功率的表达式（3.49）变为(3.50) 由此式可见，在正弦稳态中，采用电压、电流有效值后，计算电阻消耗的平均功率公式从形式上看与直流电路中相同，但符号代表的含义不同 2、二端网络是一个电感或电容，或其等效阻抗为一个电抗、二端网络是一个电感或电容，或其等效阻抗为一个电抗 此时二端网络电压与电流相位为正交关系，即 =  u - i = ±90o，则cos = 0，式（3.47）变为  = -U Isin（2wt +2 u） U Isin（2wt +2 u） 由上两式可以看出，电感或电容的瞬时功率随时间按正弦规律变化，正负值交替，一段时间内 p（t）＞0，电感或电容吸收功率；另一段时间内p（t）＜0，电感或电容发出功率。

此时平均功率表达式（3.49）变为 P = U I cos（±90o）= 0 （3.51） 这说明在正弦稳态中，储能元件电感或电容的平均功率等于零，不消耗能量，但和电源之间存在能量的交换作用，即在前半个周期吸收电源的功率并储存起来，后半个周期又将其全部释放，这种能量交换的速率用另外一种功率——无功功率来描述（见3.6.2节）3.6.2 复功率、视在功率和无功功率复功率、视在功率和无功功率 为了便于用相量来计算平均功率，引入复功率的概念图3.29所示二端网络工作于正弦稳态，其电压、电流采用关联的参考方向，假设电压、电流的相量表达式分别为 电流相量的共轭复数为 * = I ，则二端网络吸收的复功率为 * = = （3.52） 其中复功率的实部P = UIcos称为有功功率，它是二端网络吸收的平均功率，单位为瓦（W）。

复功率的虚部Q = UIsin称为无功功率，它反映了电源与单口网络内储能元件之间能量交换的速率，为与平均功率相区别，单位为乏（Var）复功率的模| |=UI 称为视在功率，用S表示，即它表征一个电气设备的功率容量，为与其它功率相区别，用伏安（V•A）作单位例如我们说某个发电机的容量为100 kV•A，而不说其容量是100 kW显然，视在功率是二端网络所吸收平均功率的最大值 对于RLC串联的正弦交流电路而言，既有耗能元件，又有储能元件这样在电路中既有能量的消耗，又有能量的转换也就是电路中既有有功功率，又有无功功率 RLC串联电路的有功功率就是电阻消耗的功率，即从图3.23所示的电压三角形可知所以电路的无功功率为而（UX = UL – UC）所以 Q = UIsin 视在功率 S = UI 将图3.23所示的电压三角形的三条边同乘以电流的有效值I，又可得到一个与电压三角形相似的三角形它的三条边分别表示电路的有功功率P、无功功率Q和视在功率S，所以这个三角形叫做功率三角形，如图3.30（a）、（b）所示。

功率三角形的三条边代表的不是正弦量，所以画出的是线段而不是矢量由功率三角形可知 以上关于RLC串联电路的有功功率、无功功率、视在功率的计算公式也适用于一般的正弦交流电路 例例3.21 由电阻R = 30 Ω，电感L = 382 mH，电容C = 40 uF组成的串联电路，接于电压u（t）= 100sin（314 t + 45o）V的电源上，试求：（1）电路阻抗Z；（2）电路电流i；（3）各元件电压 ；（4）电路的功率P、Q、S 解：解： 按习惯选定各电压、电流的参考方向一致1）电路阻抗 （2）电路电流 i（t）= 2 sin（314t –8.1o ）A（3）各元件电压（4）电路功率 平均功率（有功功率） 无功功率 视在功率 3.6 谐振电路谐振电路3.6.1 RLC串联谐振电路串联谐振电路 谐振是正弦交流电路中一种物理现象谐振在电工和电子技术中得到广泛应用，但它也可能给电路系统造成危害因此，研究电路的谐振现象，有着重要的实际意义。

1、谐振及谐振条件、谐振及谐振条件图3.35电路中，R、L和C组成串联电路，电路的等效阻抗为 由上式可知，当正弦电压的频率w变化时，电路的等效复阻抗Z随之变化当 时，复阻抗Z = R，串联电路的等效复阻抗变成了纯电阻，端电压与端电流同相，这时就称电路发生了串联谐振可见，串联电路的谐振条件是(3.54) 式中w0称为电路的固有谐振角频率，简称谐振角频率，它由元件参数L和C确定用频率表示的谐振条件为RLC串联电路在谐振时的感抗和容抗相等，其值称为谐振电路的特性阻抗，用表示，即 2、谐振时的电压和电流、谐振时的电压和电流 谐振时，电路的复阻抗Z = R，呈现纯电阻，阻抗∣Z∣达到最小值假设电压源电压为，则电路谐振时的电流为(3.55)(3.56)（有效值 ） (3.57) 可见谐振时电路中电流最大，且与电压源电压同相此时R、L、C上的电压分别为：(3.58)(3.59)(3.40)(3.41) 可见，谐振时电感和电容电压的大小相等，都等于电源电压的Q倍Q称为串联谐振电路的品质因数，它是衡量电路特性的一个重要物理量，它取决于电路的参数。

谐振电路的Q值一般在50～200之间，因此外加电源电压即使不很高，谐振时电感和电容上的电压仍可能很大在无线电技术方面，正是利用串联谐振的这一特点，将微弱的信号电压输入到串联谐振回路后，在电感或电容两端可以得到一个比输入信号电压大许多倍的电压，这是十分有利的但在电力系统中，由于电源电压比较高，如果电路在接近串联谐振的情况下工作，在电感或电容两端将出现过电压，引起电气设备的损坏所以在电力系统中必须适当选择电路参数L和C，以避免发生谐振现象3、频率特性、频率特性 谐振回路中，电流和电压随频率变化的特性，称为频率特性，它们随频率变化的曲线称为谐振曲线我们以电流谐振曲线为例来看一下回路中电流幅值与信号源频率之间的关系图3.35在任意频率w下，回路电流电流的有效值为(3.62) 当电源电压U及元件参数R、L、C都不改变时，由式（3.64）可作出电流幅值（有效值）随频率变化的曲线，如图3.36所示由图3.36所示电流的谐振曲线可以看出，当电源频率正好等于谐振频率w0时，电流的值最大，最大值为I0 = U/R；当电源频率向着w＞w0或w＜w0方向偏离谐振频率w0时，阻抗∣Z∣都逐渐增大，电流也逐渐变小至零。

说明只有在谐振频率附近，电路中电流才有较大值，偏离这一频率，电流值则很小，这种能够把谐振频率附近的电流选择出来的特性称为频率选择性谐振电路频率选择性的好坏可以用通频带宽度△f来衡量在谐振频率f0两端，当电流I下降至谐振电流I0的1/ = 0.707倍时所覆盖的频率范围，称为通频带△f = f2 – f1（或△w = w2 – w1），其中f2 、f1分别叫做通频带的上限截止频率和下限截止频率△f越小，谐振曲线越尖锐，表明电路的频率选择性越好通频带与品质因数之间有以下关系（ ） （3.63） 可见，通频带与谐振电路的品质因数Q成反比，Q越高通频带越窄，选择性越好所以说，品质因数Q是衡量谐振回路频率选择性的参数以I/I0为纵坐标，以w/w0为横坐标画出不同Q值下电流的谐振曲线，如图3.37所示，这种谐振曲线又叫通用谐振曲线 例例3.26 电路如图3.38所示已知uS（t）= 10 sin（w t ）V求：（1）频率w为何值时，电路发生谐振2）电路谐振时，UL和UC为何值3）通频带△f 解：解： （1）电压源的角频率应为 （2）电路的品质因数为 则 UL = UC = QUS =100×10 = 1000 V (3) 例例3.27 串联谐振回路的谐振频率f0 = 800 kHz，回路电阻R = 10Ω，要求回路的通频带△f = 104 Hz，试求回路的品质因数Q、电感L和电容C。

解：解： 由式（3.63）可得因为 所以 例例3.28 由L = 200μH、C = 400 pF及R = 10Ω组成的串联回路，试求其通频带△f 解：解： 所以通频带3.6.2 RL-C并联谐振电路并联谐振电路1、谐振条件、谐振条件 图3.39（a）是电感线圈和电容器并联的电路模型电路的等效复阻抗为由于电感线圈中电阻值R一般都很小，故下面的算式（3.65）一般能成立 R << (3.64)(3.65)这样式（3.64）可以写作 可见，当 时，并联电路的等效阻抗是一个纯电阻，这时就称电路发生了并联谐振可见，并联电路的谐振条件为(3.66) 需要注意的是，式（3.66）成立的条件是R << ，此时电路的品质因数Q＞＞1在电子技术中使用的并联谐振电路，通常都满足Q＞＞1的条件，因此式（3.66）并联谐振条件就满足这说明回路的品质因数Q＞＞1时，并联谐振回路的谐振频率就和串联谐振回路的谐振批女近似相等2、并联谐振时的特点、并联谐振时的特点（1）电路的导纳最小或接近最小（阻抗最大或接近最大），电路为纯电阻性。

2）在电源电压一定时，端口电流最小且与电源电压同相，其值为： 3）流过电感和电容上的电流相等，且为端口总电流的Q倍即 上式中的Q为并联谐振电路的品质因数，其值为 可见谐振时电感和电容支路上的电流可能远远大于端口电流，所以并联谐振又叫电流谐振由于电感和电容上的电流大小相等，相位相反，故两者完全抵消 例例3.29 在图3.39所示电路中，已知L = 100 H，C = 100 pF，回路品质因数Q = 100，电源电压即端电压U = 10 V，回路已对电源频率谐振试求：（1）谐振频率f0；（2）总电流I0；（3）支路电流IC 0、IL 0；（4）电阻R 解：解： 由于Q = 100＞＞1，所以式（3.66）成立1）谐振频率为（2）谐振电路的阻抗为所以总电流为（3） IC 0 = IL 0 = QI0 = 100×0.1 = 10 mA（4） 本本 章章 小小 结结 1、正弦交流电的大小和方向随时间不断变化，即存在瞬时值，反映瞬时值随时间变化规律的式子叫做正弦电的瞬时值表达式，也称解析式。

正弦量有三个要素，振幅、角频率和初相两个同频率正弦量的相位之差称相位差，通常用相位差来描述两同频率正弦量的位置关系 2、为便于正弦电路的计算，引入正弦量的相量表示法相量表示法实际上是用一个复数去表示该正弦量，但复数本身并不等于正弦量相量图是将同频率正弦量画在同一复平面内的图形 3、电阻、电容、电感各元件电压电流的相量关系式分别为 4、正弦交流电路的计算采用相量分析法以RLC串联电路为例，其阻抗为 端电压与端电流的相量关系式为  5、正弦交流电路中不同功率有不同含义：瞬时功率，用来表示不同时刻正弦电的功率；平均功率（有功功率），用来表示元件的耗电情况，单位是W；无功功率，表示储能元件与电源之间能量交换的速率，单位是Var；视在功率，反映电气设备的功率容量，单位是VA 6、谐振是正弦交流电路中一种物理现象，它在电工和电子技术中得到广泛应用，但它也可能给电路系统造成危害因此，研究电路的谐振现象，有着重要的实际意义谐振电路的谐振条件及谐振时电路的特征是本部分的重点 。