【小学奥数】4-4-1长方体与正方体.题库教师版.pdf

旗开得胜 读万卷书 行万里路 1 对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具 体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查 如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱 在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等 (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形) 长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：2()Sabbcca=++ 长方体 ； 长方体的体积：Vabc= 长方体 正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形 c b a H G FE D C BA 例题精讲例题精讲 长方体与正方体长方体与正方体 旗开得胜 读万卷书 行万里路 2 如果它的棱长为a，那么： 2 6Sa= 正方体 ， 3 Va= 正方体 板块一 长方体与正方体的表面积 【例【例 1】】 右图中共有多少个面？多少条棱？ 【解析】 如右图所示，可以分前、后、左、右、上、下六个方向看这个立体图形前、后看各有 1 个面，左 面看有 1 个面， 右面看有 2 个面， 上面看有 2 个面， 下面看有 1 个面 所以共有1 1 12218+ + +++ = (个)面 前后方向的棱有 6 条， 左右方向的棱有 6 条， 上下方向的棱也有 6 条， 所以共有棱66618++=(条) 【巩固】右图中共有多少个面？多少条棱？ 【解析】 9 个面，21 条棱 【例【例 2】】 如右图，在一个棱长为 10 的立方体上截取一个长为 8，宽为 3，高为 2 的小长方体，那么新的几何 体的表面积是多少？ 后面 前面 右面 左面 下面 上面 旗开得胜 读万卷书 行万里路 3 【解析】 我们从三个方向(前后、左右、上下)考虑，新几何体的表面积仍为原立方体的表面积：10106= 600 【巩固】在一个棱长为 50 厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为 5 厘米的小正方体，问剩下 的立体图形的表面积是多少？ 【解析】 对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后 3 个方向考虑变化前后的表面积 不变：50506=15000(平方厘米) 【例【例 3】】 如右图，有一个边长是 5 的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是 5，3，2 的长方体，那么它 的表面积减少了多少? 【解析】 原来正方体的表面积为 556=150现在立体图形的表面积减少了前后两个面中的部分面，它们 的面积为(32)2=12，所以减少的面积就是 12 【例【例 4】】 右图是一个边长为 4 厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长 l 厘米 的正方体，做成一种玩具它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正 旗开得胜 读万卷书 行万里路 4 方体） 【解析】 原正方体的表面积是 446=96(平方厘米) 每一个面被挖去一个边长是 1 厘米的正方形， 同时又 增加了 5 个边长是 1 厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分总的来看，每一个面都增加了 4 个边长是 1 厘米的正方形 从而，它的表面积是：96+46=120 平方厘米 【例【例 5】】 如图，有一个边长为 20 厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立 方体后，表面积变为 2454 平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？ 【解析】 大立方体的表面积是 20206=2400 平方厘米在角上挖掉一个小正方体后，外面少了 3 个面， 但里面又多出 3 个面；在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了 2 个面，但里面多出 4 个面；在面上 挖掉一个小正方体后，外面少了 1 个面，但里面多出 5 个面所以，最后的情况是挖掉了三个小正 方体，反而多出了 6 个面，可以计算出每个面的面积：(24542400)6=9 平方厘米，说明小正方 体的棱长是 3 厘米 【例【例 6】】 下图是一个棱长为 2 厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为 1 厘米的正方体小 洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为 1 2 厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前 两个相同为 1 4 厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？ 旗开得胜 读万卷书 行万里路 5 【解析】 我们仍然从 3 个方向考虑平行于上下表面的各面面积之和：222=8(平方厘米)；左右方向、前 后方向：224=16(平方厘米)，114=4(平方厘米)，1 2 1 2 4=1(平方厘米)，1 4 1 4 4= 1 4 (平方厘米)，这个立体图形的表面积为：816++4+1+ 1 4 = 1 29 4 (平方厘米). 【例【例 7】】 （ 小学生数学报 邀请赛） 从一个棱长为 10 厘米的正方形木块中挖去一个长 10 厘米、 宽 2 厘米、 高 2 厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案) 【解析】 按图 1 所示沿一条棱挖，为 592 平方厘米； 按图 2 所示在某一面上挖，为 632 平方厘米； 按图 3 所示在某面上斜着挖，为 648 平方厘米； 按图 4 所示挖通两个对面，为 672 平方厘米 图 1 图 2 图 3 图 4 【例【例 8】】 （北京市第十二届迎春杯）一个正方体木块，棱长是 15从它的八个顶点处各截去棱长分别是 1、 2、3、4、5、6、7、8 的小正方体这个木块剩下部分的表面积最少是多少？ 旗开得胜 读万卷书 行万里路 6 【解析】 截去一个小正方体，表面积不变，只有在截去的小正方体的面相重合时，表面积才会减少，所以要 使木块剩下部分的表面积尽可能小，应该在同一条棱的两端各截去棱长 7 与 8 的小正方体(如图所 示)，这时剩下部分的表面积比原正方体的表面积减少最多剩下部分的表面积最小是： 15156 772=1252想想为什么不是 151567788 ？ 【例【例 9】】 从一个长 8 厘米、宽 7 厘米、高 6 厘米的长方体中截下一个最大的正方体(如下图)，剩下部分的表 面积之和是 平方厘米 【解析】 可以将这个图形看作一个八棱柱，表面积和为： 87662616661787292+++++ +++=（）（）(平方厘米) 也可以这样想：由于截去后原来的长方体的表面少了 3 个66的正方形，而新图形凹进去的部分 恰好是 3 个66的正方形，所以新图形的表面积与原图形的表面积相等，为 ()8786762292+ +=(平方厘米) 【巩固】一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方形，现从它的上面尽可能大的切下一个正方 体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下 一个正方体，剩下的体积是多少平方厘米？ 【解析】 本题的关键是确定三次切下的正方体的棱长.由于21:15:127:5:4=，为了方便起见.我们先考虑长、 旗开得胜 读万卷书 行万里路 7 宽、 高分别为7厘米、5厘米、4厘米的长方体.因为754,容易知道第一次切下的正方体棱长应该 是4厘米（如图） ，第二次切时，切下棱长为3厘米的正方体符合要求.第三次切时，切下棱长为2厘 米的正方体符合要求. 剩下的体积应是 () 333 21 15 1212961107++=（平方厘米）. 【例【例 10】】 一个正方体木块，棱长是 1 米，沿着水平方向将它锯成 2 片，每片又锯成 3 长条，每条又锯成 4 小 块，共得到大大小小的长方体 24 块，那么这 24 块长方体的表面积之和是多少？ 【解析】 锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数2=增加的面数 原正方体表面积：116=6(平方米)，一共锯了(21)+(31)+(41)=6 次， 6+1126=18(平方米) 【巩固】如右图，一个正方体形状的木块，棱长 l 米，沿水平方向将它锯成 3 片，每片又锯成 4 长条，每条 又锯成 5 小块，共得到大大小小的长方体 60 块那么，这 60 块长方体表面积的和是多少平方米? 【解析】 我们知道每切一刀， 多出的表面积恰好是原正方体的 2 个面的面积 现在一共切了(31)+(41)+ (51)=9 刀，而原正方体一个面的面积 1l=1(平方米)，所以表面积增加了 921=18(平方 米) 原来正方体的表面积为 61=6(平方米)， 所以现在的这些小长方体的表积之和为 6+18=24(平 方米) 旗开得胜 读万卷书 行万里路 8 【巩固】(2008 年走美六年级初赛)一个表面积为 2 56cm的长方体如图切成 27 个小长方体，这 27 个小长方体 表面积的和是 2 cm 【解析】 每一刀增加两个切面，增加的表面积等于与切面平行的两个表面积，所以每个方向切两刀后，表面 积增加到原来的 3 倍，即表面积的和为 2 563168(cm )= 【例【例 11】】 右图是一个表面被涂上红色的棱长为 10 厘米的正方体木块，如果把它沿虚线切成 8 个正方体，这 些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？ 【解析】 10106=600(平方厘米) 【例【例 12】】 有n个同样大小的正方体，将它们堆成一个长方体，这个长方体的底面就是原正方体的底面如果 这个长方体的表面积是 3096 平方厘米，当从这个长方体的顶部拿去一个正方体后，新的长方体的 表面积比原长方体的表面积减少 144 平方厘米，那么n为多少？ 【解析】 由于堆成的长方体的底面就是原来正方体的底面， 说明这个长方体是由这些正方体一字排开组成的， 从这个长方体的顶部拿去一个正方体，减少的面积相当于侧面的四个正方形的面积，所以正方体每 个面的面积是144436=(平方厘米) 所堆成的长方体的表面积，包含底面的 2 个正方形和侧面的4n个正方形，所以 (3096362) 14421n == 旗开得胜 读万卷书 行万里路 9 【例【例 13】】 边长分别是 3、5、8 的三个正方体拼在一起，在各种拼法中，表面积最小多少？ 【解析】 三个正方体两两拼接时，最多重合 3 个正方形面，其中边长为 3 的正方体与其它两个正方体重合的 面积不超过边长为 3 的正方形，边长为 5 和边长为 8 的正方体的重合面面积不超过边长为 5 的正方 形，三个正方形表面积和为 633+655+6882233255=502. 【例【例 14】】 如图，25 块边长为 1 的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？ 【解析】 当小积木互相重合的面最多时表面积最小. 设想 27 块边长为 1 的正方形积木，当拼成一个3 3 3 的正方体时，表面积最小，现在要去掉 2 块 小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增 加，该几何体表面积为 54. 【例【例 15】】 用 6 块右图所示(单位：cm)的长方体木块拼成一个大长方体，有许多种拼法，其中表面积最小的是 多少平方厘米？最大是多少平方厘米？ 【解析】 要使表面积最小，需重叠的面积最大，如图的拼接方式新的长方体长为5，宽为4，高为3，所以 表面积为 2 (343 334)266(cm )+ + =；要使表面积最大需重叠的面积最小，如图所示，长为 18，宽为 2，高为1，所以最大的表面积为 2 (18 1 1821 2)2112(cm ) ++ = 25块积木 旗开得胜 读万卷书 行万里路 10 【巩固】用 10 块长 5 厘米，。