瓦尔拉斯均衡证明.doc

均衡存在性的证明一、 逻辑框架假设5.1：消费者效用的特征：代表性消费者的效用函数在维非负空间上连续、强递增和严格拟凹定理5.1：需求函数的特征：如果代表性消费者的效用函数满足假设5.1，则对于每一个，消费者问题：有唯一解：在上连续定义5.4：超额需求函数的定义：定理5.2、5.4：超额需求函数的特征：过渡总需求函数具有下列特征：1：（定理5.2）连续性：2：（定理5.4）齐次性：3：（定理5.4）Walras法则：4：（定理5.4）如果各种禀赋的总数量严格为正，如果是中的价格向量数列，收敛于，且在中某商品的价格，则对于价格的商品，与价格向量数列相对应的过度需求数列无上界定理5.3：（纯数学定理）假设函数满足下列特征：1：连续性：2：齐次性：3：如果是中的数列，收敛于，且在中，则对于的，与数列相对应的数列无上界则存在向量使得定理5.5：存在价格向量使得过度总需求定义5.5：使得的向量，叫做Walras均衡存在Walras均衡证明定理5.4（3）：如果每个消费者的效用函数都满足假设5.1，并且各种禀赋的总数量严格为正，，如果是中的价格向量数列，收敛于，且在中某些商品的价格，则对于价格的商品，与价格向量数列相对应的总超额需求数列无上界。

含义：如果一些而非所有商品的价格任意接近于0，那么那些商品至少有一种的超额需求将会无限高解释：1. 定义在中，即对于所有的，有2. 当，，的特征为且；同时，由于在中某些坐标为零，，所以，并不严格大于零向量，如，也就是说，当时，，3. 中为零的坐标，第个坐标，可能等于，也可能不等于，对一切等于零的坐标或商品，，其需求为无穷大由于当时，所以，，即无上界证明：设严格为正的价格数列收敛于，对于某些商品，有由于，且，所以，，所以，至少一位消费者有对应于价格向量数列，该消费者有需求数列：对于所有的，我们要证明该消费者的需求数列无上界设有界，则有收敛子数列假设数列收敛于，即当时，对于所有的，有令，其中第项为1效用函数强递增，因此有，有效用函数连续，所以，存在一个，使得且由于在时，，，所以，在足够大时，有，，所以，不是消费者问题在下的解这与假设相矛盾，所以，与特征为收敛于且在中某商品的价格的价格向量数列相对应的需求数列无上界无上界，意味着其全部或部分或至少一个元素无上界假设是商品的需求无上界由于此消费者的收入收敛于，所以收入数列有界也就意味着，因为无上界，所以，即由于对商品的需求无上界，而此商品的供给固定，所以消费者i对于商品k’的需求无上界的事实意味着对商品k’的总超额需求数列无上界（因为其他消费者的需求非负）。

1定理5.3：（纯数学定理）假设函数满足下列特征：1：连续性：在P>>0上连续2：瓦尔拉斯法则：,P>>03：如果价格向量是P>>0中的数列，收敛于，且在中某些商品k,，则对于具有的商品，在该市场上其相应的超额需求数列无上界则存在向量P>>0使得解题思想：应用Brouwer不动点定理定理A1.11：Brouwer不动点定理设是非空集、紧集和凸集设是连续映射，那么在集合中，存在至少一个的不动点也就是说，存在至少一个，使得的解的存在性的条件：1． 定义域是：u 非空集；紧集；凸集u 映射是到自身的连续映射：解题步骤：1、 构造单纯形集合大写小写用表示各商品的货币价格用表示相对价格函数满足0次齐次性，，寻找使的解，等同于寻找使的解相对价格向量的特点：，价格向量为单纯形中的点应用不动点定理，函数在定义域上必须是连续的，但是，当某些商品的价格为零如图中的价格向量时，该商品的需求为无穷大，呈现不连续的特征必须把这种情况排除除去，即设法保证p>>0单纯形的定义：给定一个，保证了p>>0因为：对于所有的，令>0当商品数量n=2时，21单纯形的定义：单纯形是有界集：单纯形是闭集： 单纯形是凸集： 取，取，令。

这对所有的都成立所以，单纯形非空集：令， ,因而中至少存在向量p=（1/n,…,1/n）.2、 构造对每一个，设，p>>0结论： 有上界3、 构造价格调整函数：瓦尔拉斯拍卖人选择价格向量以使所有市场出清，即，使如果做不到这一点，它不是从价格空间中另外选择一个点（价格向量），而是按一定的规则提高存在超额需求的商品的价格（或／和降低存在过度供给的商品的价格），价格调整函数或规则为：如果在价格向量为，商品的价格为时，商品上存在超额需求，即，它将调高的价格，调整幅度为，调整后的价格为，再将其调整为相对价格：注意，这里的商品价格为相对价格，调高一种商品的价格等于降低了其他所有商品的价格，包括本来供求相等的商品的价格分母起到这一作用如果在价格为时，商品上供求相等，即，它不对此商品价格进行调整，但是，由于对其他超额需求的商品价格进行调整，影响到分母，相对价格发生变化，为：如果在价格为时，商品上供过于求，即，它不对此商品价格进行调整，但是，由于对其他超额需求的商品价格进行调整，影响到分母，相对价格发生变化，为：以这种方式得到的新的价格向量的作用：①存在是为了确保调整后的价格f(p)>>0>0②分母是分子的加总，目的使。

所以，以上两点保证了在单纯形里，而原始价格向量也在单纯形里，所以，为从自身到自身的映射接下来分析fk(P)的性质.超额需求函数为连续函数，所以为连续函数，所以分子分母为连续函数；如果分母不为零，则为连续映射分母始终大于等于1，所以，连续所以的定义域满足Brouwer不动点定理中有界集、闭集、凸集和非空集的要求，函数本身构成连续映射，满足不动点定理，所以存在使或者说，对所有的，存在即调整后得到：结论：对每一个，在价格向量集合中有一价格向量使上式成立我们要做的是寻找一个价格向量使和4、 证明在条件3下，价格序列收敛于令，考虑满足上式的价格向量序列，根据定义，，有界由实变函数论知道，实数域紧集上的任一有界序列必定收敛，设序列收敛于必然满足，因为我们将证明在条件3下，该价格序列收敛于就是说，条件3保证了价格向量严格为正反证法：假设该价格序列收敛于则在其中有些商品的价格为零条件3指出，当有以上特征时，在某些价格为零的商品上，在与相对应的该商品的超额需求序列无上界但是当时，，，，有<=1而在，时，上式等号左边趋近零而右边为1上式等号不成立这与前面的结论“对每一个，在价格向量集合中有一价格向量使上式成立，”相矛盾，所以。

所以，在时，5、 推导使对等号左右两边对求极限，得到：等号两边乘以，得到：求和得到： 平方项的和〉=0，要求每个平方项=0瓦尔拉斯法则：。