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函数专题突破课程讲义一．映射： 1.映射: AB的概念：对于两个集合A，B,如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括A、B及f）叫做从集合A到集合B的映射.记作：f：A→B.1A 2345 B65 B1A 23465 B5 B1A 2345 B61A 23465 B f f f f (1) (2) (3) (4)在以上的四种对应关系中，（1）（3）不是映射，（2）（4）是映射.(2)对于映射这个概念，应明确以下几点：①映射中的两个集合A和B可以是数集，点集或由图形组成的集合以及其它元素的集合.②映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不相同的.③映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有象，而这个象是唯一确定的.这种集合A中元素的任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心.④映射允许集合B中的某些元素在集合A中没有原象，也就是由象组成的集合CB. ⑤映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的象，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”.2.映射的种类 一一映射：既是一对一又是B无余的映射. 单 射：指将不同的变量映射到不同的值的函数。

满 射：如果每个可能的像至少有一个变量映射其上(即像集合B中的每个元素在A中都有一个或一个以上的原像)，或者说值域任何元素都有至少有一个变量与之对应 双 射（也称一一对应）：既是单射又是满射的函数直观地说，一个双射函数形成一个对应，并且每一个输入值都有正好一个输出值以及每一个输出值都有正好一个输入值 在理解映射概念时要注意：⑴ A中元素必须都有象且唯一； ⑵ B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一典例分析】例1.设是集合到的映射，下列说法正确的是　A、中每一个元素在中必有象 B、中每一个元素在中必有原象　　C、中每一个元素在中的原象是唯一的 　D、是中所在元素的象的集合例2.若从集合A到集合B的映射f满足B中的任何一个元素在A中都有原象，则称映射f为从集合A到集合B的满射，现集合A中有3个元素，集合B中有2个元素，则从集合A到集合B的满射f的个数是： A、5 B、6 C、8 D、9例3.点在映射的作用下的象是，则在作用下点的原象为点________例4.a、b为实数，集合表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则= A、1 B、0 C、－1 D、±1例5.若，，，则到的映射有 个，到的映射有 个，到的函数有 个二．函数：1.函数的概念： （A）:传统（古典）定义：如果在某变化过程中，有两个变量x，y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数.x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域. （B）: 近代（映射）定义：设A，B都是非空的数的集合，f是从A到B的一个对应法则，那么A到B的映射f：A→B叫做A到B的函数.记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B.原象的集合A叫做函数f(x)的定义域，注：（1）两种定义的比较： ①相同点：1°实质一致 2°定义域，值域意义一致 3°对应法则一致 ②不同点：1°传统定义从运动变化观点出发，对函数的描述直观，具体生动. 2°近代定义从集合映射观点出发，描述更广泛，更具有一般性. （2）对函数定义的更深层次的思考： ①映射与函数的关系：函数是一种特殊的映射f：A→B，其特殊性表现为集合A，B均为非空的数集. ‚ 函数: AB是特殊的映射。

特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与轴的垂线至多有一个公共点，但与轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个典例分析】例6、给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（ ）A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个 例7.设M={x|－2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，函数f（x）的定义域为M，值域为N，则f（x）的图象可以是 例8、设，，如图中表示A到B的函数的是（ ）2．函数的表示方法： （1）解析法：将两个变量的函数关系用一个等式来表示. （2）列表法：利用表格来表示两个变量的函数关系. （3）图像法： 例9、下列各式表示同一函数的是（　　）A.与B. 与C．与D．与例10.试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f（x）=，g（x）=；（2）f（x）=，g（x）=（3）f（x）=，g（x）=（）2n－1（n∈N*）；（4）f（x）=，g（x）=； （5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1例11：123321（1） 的值为 ； （2）若，则x= ；3．函数的三要素1、 定义域： 1)常见函数：a.在中；b.在中，；c.在中，；d.在中，；f.在中， ；g.在 与中且.【典例分析】例12、求下列函数的定义域：（1） （2） 例13.(2010年广东江门质检)函数y＝＋lg(2x－1)的定义域是________．例14.函数的定义域是( ). A. B. C. D.例15. 函数y＝的定义域为________． 2）抽象函数：题型：已知的定义域，求的定义域 ‚已知的定义域，求的定义域 ƒ已知的定义域，求的定义域【典例分析】例16.已知函数的定义域为，求函数的定义域。

例17.已知函数的定义域为，求函数的定义域例18.已知的定义域为[1,2]，求的定义域例19.已知f（x）=lg，求f（）+f（）的定义域2、对应法则： 四大方法：1）换元法2）配方法3）列方程组法4）待定系数法【典例分析】例20.已知f（x+1）=2x2+3x+1，求f（x）例21.已知，求f（x） 例22.已知，求f（x）例23.已知f（x）+g（x）=，其中f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，求f（x）、g（x）例24.已知f（x）+2f（）=3x，求f（x）例25.已知f（x）为一次函数，且f（x）+f（x+1）=2x+1，求f（x）三、 值域：1.确定函数的值域的原则：（1）当数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合2）当函数y=f(x)图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合3）当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定2.常见函数的值域：函数y=kx+b y=ax2+bx+cy=axy=logax值域Ra>0a<0{y|y∈R且y≠0}{y|y>0}R 1）带“| |”的题型例26.已知f（x）=|x+1|+|x-3|，求f（x）的值域。

例27.已知f（x）=x2-2|x|-3，求f（x）的值域例28.已知f（x）=|x2-2x-3|，x∈[-1,5],求f（x）的值域2）带“”的题型例29.已知>2，求x的取值范围例30.已知f（x）=+，求f（x）的值域例31.已知，求f（x）的值域例32.已知F（x）= f（x）+2，f（x）的值域为[,]，求F（x）的值域例33.已知f（x）=+，求f（x）的值域例34.已知f（x）=+，求f（x）最小值3）带“分式”的题型例35.已知f（x）=，求f（x）的值域例36.已知f（x）=，（x>-1），求f（x）的值域例37.已知f（x）=，求f（x）的值域四． 函数的性质一、奇偶性(一)定义：如果,则为偶函数；如果,则 为奇函数这两个式子有意义的前提条件是：定义域关于原点对称二)奇偶性题型： 1.判断奇偶性 ： (1).先看定义域是否关于原点对称，再比较f(x)与f(-x)正负.(2).看图像对称性：关于y轴对称为偶，关于原点对称为奇.(3).原、反函数：奇函数的反函数是奇函数，偶函数没有反函数. 2.利用奇偶性：(1).利用公式：f(-x)=- f(x)，f(-x)= f(x)，计算或求解析式.(2).利用复合函数奇偶性结论：F(x)=f(x)g(x)，奇奇得偶，偶偶得偶，奇偶得奇F(x)=f(x)+g(x)，当f(x)为奇，g(x)为偶时，代入-x得：F(-x)=-f(x)+g(x),两式相加可以消去f(x),两式相减可以消去g(x),从而解决问题.3.奇偶函数图像的对称性偶函数：关于y轴对称若‎则f(x)关于对称.奇函数：关于原点对称若则f(x)关于(，m) 对称.题型一 判断函数的奇偶性例1．以下五个函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中奇函数是_________，偶函数是___________，非奇非偶函数是 ___________例2．判断下列函数的奇偶性：（1）； （2）； （3） （4）例3．函数是( )A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数例4．（2005黄冈模）函数（ ）A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数例5．已知，（1）判断的奇偶性例6．函数在定义域上不是常数函数，且满足条件，对任意，都有，,则是（ ）A.奇函数但非偶函数 B.偶函数但非奇函数 C.奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数例7．（2009全国卷Ⅰ理）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则（ ） A.是偶函数 B.是奇函数 C. D.是奇函数 例8．已知对任意实数都成立，则函数是 （ ）A.奇函数 B.偶函数 C.可以是奇函数也可以是偶函数 D.不能判定奇偶性例9．（2006。