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初中数学竞赛资料（25）十进制的记数法甲内容提要1.十进制的记数法就是用 0，1，2…9十个数码记数的方法，位率是逢十进一底数为10的各整数次幕，恰好是十进制数的各个位数：0 110 =1（个位数一第1位）,10 =10（十位上的数---第2位）,102=100（百位上的数---第3位），…10n（第n+1位上的数）4 3 2 1 02.3.例如 54307 记作 5 X 10 +4 X 10 +3X 10 +0 X 10 +7X 10十进制的n位数（n为正整数）,a£2a3…an 记作: nn-1 n-2 n-3 210 a〔+10 a2+10 + …+10 an-2+10an-1+an其中最高位 印工0,即卩0

乙例题例1. 一个六位数的最高位是 1,若把1移作个位数，其余各数的大小和顺序都不变，则所得的新六位数恰好是原数的 3倍，求原六位数解：设原六位数 1右边的五位数为 x,那么原六位数可记作 1X 105+ x，新六位数为10x + 1，根据题意，得 10x+ 1 = 3 （1X 105+ x） 7x=299999 x=42857•••原六位数是 142857例2. 设n为正整数，计算 999…9 X 999 9 + 1999…9n个9 n个9 n个9解：原数=(10 n - )x( 10 n -) +1 x 10n+10n-1=102n- 2 X 10n+1+10n+10n- 1=102n例3. 试证明12，1122，111222，……，11…1 22…2这些数都是两个相n个1 n个2邻的正整数的积解：设这个三位数为 102a+10b+c 其中Ov aw 9, 0< b,c< 9注意到 333X 334 = 333X( 333+ 1)=103 -1103-1由经验归纳法，得11 122 2 = 10 1 x 10n+210 _1'扌—1—*— Qn个1 n个2n n10 -1 10 2 ( 十一)3 3 3n10 -13(10 _131)上述结论证明了各数都是两个相邻的正整数的积例4. 试证明：任何一个四位正整数，如果四个数字和是 9的倍数，那么这个四位数必能被 9整除。

并把它推广到 n位正整数，也有同样的结论证明：设一个四位数为 103a+102b+10c+d,根据题意得a+b+c+d=9k (k为正整数)，二d=9k — a — b— c,代入原四位数，得103a+102b+10c + 9k— a — b— c=( 103— 1) a+(102-1)b+9c+9k =9(111a+11b+c+k)•/ 111a+11b+c+k 是整数，•••四位数103a+102b+10c+d,能9被整除推广到n位正整数： n位正整数记作10n— 1a1+10n-2a2+…+10an-1+an (1)T a1+a2+ …+an-1+an=9k(k 是正整数)•- an=9k — a1 — a2—…一 an-1 代入(〔)得原数=10 a1+10 a2+…+10an-1+9k — a1 — a2— …一 an-1=(10"1 — 1) a1+ (10n2— 1) a2+…+9an-1+9k•/ 10n-1— 1，10n-2— 1，…10— 1 分别表示 99 9，99 9，…9•原数=9 (11…1a1+ 11 …Ta2+-+ 為+k)n 二 n -2•这个n位正整数必能被9整除例5. 已知：有一个三位数除以 11,其商是这个三位数的三个数字和。

求：这个三位数w a-b+c< 18100a 10b c = 9a+ b+ a，C 且—81111•••它能被11整除，••• a-b+c只能是11或0① 当 a-b+c= 11 时，商是 9a+b+1,根据题意得 9a+b+1 = a+b+c, c=8a+1 a 只能是 1, c=9,b=a+c-11=-1不合题意②当a-b+c= 0时，商是9a+b,9a+b= a+b+c 且 a-b+c = 11J.a 二 1解得 』b=9 答这个数是198c =8例6. 一个正整数十位上的数字比个位数大 2，将这个数的各位数字的顺序颠倒过来，再加上原数，其和是 8877,求这个正整数解：•••顺序颠倒过来后，两个数的和是8877, •可知它们都是四位数设原四位数的千位、百位、十位上的数字分别为 a,b,c则个位数是c-2,根据两个数的和是 8877试用列竖式讨论答案a+) (c-2)b c (c-2)从个位看（c-2）+a=7或17从千位看a+（c-2）=8 （没进入万位）c ba88 77可知(c-2)+a=7即 c+a=9 (1)从十位上看 b+c=7或17从百位上看c+b=8 （进入千位）可知c+b=17 ⑵(2)+(1) 得 b-a=8•/ 0

当 a接在b的左边时，这个五位数应记作当a接在b的右边时，这个五位数应记作2. 有大小两个两位数大数的 2倍与小 数的3倍的和是72在大数的右边写上一个0再接着写小 数，得到第一个五位数；在小 数的右边写上大数再接着写个 0,得到第二个五位数已知第一个五位数除以第二个 五位数得商2，余数590求这两个两位数3. 计算：1987X 19861986 — 1986 X 198719874. 一个22位数，个位数字是 7,当用7去乘这个22位数时，其积也是 22位数，并且恰好是将这个数的个位数字 7移到最高位，其余各数的大小和顺序都不变求原 22位数5. 试证明：11 — 2, 1111— 22 , 11 1 — 22 2，各数都能写成某个2n个1 n个2正整数的平方即证明各数都是完全平方数）6. 一个两位数的两个数字对调后，所得新两位数与原两位数的比是 4 ： 7求符合条件的所有两位数7. 已知一个六位数乘以 6,仍是六位数，且有 abcdef x 6 = defabc求原六位数abcdef8. 已知四位数abcd除以9得四位数dcba，求原四位数9. 一个五位正奇数 x,将x中的所有2都 换成5，并把所有5都换成2,其余各数不变，得一个新五位正奇数，记作 y ,若x,y I满足等式：y=2（x+1）,那么x= （佃87年全国初中数学联赛题 ）10. 已知存在正整数 n能使数111…11被1987整除，求证:n个1P=111 11 999 99 888 88 777 77 能被 1987 整除n个1 n个9 n个8 n个7（佃87年全国初中数学联赛题）11. 一个三位数被 11整除，其商是这个三位数的三个数字的平方和。

求符 合条件的所有三位数佃88年全国初中数学联赛题）12. 一个三位数，它的十位上数字比百位上数字小 2,而个位数比百位上数字的算术平方根大 7求这个三位数13. 求证：111…11是一个合数1990个 1返回目录参考答案 上一页 下一页。