江苏省常熟中学2019-2020学年高三上学期阶段性抽测二(12月)数学试题(解析版).pdf

2019-2020 学年江苏省苏州市常熟中学高三（上） 抽测数学试卷（二） 一、填空题 1.设集合2 1A，集合21B ，则 AB_ 【答案】21 2，. 【解析】 【分析】 根据并集的定义运算即可. 【详解】解：,2,11,2AB= -= 12, ,2AB= 故答案为：1 22- ， ， 【点睛】本题考查了列举法的定义，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题 2.“ 1x ” 是“ 2 1x ” 的 _条件 【答案】 充分不必要 . 【解析】 【分析】 利用充分性，必要性的判定即可 【详解】解：由“1x” 可以推出 “ 2 1x ” ，所以具有充分性； 由“ 2 1x ” 可以推出 “ 11xx或 ” ，推导不出 “ 1x ” ，所以不具有必要性； 故“ 1x ” 是 “ 2 1x ” 的充分不必要条件 故答案：充分不必要. 【点睛】本题考查了条件的充分性与必要性，属于基础题 3.直线 310 xy 的倾斜角为 _. 【答案】 150 【解析】 【分析】 由直线310 xy的斜率为 3 3 k，得到 00 3 tan,0 ,180 ) 3 ，即可求解 . 【详解】由题意，可知直线310 xy的斜率为 3 3 k ， 设直线的倾斜角为，则 00 3 tan,0 ,180 ) 3 ，解得 0 150， 即换线的倾斜角为 0 150 . 【点睛】本题主要考查直线的倾斜角的求解问题，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系，合理准确 计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 4.双曲线 22 1 43 xy 的渐近线方程是_. 【答案】 3 2 yx 【解析】 【分析】 根据双曲线的渐近线方程的求法，求得双曲线的渐近线. 【详解】双曲线 22 22 1 xy ab 的渐近线为 b yx a ，所以双曲线 22 1 43 xy 的渐近线方程是 3 2 yx. 故答案为 3 2 yx 【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题. 5.抛物线 2 2 5yx上的点 A的横坐标是 3 5 2 ，则 A到其焦点F的距离为 _ 【答案】 2 5. 【解析】 【分析】 求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义求解即可 【详解】解：抛物线 2 2 5yx的准线方程为： 5 2 x， 抛物线 2 2 5yx上的点 A的横坐标是 3 5 2 ， 则 A 到其焦点 F距离为： 35 52 5 22 故答案为： 2 5 【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题 6.已知 1 0sin,sin 263 ，则 2 sin 2 3 的值为 _ 【答案】 42 9 . 【解析】 【分析】 由已知结合同角平方关系可求cos() 6 ，然后结合诱导公式可求 1 sin() 3 ， 1 cos() 3 ，最后再用二 倍角的正弦公式可求 【详解】解： 1 0,sin 263 ， 2 2 cos 63 ， 112 2 sinsincos 36263 111 coscossin 36263 则 2112 214 2 sin 22cossin2 333339 故答案为： 4 2 9 【点睛】本题主要考查了诱导公式，二倍角正弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础试题 7.已知n S是等差数列 n a 的前 n项和，若 36 410SS ， ，则9 S_ 【答案】18. 【解析】 【分析】 等差数列 n a 中，36396 ,SSSSS， 成等差数列，代入即可求解 【详解】解：等差数列 n a中， 36396 ,SSSSS，成等差数列， 9 2 104410S（）= 则 9 18S 故答案为：18 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础题 8.如图，已知棱长为 a的正方体ABCDMNPQ 的体积为 1 V ，以 ,B D M P 为顶点的三棱锥PBDM的 体积为 2 V，则 2 1 V V _ 【答案】 1 3 【解析】 【分析】 先由题意求出正方体的体积 1 V，然后运用 1 V减去四个三棱锥的体积得到三棱锥 PBDM的体积为2 V，然 后可得所求比值 【详解】依题意得正方体的体积 3 1 Va，三棱锥 ABDM 的体积 2 11 32 A BDMMABD VVaa 3 6 a ， 又三棱锥 PBDM 为正四面体， 由对称性知 3 33 21 1 44 63 ABDM a VVVaa， 所以 2 1 1 3 V V 故答案为 1 3 【点睛】求几何体的体积时首先要确定几何体的形状，然后再求出体积，对于一些不规则的几何体，可采 用分割或补形的方法转化为规则几何体的体积后进行求解，考查转化思想方法的运用，属于基础题 9.若 x,y满足约束条件 10, 0, 40, x xy xy 则 y x 的最大值 【答案】3 【解析】 作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知， y x 是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点 A（1,3 ）与原点连线的斜率最大，故 y x 的最大值为3. 考点：线性规划解法 【此处有视频，请去附件查看】 10. 已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左焦点为 1 ,0Fc-，右焦点为 2 0Fc，若椭圆上存在一点P，线 段 2 PF与圆 2 22 4 c xy相切于点E，且E为线段2 PF中点，则该椭圆的离心率为_ 【答案】31. 【解析】 【分析】 连接OE， 1 F P 利用切线的性质可得 2 OEPF 利用三角形中位线定理可得：1 1 22 c OEPF ，1 / /OEPF 再 利用勾股定理与离心率计算公式即可得出 【详解】解：如图所示， 连接 1 OEF P， 线段 2 PF与圆 2 22 4 c xy相切于点E，2 OEPF 又O为 12 F F 的中点， 11 1 / / 22 c OEOEPFPF, 12122 290PFcPFacF PFOEF ， 22 2 22cacc， 化为： 2 220,01eee 解得 31e 故答案为： 31 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切性质、三角形中位线定理、勾股定理，考查 了推理能力与计算能力，属于难题 11. 已知正实数 , x y满足xyxy，则 19 11 y xy 的最小值是 _ 【答案】15. 【解析】 【分析】 由已知可得，(1)(1)1xy，而 1919 9 1111 y xyxy ，利用基本不等式即可求解 【详解】解：正实数x，y满足xyxy， 0 1 y x y ， 1y， 同理 1x ， (1)(1)1xy， 则 19199 9 2915 1111(1)(1) y xyxyxy ， 当且仅当 19 11xy 且 (1)(1)1xy，即 4 3 x，4y时取得等号， 故答案为： 15 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑，属于基础题 12. 已知 1: 310lmxym 与2: 310lxmym 相交于点P，线段 AB是圆 22 :114Cxy的一条动弦，且2 3AB，则|PAPB的最小值是 _ 【答案】 4 22 【解析】 分析】 由两直线方程可知两直线垂直，且分别过定点（3，1）、 （1，3）， 所以点P 的轨迹为以两定点连线段为 直径的圆，方程为（x2） 2+（y2）2=2因为要求 |PAPB的最小值，可作垂直线段CD AB，根据向 量 的 运 算 可 得 ，|=2PAPBPD， 根 据 条 件 求 得CD的 长 度 为1， 所 以 点D的 轨 迹 为 2 2 1)11xy（根据两圆方程可知点P的轨迹与点D 的轨迹外离，故|PAPB的最小值为两圆的 圆心距减去两圆的半径 【详解】 l1：mxy3m+1=0 与 l2：x+my3m1=0， l 1 l 2，l1过定点（ 3，1）， l2过定点（ 1，3）， 点 P 的轨迹方程为圆（x2） 2+（ y2）2=2， 作垂直线段CDAB，CD= 22 2 -3（） =1， 所以点 D 的轨迹为 2 2 1)11xy（, 则|=|22|PAPBPCCAPCCBPCCDPD， 因为圆 P 和圆 D圆心距为 22 2 12 13 212 ， 所以两圆外离， 所以 |PD|最小值为 3 2122 21， 所以|PAPB的最小值为4 2 2. 故答案为4 2 2. 【点睛】平面向量具有代数与几何双重身份，是沟通代数与几何桥梁平面向量模的最值问题一般以选 择题或填空题的形式出现解决此类问题关键在于正确运用相关知识，进行合理转化，常用方法有（ 1）利 用向量基本知识转化为函数最值问题；（2）利用坐标进行转化，结合图形求最值；（3）利用向量模的性质 求解；（4）利用几何意义，数形结合求解 13. 已知函数 2 ,0,1 ,1,3 x x x fx ex ，其中 e为自然对数的底数，若存在实数 12 xx，满足 12 03xx， 且 12 ()()f xf x，则 21 2xx的取值范围为 _ 【答案】21ln（-， 【解析】 【分析】 先讨论 1 x， 2 x ，在同一区间内的最大值，最小值，再讨论在不同区间时的情况，利用导数求出最值 【详解】解：记 21 2mxx， 当 12 01xx剟? 时， 11 ()fxx， 22 ()f xx ，所以 12 xx，则 2 mx， 故其最大值在 2 0 x时取得，为0，其最小值在 2 1x时取得，为1； 当 12 13xx剟 时， 1 2 1 () x f xe， 2 2 2 () x f xe，所以 12 22xx ee，即12 xx，则 2 mx， 的 的 故其最大值 11 maxmm，其最小值 33 minmm； 当 12 013xx剟? 时，11()f xx， 2 2 2 () x f xe，所以 22 1 x xe， 所以 21 2xlnx ，即 21 2xlnx ，故 11 22mlnxx， 设( )22g xlnxx，0 x， 1，则 1 ( )2g x x ，令 ( )0g x，得 1 2 x， 当 1 (0,) 2 x时，( )0g x，( )g x单调递增， 当 1 ( 2 x ，1) 时， ( )0g x，( )g x单调递减， 所以当0 x时，( )g x的值无限趋于； 所以当 1 2 x时，( )g x取极大值也是最大值，即 11 ()21121 22 max mglnln ，所以212xx最大 值为1 2ln 故答案为：(， 12ln 【点睛】 本题考查分段函数的应用，结合导数知识， 关键理清不同区间上表达式的形式，求出对应的最值， 属于中档题 14. 已知函数 x fxaelnxlna ，其中 e为自然对数的底数，若对任意正实数x，都有0fx ，则实数 a的最小值为 _ 【答案】 1 e . 【解析】 【分析】 根据题意得 x aelnxlna恒成立令( ) x g xaelnx ，(0)x， min ( )g xlna，对( )g x求导通过单调性 分析最小值， 得 0 00 ( )() x min g xg xaelnx ，所以 0 0 x aelnxlna ， 0 0 000 0 1 20 x x u xexlnx x e ， 求出 0 x 的取值范围，进而求出a取值范围 【详解】解：若对任意正实数x都有( ) 0f x ， 则0 x aelnxlna ，则 x aelnxlna恒成立， 令( ) x g xaelnx ，(0)x， min ( )g xlna， 11 ( )(0) x xaxe g xaex xx ， 当0a,时，( )0g x，( )g x在(0,)上单调递减，( )g x无最小值，不符合题意， 当 0a 时，令( )1 x h xaxe，在(0,)上是增函数， 所以存在 0 (0,)x，使得 0 010ax e， 0 0 1 x a x e ， 00)lnalnxx 当 0 (0,)xx时，( )0h x，( )0g x，( )g x单调递减， 当 0 (xx ， ) 时， ( )0h x ， (。