高二数学必修五教案.pdf

高二数学高二数学 教学案教学案主备人：主备人：何志杰执教者：执教者：课题：课题：1.1.1正 弦 定 理【学习目标】【学习目标】1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题学习重点学习重点】正弦定理的探索和证明及其基本应用学习难点】【学习难点】已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数授课类型】【授课类型】新授课【教【教具】具】课件、电子白板【学习方法】【学习方法】【学习过程学习过程】个性设计一、引入：一、引入：固定ABC 的边 CB 及B，使边 AC 绕着顶点 C 转动思考：C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边 AB 的长度随着其对角C 的大小的增大而增大能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二、新课学习：二、新课学习：中，角与边的等式关系如图 1 1-2，在 RtABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角 三角 函数中 正弦 函数 的定义，有abc sinA，sinB，又sinC 1,则ccc在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形asinAbsinBcsinCc，从而在直角三角形 ABC 中，asinAbsinBcsinC思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据任意角三角函数的ab定义，有 CD=asinBbsinA,则，sinAsinB同理可得csinCbsinB，从而 asinAbsinBcsinC证法二）：过点 A 作jAC，由向量的加法可得ABACCB 则jABj(ACCB)-1-高二数学高二数学 教学案教学案 jABjACjCBj 00j AB cos90 A0 j CB cos90 Ccsin A asin C，即同理，过点 C 作j BC，可得acsin Asin Cbcsin Bsin C从而asinAbsinBcsinC类似可推出，当ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。

由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asinAbsinBcsinC 理解定理理解定理（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数 k 使aksinA，bksinB，cksinC；（2）asinAasinAbsinBcsinC等 价 于asinAbsinB，csinCbsinB，csinC从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如absinA；sinB已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinAasinBb一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角解三角形形三、特例示范：三、特例示范：例 1在ABC中，已知A32.00，B 81.80，a 42.9cm，解三角形例 2在ABC中，已知a 20cm，b 28cm，A400，解三角形（角度精确到10，边长精确到 1cm）注意：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形四、当堂练习：四、当堂练习：第 5 页练习第 1（1）、2（1）题。

补充练习已知ABC 中，sinA:sinB:sinC 1:2:3，求a:b:c（答案：1：2：3）五、本节小结：五、本节小结：-2-高二数学高二数学 教学案教学案（asinA1）b定csinC理的表示形式：sinBabckk 0；sinA sinB sinC或aksinA，bksinB，cksinC(k 0)（2）正弦定理的应用范围：已知两角和任一边，求其它两边及一角；已知两边和其中一边对角，求另一边的对角六、作业布置六、作业布置:学案 1.1.1课后反思：课后反思：-3-高二数学高二数学 教学案教学案主备人：主备人：何志杰执教者：执教者：课题：课题：1.1.2余 弦 定 理【学习目标】【学习目标】1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题2.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题【学习重点学习重点】余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；【学习难点】【学习难点】勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用授课类型】【授课类型】新授课【教【教具】具】课件、电子白板【学习方法】【学习方法】【学习过程学习过程】个性设计一、引入：一、引入：1.什么是正弦定理？什么是解三角形？2.思考：如图 11-4，在ABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c,已知 a,b 和C，求边 c二、新课学习：二、新课学习：联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因 A、B 均未知，所以较难求边 c。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题如图 11-5，设CBa，CAb，ABc，那么cab，则2 ccababaabb 2ab22ab 2abc从而c2a2b2 2abcosC同理可证a2b2c2 2bccosAbac 2accosB222于是得到以下定理余弦定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍即abc 2bccosA222b2a2c2 2accosB-4-高二数学高二数学 教学案教学案c2a2b2 2abcosC思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：b c acos A2bca c bcos B 2acb a ccos C 2ba222222222 理解定理理解定理 从而知余弦定理及其推论的基本作用为：已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其它角思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若ABC 中，C=900，则cos C 0，这时c2 a2b2由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

三、特例示范：三、特例示范：例 1在ABC 中，已知a 23，c 6 2，B 600，求 b 及 A例 2在ABC 中，已知a 134.6 cm，b 87.8 cm，c 161.7 cm，解三角形四、当堂练习：四、当堂练习：第 8 页练习第 1、2 题五、本节小结：五、本节小结：（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的应用范围：已知三边求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边六、作业布置六、作业布置:学案 1.1.2课后反思：课后反思：-5-高二数学高二数学 教学案教学案执教者：执教者：课题：课题：1.1.3正 弦 定 理 和 余 弦 定 理主备人：主备人：何志杰【学习目标】【学习目标】1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用2.通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题学习重点学习重点】在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

学习难点】【学习难点】正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用【授课类型】【授课类型】新授课【教【教具】具】课件、电子白板【学习方法】【学习方法】【学习过程学习过程】个性设计一、引入：一、引入：思考：在ABC 中，已知a 22cm，b 25cm，A 1330，解三角形由学生阅读课本第 9 页解答过程）从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题二、特例示范：二、特例示范：例例 1 1在ABC 中，已知a,b,A，讨论三角形解的情况分析：先由sinB0则C 180(AB)bsinA可进一步求出 B；a从而casinCA1当 A 为钝角或直角时，必须ab才能有且只有一解；否则无解2当 A 为锐角时，如果ab，那么只有一解；如果ab，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若absinA，则有两解；（2）若absinA，则只有一解；（3）若absinA，则无解以上解答过程详见课本第 910 页）评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当 A 为锐角且bsinAab时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。

例例 2 2在ABC 中，已知a 7，b 5，c 3，判断ABC 的类型分析：由余弦定理可知-6-高二数学高二数学 教学案教学案abcA是直角 ABC 是直角三角形222abcA是钝角 ABC 是钝角三角形222abcA是锐角 ABC 是锐角三角形222（注意：A是锐角 ABC 是锐角三角形）解：72 52 32，即a2b2c2，ABC 是钝角三角形例例 3 3在ABC 中，A 600，b 1，面积为值分析：可利用三角形面积定理S弦定理asinA32，求abc的sinA sinB sinC1212absinC12acsinBbcsinA以及正bsinBcsinCabcsinA sinB sinC32解：由S12bcsinA得c 2，则a2b2c2 2bccosA=3，即a3，从而abca 2sinA sinB sinCsinA四、当堂练习：四、当堂练习：（1）在ABC 中，已知a 80，b 100，A 450，试判断此三角形的解的情况c（2）在ABC 中，若a 1，12，C 400，则符合题意的 b 的值有_个3）在ABC 中，axcm，b 2cm，B 450，如果利用正弦定理解三角形有两解，求 x 的取值范围。

答案：（1）有两解；（2）0；（3）2 x 22）（1）在ABC 中，已知sinA:sinB:sinC 1:2:3，判断ABC 的类型2）已知ABC 满足条件acosAbcosB，判断ABC 的类型答案：（1）ABC 是钝角三角形；（2）ABC 是等腰或直角三角形）（1）在ABC 中，若a 55，b 16，且此三角形的面积S 2203，求角C-7-高二数学高二数学 教学案教学案（2）在ABC 中，其三边分别为 a、b、c，且三角形的面积S求角 C（答案：（1）600或1200；（2）450）abc4222，五、本节小结：五、本节小结：（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；（2）三角形各种类型的判定方法；（3）三角形面积定理的应用六、作业布置六、作业布置:学案 1.1.3课后反思：课后反思：-8-高二数学高二数学 教学案教学案主备人：主备人：何志杰执教者：执教者：课题：课题：1.2.1应 用 举 例（距 离）【学习目标】【学习目标】1会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法 2理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等 3.掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中有着广泛的应用【学习重点学习重点】1实际问题向数学问题的转化；2解斜三角形的方法【学习难点】【学习难点】实际问题向数学问题转化思路的确定【授课类型】【授课类型】新授课【教【教具】具】多媒体课件、电子白板【学习方法】【学习方法】【学习过程学习过程】一、引入：引入：1正弦定理：asin Absin Bcsin C 2R个性设计b c a2bc22222余弦定理：a2 b2 c2 2bc cos A,cos A b2 c a 2ca cos B,cos B 22c a 。