弹性力学第七 主应力.ppt

第七章空间问题的基本理论NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程弹性力学简明教程第七章第七章 空间问题的基本理论空间问题的基本理论概述§7-1 平衡微分方程§7-2 物体内一点的应力状态§7-3 主应力 最大与最小主应力§7-4 几何方程与物理方程§7-5 轴对称问题的基本方程NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程弹性力学简明教程概述概述概述概述 弹性力学基本方程建立了弹性力学问题的数学模型，为求解弹性力学奠定了基础虽然这些方程的直接求解十分困难，只有小部分可以得到分析解，这些解已经有了广泛的应用，更为重要的是这些方程的建立为有限元、边界元等数值计算提供了基础 弹性力学基本方程的求解一般是在一定条件下，对问题进行简化，化简方程再进行求解，简化后一般可分为平面问题，轴对称问题、球对称问题NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程弹性力学简明教程 空间问题的解析解一般只能在特殊边界条件下才可以得到可分为空空间球对称问题间球对称问题和空间轴对称问题空间轴对称问题一、球对称问题，，，，，， 当弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷都对称于某一点（过这一点的任一平面都是对称面），这时应力、位移等都对称于这一点，称为球对称问题，球对称问题的弹性体的形状只能是圆球或空心球。

球对称问题概述概述概述概述在球对称问题中，应力、应变、位移等分量都只是径向坐标 的函数NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程弹性力学简明教程概述概述概述概述 如果弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷都对称与某一轴（过该轴的任一平面都是对称面），这时应力、位移等都对称于这一轴，称为轴对称问题，轴对称问题的弹性体的形状一般为是圆柱或半空间 在轴对称问题中，应力、应变、位移等分量都只是径向坐标ρ ρ 、、Z Z的函数，与φ无关 轴对称问题ρ二、轴对称问题二、轴对称问题，，，，，，NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程弹性力学简明教程§7 7－－1 1 平衡微分方程平衡微分方程NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程弹性力学简明教程§ §7 7 7 7－－－－1 1 1 1 平衡微分方程平衡微分方程平衡微分方程平衡微分方程图图77－－11由受力平衡平衡微分方程NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程弹性力学简明教程§ §7 7 7 7－－－－1 1 1 1 平衡微分方程平衡微分方程平衡微分方程平衡微分方程由力矩平衡切应力互等二维三维NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程弹性力学简明教程§7-2 物体内一点的应力状态NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程弹性力学简明教程§7－2 物体内一点的应力状态方向余弦：（7-2）受力平衡，得到全应力分量斜面上的正应力和切应力（7-3）（7-4）NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程弹性力学简明教程方向余弦：§7－2 物体内一点的应力状态如果ABC是边界面， 成为面力分量空间问题的应力边界条件（7-5）（在 上）NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程弹性力学简明教程§7-3 主应力，最大与最小应力NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程弹性力学简明教程设主应力与全应力分量的关系：§7－3 主应力最大与最小应力abc代入（7-2）式：整理由于所以， 不全为零NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程弹性力学简明教程§7－3 主应力最大与最小应力（7-6）（（7 7－－6 6）即为求主应力公式）即为求主应力公式设是方程（7-6）的三个根，则：与（7-6）式比较，则：上式为应力状态的三个不变量应力状态的三个不变量（（77－－77））NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程弹性力学简明教程当求得主应力以后，利用下式求主方向为了求相应的方向余弦，利用上式的任意二式将二式除以（c）§7－3 主应力最大与最小应力NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程弹性力学简明教程可以求得的比值，再利用求出：同样也可以求出其他主应力的方向余弦。

§7－3 主应力最大与最小应力NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程弹性力学简明教程§7-4 7-4 几何方程及物理方程几何方程及物理方程NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程弹性力学简明教程（7－8）§ §7 7 7 7－－－－4 4 4 4 几何方程几何方程几何方程几何方程及物理方程及物理方程及物理方程及物理方程空间问题的几何方程或写称这种形式空间问题的位移边界条件（7－9）NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程弹性力学简明教程§ §7 7 7 7－－－－4 4 4 4 几何方程及几何方程及几何方程及几何方程及物理方程物理方程物理方程物理方程物理方程物理方程（7－12）其中：NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程弹性力学简明教程§ §7 7 7 7－－－－4 4 4 4 几何方程及物理方程几何方程及物理方程几何方程及物理方程几何方程及物理方程体积应变体积应变：单位体积的体积改变对于一个平行六面体微元略去高阶小量体积应变用位移表示的体积应变NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程弹性力学简明教程§ §7 7 7 7－－－－4 4 4 4 几何方程及物理方程几何方程及物理方程几何方程及物理方程几何方程及物理方程体积应力把物理方程（7－12）的前三项相加令体积应力体积应力（（77－－1313））其中 称为体积模量NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程弹性力学简明教程§ §7 7 7 7－－－－4 4 4 4 几何方程及物理方程几何方程及物理方程几何方程及物理方程几何方程及物理方程物理方程的另外一种表达形式其中：（7－14）NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程弹性力学简明教程§ §7 7 7 7－－－－4 4 4 4 几何方程及物理方程几何方程及物理方程几何方程及物理方程几何方程及物理方程小结：小结： 对于空间问题，们有对于空间问题，们有15个未知函数：个未知函数：6个应力分量，个应力分量，6个应个应变分量变分量3个位移分量。

个位移分量15个未知函数在弹性体区域内应该满足个未知函数在弹性体区域内应该满足15个独立的基本方程：个独立的基本方程：3个平衡微分方程，个平衡微分方程，6个几何方程，个几何方程，6个个物理方程，此外还要满足位移边界条件和应力边界条件物理方程，此外还要满足位移边界条件和应力边界条件NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程弹性力学简明教程§7 7－－5 5 轴对称问题的基本方程轴对称问题的基本方程NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程弹性力学简明教程§§7 7－－5 5 轴对称问题的基本方程轴对称问题的基本方程轴对称问题：轴对称问题： 在空间问题中，如果弹性体的在空间问题中，如果弹性体的几何形状几何形状、、约束情况约束情况，以及所受的，以及所受的外外力力作用，都是作用，都是对称于某一轴对称于某一轴（通过这个轴的任一平面都是对称面），则（通过这个轴的任一平面都是对称面），则所有的所有的应力应力、、变形变形和和位移位移也就对称于这一轴轴对称问题的弹性体的形也就对称于这一轴轴对称问题的弹性体的形状一般为是状一般为是圆柱圆柱或或半空间半空间。

在轴对称问题中，应力、应变、位移等分量都只是径向坐标在轴对称问题中，应力、应变、位移等分量都只是径向坐标 的的函数，与函数，与 无关无关 位移分量：位移分量：应力分量：应力分量：应变分量：应变分量：NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程弹性力学简明教程§§7 7－－5 5 轴对称问题的基本方程轴对称问题的基本方程问题描述：问题描述：图7－4－1 如图如图7－－4－－1，在圆柱（圆筒或半空间）取出一个微元，在圆柱（圆筒或半空间）取出一个微元PABC建立如图所示的坐标系（直角坐标和柱坐标）建立如图所示的坐标系（直角坐标和柱坐标）NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程弹性力学简明教程§§7 7－－5 5 轴对称问题的基本方程轴对称问题的基本方程分析分析 面上的应力情况，如图面上的应力情况，如图7－－4－－2和和7－－4－－3所示所示由由 得得图7－4－2图7－4－3NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程弹性力学简明教程§§7 7－－5 5 轴对称问题的基本方程轴对称问题的基本方程化简，并略去微量：化简，并略去微量：将六面体的受力投影到将六面体的受力投影到z轴上得到另外一个平衡方程轴上得到另外一个平衡方程化简，并略去微量：化简，并略去微量：NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程弹性力学简明教程§§7 7－－5 5 轴对称问题的基本方程轴对称问题的基本方程空间轴对称问题的平衡微分方程空间轴对称问题的平衡微分方程（7－15）NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程弹性力学简明教程§§7 7－－5 5 轴对称问题的基本方程轴对称问题的基本方程空间轴对称问题的空间轴对称问题的几何方程几何方程通过§2－4和§ 4－2中同样的分析，由径向位移 引起的变形由轴向位移 引起的变形将两组应变叠加，得到空间轴对称问题的将两组应变叠加，得到空间轴对称问题的几何方程几何方程（（77－－1616））NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程弹性力学简明教程§§7 7－－5 5 轴对称问题的基本方程轴对称问题的基本方程空间轴对称问题的空间轴对称问题的物理方程物理方程（胡克定律）（胡克定律）（7－17）NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程弹性力学简明教程§§7 7－－5 5 轴对称问题的基本方程轴对称问题的基本方程将前3式相加其中：体积应变体积应力物理方程的另外一种表示形式（（77－－2020））（（77－－1919））（（77－－1818））NORTHEASTERN UNIVERSITY弹性力学简明教程弹性力学简明教程n没有作业。