拉格朗日乘数法在消费者均衡原则中的应用优选.docx

拉格朗日乘数法在消费者均衡原则中的应用拉格朗日乘数法在花费 者平衡原那么中的使用 在应用偏导数求多元函数的极值时，假定函数的自变量有附加前提 ，那么称之为前提 极值这时，可用拉格朗日乘数法求前提 极值详细办法如下: 拉格朗日乘数法 设给定二元函数z=(x,y)跟 附加前提 (x,y)=0，为寻寻 z=(x,y)在附加前提 下的极值点，先做拉格朗日函数L(x,y)=(x,y)+(x,y)，此中 为参数求L(x,y)对于于x跟 y的一阶偏导数，令它们即是 零，并与附加前提 联破 ，即Lx(x,y)=x(x,y)+x(x,y)=0，Ly(x,y)=y(x,y)+y(x,y)=0，(x,y)=0 由上述方程组解出x，y及，如斯 求得的(x,y)，确实是函数z=(x,y)在附加前提 (x,y)=0下的能够极值点 微不雅观观 经济学研讨花费 者行动 时，所要论述的中心咨询 题是花费 者平衡的原那么所谓花费 者平衡指的是一个有感性的花费 者所采用 的平衡购置行动 进一步说，它是指保障 花费 者完成功效最小年夜 化的平衡购置行动 但人的需求或愿望是有限的，而满意 需求到手段是有限的。

因此 微不雅观观 经济学所说的功效最小年夜 化只能是一种有限度 的功效最小年夜 化而这种限度 的要素确实是种种 商品的价钱跟 花费 者的货泉 支出水平 起首 ，咱们 先引入一些名词说明 : 总功效(TU):花费 者在必定 时刻 内花费 必定 数目 某种商品或商品组合所失掉的总的满意 边沿功效(MU):花费 者在一切别的 商品的花费 水平坚持稳定 时，添加花费 一单元 某种商品所带来的满意 水平的添加，也确实是说指添加一单元 某种商品所惹起的总功效的添加 商品数目 (Q)，商品价钱(P), 支出(I)边沿功效的公式表白 为:MU=TU/Q 那么怎样 才干完成在制约前提 下功效最小年夜 化的商品组合呢？确实是当花费 者把全体 支出用于购置种种 商品时，他从所购置的每一种商品所失掉的边沿功效与其价钱的比例都一样，如斯 的商品组合确实是最准确 的或平衡的商品组合假定当花费 者抉择 两种商品x,y时，花费 者平衡原那么的公式表白 为:MUx MUyPx Py制约前提 的公式表白 式为:I=PxQx+PyQy那么这一论断 是怎样 推导出来的呢？处理这一咨询 题最直截了当 的办法确实是拉格朗日乘数法。

设功效函数U(Qx,Qy),为使它在制约前提 下获得极值，起首 建立 拉格朗日函数:L=U(Qx,Qy)+(I-PxQx-PyQy)，为参数求L(x,y)对于于x跟 y的一阶偏导数，令它们即是 零，并与附加前提 连破 即 L/Qx=U/Qx-Px=0 L/Qy=U/Qy-Py=0 I-PxQx-PyQy=0 将方程除以方程，得: U/Qx Px 即 MUx MUy U/Qy Py PX Py因此 ，花费 者要完成两种商品的功效最小年夜 化，边沿功效的比率应当 即是 价钱比率 以上是对于于于 x跟 y两种商品所说的，能否异样实用 于多种商品呢？谜底 是确信 的假如花费 者在n种商品中做出抉择 ，那么花费 者平衡的原那么可表白 为:MU1 MU2 MU3 MUnP1 P2 P3 Pn这一论断 异样可用拉格朗日乘数法证实 拉格朗日乘数法可推行到求n元函数(x1,x2,xn)在m个附加前提 (x1,x2,xn)下的前提 极值办法如下: m做拉格朗日函数L(x1,x2,xn)=(x1,x2,xn)+ ii(x1,x2); i=1 求L(x1,xn)对于于于 x1,xn的偏导数，令它们即是 零，并与附加前提 联破 ，即m Lxi=xi+ ii=0 ,i=1,2,n i=1 k(x1,x2,xn)=0 ,k=1,2,n求解此方程组，可失掉极值点。

如今回到咱们 的咨询 题中，设功效函数U(Qx1,Qx2,Qxn),为使它在制约前提 下获得极值,起首 建立 拉格朗日函数:L=U(Qx1,Qx2,Qxn )+(I-Px1Qx1-P2Qy2-PxnQxn)，为参数求L(x1,x2,xn)对于于x1,xn的一阶偏导数，令它们即是 零，并与附加前提 联破 即 L/Qx1=U/Qx1-Px1=0 1L/Qx2=U/Qx2-Px2=0 2 L/Qxn=U/Qxn-Pxn=0 n I-Px1Qx1-P2Qy2-PxnQxn将方程到(n)相除，即得， MUx1 MUx2 MUxnPx1 Px2 Pn因此 ，花费 者要完成n种商品的功效最小年夜 化，边沿功效的比率应当 即是 价钱比率 3Word版本。