
2021高中数学第56炼数列中的整数问题.docx
19页第56炼数列中的整数问题一、基础知识:1、 整数的基本性质:(1) 整数的和,差,积仍为整数(2) 整数的奇偶性:若〃 =2k +1侬e Z),则称〃为奇数;若〃 =2k(k e Z),则称〃为偶数, 在加,减,乘法运算中,其结果有以下规律:①奇数土奇数=偶数 ②奇数土偶数=奇数③偶数土偶数=偶数 ④奇数x偶数=偶数⑤偶数X偶数=偶数 ⑥奇数X奇数=奇数(3) 若 a,beZ,且 a
2) 整除问题:若表达式形式较为简单,可通过对常数进行因数分解,进而确定变量的取值; 若表达式次数较高,则可以先利用二项式定理去掉高次的项,再进行处理3) 多元整数不定方程:当变量的值为整数时,不定方程的解可能有有限多组解通常的处 理方式有两个:① 通过对表达式进行因式分解,对另一侧的常数进行因数分解,进而将不定方程拆成多个方 程的方程组,进而解出变量②将一个字母视为变量(其余视为参数)并进行参变分离,求出含变量函数的值域,进而将 参数置于一个范围内,再利用整数离散性求得参数的值(4)反证法:运用反证法处理整数问题时,常见的矛盾有以下几点:① 所解得变量非整数,或不符合己知范围② 等式两侧为一奇一偶3、整数问题通常会与数列联系起来,其特征就是数列中项的序数,以及前〃项和的项数,均为 正整数二、典型例题:例1:己知数列{%}的通项公式为an = 2n-l,若些旦为数列{an}中的项,则秫=am+2思路:%%+】=伽-7)(2m —5),切}中的项为大于等于_5 (%=—5)的奇数,所以%2 2 秫-3 "者声潞"职心奸形5形 伽一 7)伽-5)_[(2m -3)-4]-[(2m - 3)- 2]专虑对 向奇数彬久变形: — am+2 2m - 3 2m - 38 8 8=(2初一3)-6 = 2m-9H ,可得 应该为大于等于4的偶数,所以2m — 3 2m — 3 2m 一 3Q Q S =4或 =8,解得淅=一(舍)或〃1 = 22m — 3 2m — 3 2答案:m = 2、 (2m -7)(2m-5) ―小炼有话说:(1)本题的亮点在于对 八 的变形,在有关整数的问题里,通常2m 一 3可对分式进行“分离常数”的变形,从而将复杂的分式简化,并能立刻找到需处理的部分。
例Q如在本题中通过“分离常数”可迅速将目标锁定在 上2m 一 3Q(2)本题对 的处理有多个角度,还可以从分母出发,观察到2m-3应为奇数,而2m-3Q e Z,而8的奇因数只有1和一1,同样可确定m的值2m —3例2:己知等差数列{《,}的公差d>0,设的前〃项和为S.,%=1,S2・S3=36(1) 求q的通项公式(2) 求m,k(m,k e N*)的值,使得+ am+} + • • • + am+k = 65例3:己知数列{%}的前n项和为S.,且Sn=^n e N*)(1) 求数列{%}的通项公式,、]a,,(n = 2k — l,keN*) * . 、 ,、(2) 设 { *,是否存在 meN ,使得 /(/?? +15)= 5/(/??)成[3an -13(zz = 2k,k e N*)立?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由解:(1) S" =|■疽+?〃,S"T =;(〃 —if+?(〃 —1)(〃22)•••% =S〃-S“_1 =«+5(«>2)①ax = S] = ! + ^ = 6 符合① + 5(2)思路:/■(〃)按照奇偶分段,所以要确定m + 15,m的奇偶。
观察可发现无论秫为何值,m + 15,m均为一奇一偶,所以只需要对〃z的奇偶进行分类讨论,解出符合条件的〃z即可,、 a, = n + 5,n = 2k-l 解:f(n) = \ "' '[3an-13 = 3n + 2,n = 2k当m为奇数时,m+15为偶数/ (m+15)= 5/(w)^>3(m+15)+ 2 = 5(m+5)解得:m = ll当m为偶数时,m+15为奇数/(m+15)= 5/(m)=>(m+15)+5 = 5(3/77+2)解得:m=-(舍)7综上所述:m = ll例4:已知各项均为整数的数列{%}满足3 =-1,7 =4,前6项依次成等差数列,从第五项 起依次成等比数列(1) 求数列{%}的通项公式(2) 求出所有的正整数m ,使得am + am+x + am+2 = amam+}am+2 解:(1)设前 6 项的公差为d,则% = % + 2H =-1 + 2H,% = % + 4』=一1 + 4H va5,a6,a-,成等比数列,「.a; =a5-a7 n(4d —1)~ =4(2d-1) 解得:d = l.\n<6时,an =a3 +(n-3)J = n-4% = 1, % = 2,则 q = 2 n > 7 时,。
用=% • Qn 6 = 2n-5n — 4,n< 6. ♦ % = < q[2,,-5,7z>7(2)思路:由于数列{《,}分为两部分,当灯=5时,即为公比是2的等比数列,所以考虑对于 数列的前几项可进行验证,n>5后成等比数列,从而可进行抽象的计算,看是否能够找到符 合条件的mo解:由(1)可得:{%}:—3,—2,—1,0,1,2,4,8,…则当 m = l 时,+3 = 一6 =3当 m = 2 时,2 + % +4 = 一2,4 = °02 +3 + “4 尹当 m = 3 时,% ++5 = ° =5当 m = 4 时,+6 = 3,6 = °,5 + % A %%%当 m>5 时,假设存在m ,使得am + am+1 + am+2 = amam+1am+2则有 2m~5 (1 + 2 + 4)= 23n!"12 即:7 -2"'~5 = 23,,!"12 n 7=22m-722^7 > 23 = 8> 7,从而7=A 无解m 2 5 时,不存在这样的 m,使得 am + am+l +am+2 = amam+lam+2综上所述:m = l或秫=3例5:已知数列{%}的前n项和为Sn,且满足a, =-2, an+1 + 3S* + 2 = 0 (weN* ).(1) 求。
2, %的值;(2) 求数列{%}的通项公式;(3) 是否存在整数对(m,〃),使得等式an2-m-an=4m + 8成立?若存在,请求出所有满足 条件的(m,〃);若不存在,请说明理由.解:(1)在〃+1 + 3S〃 + 2 =中,令〃 =1,得:%+ 3S】+2 = 0% = —2 _ 3S] — —2 — 3q — 4再令〃 =2,得:% + 352 + 2 = 0 % -8(2) 由 o"+i+3S"+2 = 0 ①,可得:a„+3S„_1+2 = 0(ra>2)@①一②可得:an+l-an+3an =0^>an+l = -2an (n > 2).•.{%}从第二项开始成等比关系,公比为-2an=a2- (—2)" 2 = (―2)" (〃 2 2)而 % = -2 符合上式•皿=(-2)"(3) 思路:所成立的等式为(—2广一m(—2)" =4〃? + 8,考虑将进行分离得到:m =(-2)"+4仕2)]_= (_2)"-4 + ―-—,再利用〃为整数可得一-—为整数,从(-2)"+4 (-2)"+4而求出符合条件的〃,再求出m o解:由(2)得:(―2广一〃(—2)" =4〃? + 8[(-2)『8(-2)"+ 4[(一2)"j—16 + 8(-2)"+48(-2)"+4Q •.•meZ 且(-2Y'-4gZ 只需 eZ ,即(―2)"+4 = ±1,±2,±4,±8(-2)"+4Q经计算可得:n = 1,2,3时,-~-— e Z (-2) +4解得:n — \ [〃 = 2 [〃 = 3m =-2 [m = l [m = -14•••共有三组符合题意:(一2,1),(1,2),(—14,3)小炼有话说:(1) 在第(2)问中,要注意"的取值范围变化,并且要把〃所能取到的最小值代入到递推公式中以了解递推公式从第几项开始满足。
2) 二元不定方程在求解时,参变分离是一种方式,通过变形让两变量分居不等号的两侧,这样可以以一侧作为突破口(比如本题中的整除问题),来求得变量的解 例6:已知数列{%}是各项均不为0的等差数列,S,是其前〃项和,且满足a; = S2„_,,令 bn =—-—,数列{如}的前〃项和为Tn(1) 求数列{%}的通项公式及K(2) 是否存在正整数777,71(1 77< 71),使得TvTmJn成等比数列?若存在,求出所有的777,〃的值;若不存在,请说明理由解:⑴ S2,_=^H2〃-1)••• S2n-1 =(2〃 — I)% ••• a: = E"-1 且% ♦ oan =2n-l* 1 m m"(2n-l)(2n + l) 2(2〃-1 2n,+1J,_ If, 1,1 1 , , 1 1 ) _ 1 八 1 ) _ 〃..T = — 1 1 F 1 = — 1 = 2" 3 3 5 2n-l 2n + lJ 2" 2n + \) 2〃 + lZT?? 1 in(2)思路:先假定存在满足条件的则由Tj = T「T,,可得 :~ = ,无法(2m+ 1)' 3 2n + l直接得到不等关系,考虑变形等式: =6"*3 ,分离参数可得:—+ —— 2 = — ,m n mm n以°〉0为突破口可解出m的范围I 1-—,1 + —I,从而确定秫的值后即可求出〃n I 2 2 J解:假设存在则罗=匕主nrt m2 1 n (2m +1)2 6〃+ 3 4m2 + 4m +1 6〃+ 3(2m +1) 3 2〃 + 1 m n m nA 4 1 A 3 Rn 4 1 八n m m。
解得/. 4 + —+ —= 6 + —即一 + — -2 = — >03 4 1 1.-.777 = 2,代入可得:一=一+ r — 2 = 一,解得:n = 12 n 2 22 4存在m = 2,n = 12,使得7;,7;,7;成等比数列例7:己知各项均为正数的数列{%}满足:=3,且 -2(a; -1) a”] - a, =O,〃eN*(1)设bn=an- — ,求数列{如}的通项公式(2)设+G; 7^ 1 2,求,并确定最小正整数〃,使得Si为整数解:(1) ;+i_2(q;—l)%+i - G =n G (E+i t) = 2 (q; T)A+i。
