三角形解答题第二问中范围问题复习.doc
13页解三角形范围问题总结第一类与三角形的边相关的范围问题1.在△ABC 中，角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c, (& - c)(sinB 4- sinC) = afsinA - sinC).(1) 求B的值；(2) 若b = 3,求Q + c的最大值.2.设函数/(%)=(.4” cos 2x I 3 )+ 2cos2x.⑴求/'(x)的对称轴方程;b + c — 2,求a的最小值.(2)已知ABC中，角A, 3, C的对边分别是a,b,c,若f4.在 ABC中，角A, 3, C的对边分别为a,b,c ,且2ccosB-2a+b.(1) 求角C；(2) 若ABC的面积为S=J3c,求泌的最小值.2点睛：和余弦定理有关的最值问题，常与三角形的面积结合在一起考查，解题时要注意对所得式子进行 适当的变形，如a2+b2 =(a+b^-2ab,以构造出a+b和油的形式，为运用基本不等式创造条件.另 外，在应用基本不等式的过程中，要注意等号成立的条件.7. 在△ ABC 中，角 A, B,所对的边分别为 s b, c,已知 cosC + cosAcosB = ^sinAcosB .(I )求cosB的值；(II)若q + c = 1,求A的取值范围.8.AABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且2cosC(qcosB + bcosA) = c.(1) 求角c；(2) 若c = 2,求Q + b的最大值.9. 在AA8C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足：①AA8C的外心在三角形内部(不包括边);②(屏-c2)sin(B + C)= A/3tzccos(A + C).(1) 求A的大小；b c(2) 求代数式己兰的取值范围.a10..在△4BC中，内角4、B、C的对边分别为a、b、c,且(2b - c)cosA acosC.(I )求角0的大小；(II)若点D满足AD = 2AC,且BD = 3,求2b + c的取值范围.11. 在AABC中，角,A,3,C的对边分别为a,b,c,且tanA + tanB =荣既 cosA(1) 求角B的大小；(2) 若a + c = 4,求力的取值范围.12. 已知 dlBC的内角A,B,C的对边长分别为a,b,c ,且 一= tanA + tanB. acosB(1)求角A的大小；⑵设0为BC边上的高，a = @ 求卷的范围.【总结】三角形中最值或范围问题，一般转化为条件最值或范围问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公 式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值.在利用基本不等式求最值 时，要特别注意“拆、拼、凑''等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式 的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.第二类与三角形的角相关的范围问题2. 己知函数/'(x) = sinxcosx - sin" + :.(I )求/'(X)的单调递增区间；(II)在 ABC 中，a,b,c为角 的对边，且满足bcos2A = bcosA-asinB0 满足sinBsinC = ^sin2B + sin2C-sin2AjtanA.(I )求角A的大小;(II)若AABC的外接圆的圆心是半径是1,求OA(AB + AC)的取值范围.6.设AABC三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c, AABC的面积S满足4右S ^cr+b2-c2.(1) 求角C的值；(2) 求sinB 一 cosA的取值范围.7.在△0BC中，角4 B,的对边分别为q, b, c, 4S △扉2(1) 求C的大小；(2) 求松2?1 + siv?B的取值范围.8.在AABC中，角A,B, C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA = acosC.(1)求角的大小;(2)求以=J§sinA-cos|户+j J的取值范围.9 ABC 的内角 A、B、所对的边分别为 a, b, c ,且 asinA +》sinB = csinC + J*sinB(1)求角C； (2)求 V3sinA — cos 3 + § 的最大值.10. 已知向量m = (sinB,l—cosB),且与向量力=(2,0)所成角为;，其中A,B,C是AABC的内角1) 求角B的大小；(2) 求sinA+sinC的取值范围.第三类与三角形的一面积相关的范围问题]AABC的内角A、B、C的对边分别为。 b、c,已知a - bcosC + ^/3csinB .(1) 求B；(2) 若b = l,求AABC面积的最大值.2. 已知向量a =(siiu,cos%) , b = (cosx,-J§cosx),函数/(%) = «•/?.(1) 求f(x)的单调递增区间；(2) 在 AABC 中，a, b, c 是角 A, B, C 的对边，若/(C)= O, 0 的对边分别为b , c , a = c(sinB+cosB).D(1)求/ACB的大小;(2)若ZABC = ZACB, D为 ABC外一点，DB = 2, DC = 1,求四边形面积的最大值.11. ABC的内角A, B ,的对边分别为q, b , c ,已知也bcosC + bsinC =也..(I )求角8的大小；(II)若b = g,求MBC的面积的最大值.13. 在 MBC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且之+ c2 -/?2 = — ac.2A + C⑴求sin2 b cos2B的值；2(2)若b = 2,求AABC面积的最大值.15.已知在A4BC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,且满足sinA + sinB a- c(I) 求8;(II) 若b=® 求A4BC面积S的最大值.c a-b【思路引导】(1)根据三角形的三角关系得到sin^A + B)=sin^-C)=sinC,由正弦定理得到顽一X,即a2 + c2-b2 = aC,再由余弦定理得到结果；(2)根据余弦定理和均值不等式得到acV3,再由面积公式得到最值.c 八…r sinA — sinB + sinC 16.已知△ABC的内角A,B,CW足siaBsinCsinA + sinB - sinC(1)求角A； (2)若即C的外接圆半径为1,求即C的面积S的最大值.【总结】1. 三角函数问题在求解时要注意结合正弦定理的边角互化关系快速转换求解，涉及面积最值时明确面积公式 结合基本不等式求解是借此题第二问的关键.2. 解三角形问题不是孤立的，而是跟其他相关知识紧密联系在一起，通过向量的工具作用，将条件集中到三 角形中，然后利用三角恒等变换、正弦定理和余弦定理及其相关知识解题，是常见的解题思路，为此，熟 练掌握向量的基本概念和向量的运算，熟练进行三角变换和熟练运用正弦定理以及余弦定理及均值不等式 是解题的关键.第四类与三角.形的周长相关的范围问题2.A4BC的内角为A,B,C的对边分别为a,b,c,己知一= ~ + 上. cosCsinB sinB cose(1) 求+ B) + sinAcosA + cos(4 - B),的最大值；(2) 若3 =膜，当AABC的面积最大时，A4BC的周长；【思路引导】(1)先根据正弦定理将边角关系转化为角的关系，在根据三角形内角关系利用诱导公式化简得 cosB — sinB , 解得 B,代入 sin(A + B) + sinAcosA + cos{A - B) 化简 得 y/2(sinA + cosA) + sinAcosA,根据三角函数同角关系转化为二次函数，最后根据对称轴与 定义区间位置关系确定最大值取法，(2)先根据余弦定理得2^a2 + c2-^2ac,再根据基本不 等式求ac最大值，此时A4BC的面积取最大，根据最大值等号取法确定a, c值，即得三角形 周长.3.已知在AABC中，内角A, B, C所对的边分别为a,b,c,且满足a + 2acosB = c.(I )求证：B = 2A；(II)若AABC为锐角三角形，且c = 2,求。 的取值范围.4. 已知 AABC的内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c, (a-2b)cosC+ccosA = 0.(1) 求角C；(2) 若c = 2也,求AABC的周长的最大值.5. 已知a,b,c是即C的三个内角A,B,C的对边，且满足至二竺史 a cosA(1) 求角A；(2) 若1 = 2后，求AABC周长的最大值.7.在锐角 中，c = 2, y/3a = 2csinA.(1)若A4BC的面积等于占，求a、b； (2)求即C的周长的取值范围.8.在 A4BC中，内角 A、B、C 的对边分别为a、b、c , a-2且(sinA+sinB)(2-/?) = ^sinC-sinB^c.(I )求A；(II)求即C的周长的取值范围.9.在 MBC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c ,中线AD - m , W足疽+2阮= 4//.(I) 求ZBAC-(II)。
