行列式典型例题.docx

名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀教案 欢迎下载其次讲 行列式综合训练第一部分例 2.1 运算行列式，其中对角线上元素都是 a，未写出的元素都是零．a 1D n =1 a解 这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质．方法 1 利用性质，将行列式化为上三角行列式．a 1 0 1c 1 c a1 a nD n =a =〔a1 〕a na1 = a n - a n 2a方法 2 仍旧是利用性质，将行列式化为上三角行列式．arn r1a 1 11c1 c n an n 2D n =1=a a 1= a - aa 1方法 3 利用绽开定理，将行列式化成对角行列式．0 0 1ac1绽开D n = aa n 1+〔 1〕n 1 a0a 0 n 10 0 1an 1 a 0而 〔 1〕a 0 n 1最终列绽开=2 n 1〔 1〕= a n 2a n 2n1Dn = a a -a n 2 = a n - a n 2方法 4 利用公式A O= A B ．O B将最终一行逐行换到第 2 行，共换了 n n 2 次．2 次；将最终一列逐列换到第 2 列，也共换了 第 1 页，共 21 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀教案 欢迎下载a 1anD = 〔 1〕2〔 n 2〕 1 a = a 11 aaa n 2= a n - a n 2方法 5 利用公式A O= A B ．O B例 2.2 运算 n 阶行列式：a1 b1Da1na2a2 b2anan〔 b1b2bn 0 〕a1 a2 an bn解 采纳升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素a1 , a2, , an，可在保持原行列式值不变的情形下，增加一行一列，适当挑选所增行（或列）的元素，使得下一步化简后显现大量的零元素．1 a1 a2an 1a1 a2 an1120 a b a升阶an r2 r1r3 r11 b1 0 0Dn 0 a1a2 b2an 1 0 b2 0rn 1 r10 a1 a2an bn1 0 0 bn1 a11 b1a1a1 a 2 anb1c1 c jbj 1 0b1 0 0a1 an= b1b2 bn 〔1 〕j 2, ,n 10 0 b2 0b1 bn这个题的特别情形是0 0 0 bna1 x a2Da1 a2na1 a2anx anan= xnx1〔 xnai 〕i 1可作为公式登记来．例 2.3 运算 n 阶行列式： 第 2 页，共 21 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀教案 欢迎下载1 a1 1 1D1 1 a2 1n1 1 1 an其中 a1a2an 0 ．解 这道题有多种解法． 方法 1 化为上三角行列式1 a1c11 1 a b 1 1c1 jri r1Dna1 a2a j 0 a2其中 b1 a1i 2, ,nn 1a1i 2 aia1a1 1n 1i 1 aian，于是j 2, ,nDn0a1a2an 1ann 1．i 1 ai方法 2 升阶（或加边）法1 1 1 11 1 1 10 1 a1 1 1升阶ri r11 a1 0 0Dn 0 1 1 a21 1 0 a2 0i 2,3, , n 10 1 1 1 an 1 0 0 ann 11 1 1 1j11c 1 c a ji 1 a ja1n 1a a a 1j 1,2, ,n 11 2 na2i 1 aian方法 3 递推法．将D n 改写为1 a1 1 1 01 1 a2 1 0Dn1 1 1 an1 a1 1 1 1 a1 1 0按cn 拆开1 1 a21 1 1 a2 0+1 1 1 1 1 an 第 3 页，共 21 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀教案 欢迎下载1 a1 1 1 a11 1 a2由于1 ri rn a2a1a2an 1i1 1 11, ,n 11 1 11 a1 1 01 1 a20 按cn绽开a nD n 11 1 an因此 Dn = an Dn 1a1a2an 1 为递推公式，而 D11 a1 ，于是D =a Da a a = a a aDn 1 1n n n 1 1 2n 1 1 2 na1a2an 1 an= a1a2 anDn 2 1 1=a1a2an 2an 1 anaD1= a1a2 n1 1= a1a2an 11 1 11x12 x1例２ .4设f 〔 x〕1x23x2 ，证明存在〔0,1〕, 使 f 〔〕 0 .1x34 x3a1 a2 an a1 a2 an证 由于f 〔 x〕 是关于 x 的二次多项式多项式 , 在0,1上连续 ,〔0,1〕 内可导 , 且111101f 〔 0〕1220 ,f 〔1〕1110133121由罗尔定理知 , 存在〔0,1〕 , 使f〔 〕0 .1111abcd例 2.5 运算 D = 2 2 2 2 ．a b c da4 b 4 c4 d 4解 这不是范得蒙行列式，但可借助求解范得蒙行列式进行求解．方法 1 借助于求解范得蒙行列式的技巧进行求解：从下向上，逐行操作． 第 4 页，共 21 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀教案 欢迎下载4 3r a2r 1 1 1 1r3 ar2r2 ar1 0Db a c a d a0 b〔b a〕c〔c a 〕d 〔d a 〕0 b 2 〔b 2a 2 〕c2 〔c2a 2 〕d 2 〔d 2a 2 〕c1绽开= 〔b a〕〔 c a 〕〔 d a〕1 1 1b c db2 〔b a〕c2 〔c a〕d 2 〔d a〕r3拆开= 〔b a〕〔 c a 〕〔 d a 〕 （1 1 1b c d1 1 1+ a b c d ）b3 c3 d 3 b2 c2 d 2其中b3 c33 2111rr2b2rbr1111bcd0cb dbd 3 0c 〔c2b2 〕d 〔 2d2 b〕1 1= 〔c b〕〔 d b 〕c〔c b〕 d 〔d b〕= 〔c b〕〔 d b 〕[ d 〔d b 〕c〔c b 〕]1 1 1由于 b c d是范德蒙行列式，故1 1 1b c d= 〔c b〕〔 d b〕〔 d c〕b2 c2 d 2 b2 c2 d 2D = 〔a b c d 〕〔b a 〕〔 c a 〕〔 d a 〕〔 c b〕〔 d b〕〔 d c 〕c 2 c1c 3 c1方法 2 Dc 4 c11 0 0 0a b a c a d a a 2 b2 a2 c2 a2 d 2 a2a 4 b4 a4 c4 a4 d 4 a4r1绽开= 〔b a〕〔 c a 〕〔 d a 〕1 1 1b a c a d a〔b2a 2 〕〔 b a 〕 〔c2a 2 〕〔 c a 〕 〔d 2a2 〕〔 d a 〕c2 c1c3 c1〔b a 〕〔 c a〕〔 d a 〕1 0 0b a c b d b2 2〔b a 〕〔 b a 〕 x 。