高中数学6.4中国剩余定理导学案北师大版选修3-1.doc

中国剩余定理民间传说着一则故事——“韩信点兵”．秦朝末年，楚汉相争．一次，韩信带1 500名将士与楚王大将李锋交战．苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营．当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来．只见远方尘土飞扬，杀声震天．汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗．韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌．他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名．韩信马上向将士们宣布：我军有1 073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人．汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”“神机妙算”．于是士气大振．一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团．交战不久，楚军大败而逃．你知道韩信是怎么算出士兵人数的吗？这要用到今天我们要学习的知识．1．“物不知数”这个题目最早出现在我国古老的数学名著《孙子算经》之中，原题是：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”实际上这个问题用现代数学语言表示，就是求一次同余式组的解的问题：求正整数x，满足条件为____________．这个同余式等价于求下面不定方程组的正整数解______．2．“物不知数”问题的解法分3步：(1)设P满足两个条件：①5|P,7|P　②P≡________；设Q满足两个条件：①3|Q,7|Q　②Q≡________；设R满足两个条件：①3|R,5|R　②R≡________.(2)把它们叠加起来，就得到解：2P＋3Q＋2R.因为2P＋3Q＋2R除以3余2，除以5余3，除以7余2.(3)我们来求P的值．由P＝5×7×m(m是自然数)，令m＝1，P＝35≡2(mod 3)；令m＝2，P＝70≡1(mod 3)．∴P＝________.同理求得Q＝________，R＝________.故2________＋3Q＋2R＝________.因为问题的解不唯一，且3×5×7＝105，所以最小正整数解为____________．满足条件的所有解为____________．3．我国南宋时期数学家________在《数书九章》第一章“大衍术”中给出了“物不知数”的一般形式及其解法．因为所用的一次同余方程右边均为1，所以他称这种方法为“大衍求一术”．4．德国人________首先发现“大衍求一术”与高斯发现的一次同余方程组的一般解法是一致的，这一发现受到当时数学史学家们的高度重视，从此，西方将关于一次同余方程组求解的剩余定理称为“________”．答案：1． 2．1(mod 3)　1(mod 5)　1(mod 7)　70　21　15　P　233　233－105×2＝23　23＋105n(其中n为自然数)3．秦九韶4．马蒂生　中国剩余定理一、问题来源【例1】 “物不知数”这个驰名中外的问题最早出现在________之中．(　　)A．《九章算术》 B．《周髀算经》C．《孙子算经》 D．《数书九章》答案：C【例2】 韩信点兵问题就是今天数论中的(　　)A．函数问题 B．拓扑问题C．运筹问题 D．同余问题答案：D“物不知数”等价于下列哪个不定方程的正整数解(　　)A． B． C． D．二、问题的解【例3】 “物不知数”问题的最小正整数解是(　　)A．13 B．23 C．105 D．233答案：B【例4】 “物不知数”问题给出解法“三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十．并之，得二百三十三．以二百一十减之，即得．”的著作是(　　)A．《九章算术》 B．《孙子算经》C．《墨经》 D．《周易》答案：B“物不知数”的解法口诀：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝．七子团圆正半月，除百零五便得知．”出自(　　)A．《算法统宗》 B．《孙子算经》C．《数书九章》 D．《九章算术》三、秦九韶与大衍求一术【例5】 下列哪部著作是秦九韶所写(　　)A．《九章算术》 B．《海岛算经》C．《数书九章》 D．《五经算术》答案：C【例6】 秦九韶是我国(　　)A．北宋时期数学家 B．南宋时期数学家C．唐朝时期数学家 D．明朝时期数学家答案：B第一个发现“大衍求一术”与高斯发现的一次同余方程组的一般解法是一致的德国人是(　　)A．斐波那契 B．伟烈亚力C．马蒂生 D．康托关于一次同系方程组求解的剩余定理在西方被称为“中国剩余定理”，在中国又称为“________”．1．韩信点兵问题实际上出自数学名著《孙子算经》中的“物不知数”问题．2．“物不知数”问题的一般解为23＋105n(其中n是自然数)，最小正整数解为23.3．秦九韶在《数书九章》一书中给出了“物不知数”问题的一般形式及一般解法：“大衍求一术”．4．“大衍求一术”失传了500多年，清朝黄宗宪等人经过艰苦努力使其重新出现在世人面前．5．1876年，德国人马蒂生首先发现“大衍求一术”与高斯发现的一次同余方程组的一般解法一致．著名的数学家M.康托高度评价了“大衍求一术”．从此，西方将关于一次同余方程组求解的剩余定理称为“中国剩余定理”，充分展现了中国古代数学算法精神的魅力．答案：1．A　2.A　3.C　4.孙子定理。