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《运筹学(第五版) 习题答案》.pdf

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    • 运筹学习题答案运筹学习题答案第一章(39 页)1.1 用图解法求解下列线性规划问题,并指出问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解1)max 12zxx5+10501x2x+11x2x42x,01x2x(2)min z=+1.51x2x+331x2x+21x2x,01x2x(3)max z=2+21x2x-11x2x-0.5+21x2x,01x2x(4)max z=+1x2x-01x2x3-31x2x,01x2x解:(1) (图略)有唯一可行解,max z=14(2) (图略)有唯一可行解,min z=9/4(3) (图略)无界解(4) (图略)无可行解1.2 将下列线性规划问题变换成标准型,并列出初始单纯形表1)min z=-3+4-2+51x2x3x4x4-+2-=-21x2x3x4x+3-141x2x3x4x-2+3-+221x2x3x4x,0,无约束1x2x3x4x(2)max kkzsp11nmkikikikza x11(1,., )mikkxin 0 (i=1n; k=1,m)ikx(1)解:设 z=-,=-, ,0z4x5x6x5x6x标准型:Max =3-4+2-5(-)+0+0-M-Mz1x2x3x5x6x7x8x9x10 xs. t . -4+-2+-+=21x2x3x5x6x10 x+3-+=141x2x3x5x6x7x-2+3-+2-2-+=21x2x3x5x6x8x9x,01x2x3x5x6x7x8x9x10 x 初始单纯形表:jc3-42-5500-M-MBCBXb1x2x3x5x6x7x8x9x10 xi-M10 x2-41-21-10001207x14113-11100014-M9x2-23-12-20-1102/3-z4M3-6M4M-42-3M3M-55-3M0-M00(2)解:加入人工变量,得:1x2x3xnxMax s=(1/)-M-M-.-Mkp1ni1mkikikx1x2xnxs.t. (i=1,2,3,n)11miikkxx0, 0, (i=1,2,3n; k=1,2.,m)ikxix M 是任意正整数初始单纯形表:jc-M-M -M11kap12kap1mkap1nkap2nkapmnkapBCBXb1x2xnx11x12x1mx1nx2nxnmxi-M1x110 011 000-M2x101 00 000 -Mnx100 1000 111-snM00 011kaMp12kaMp1mkaMp1nkaMp2nkaMpmnkaMp1.3 在下面的线性规划问题中找出满足约束条件的所有基解。

      指出哪些是基可行解,并代入目标函数,确定最优解1)max z=2+3+4+71x2x3x4x 2+3-4=81x2x3x4x -2+6-7=-31x2x3x4x,01x2x3x4x(2)max z=5-2+3-61x2x3x4x+2+3+4=71x2x3x4x2+2=31x2x3x4x01x2x3x4x(1)解:系数矩阵 A 是:23141267令 A=(,)1P2P3P4P与线形无关,以(,)为基,为基变量1P2P1P2P1x2x有 2+3=8+41x2x3x4x -2=-3-6+71x2x3x4x令非基变量,=03x4x解得:=1;=21x2x基解=(1,2,0,0为可行解(1)X)T=81z同理,以(,)为基,基解=(45/13,0,-14/13,0是非可行解;1P3P(2)X)T以(,)为基,基解=(34/5,0,0,7/5是可行解,=117/5;1P4P(3)X)T3z以(,)为基,基解=(0,45/16,7/16,0是可行解,=163/16;2P3P(4)X)T4z以(,)为基,基解=(0,68/29,0,-7/29是非可行解;2P4P(5)X)T以(,)为基,基解=(0,0,-68/31,-45/31是非可行解;4P3P(6)X)T最大值为=117/5;最优解=(34/5,0,0,7/5。

      3z(3)X)T(2)解:系数矩阵 A 是:12342112令 A=(,)1P2P3P4P,线性无关,以(,)为基,有:1P2P1P2P+2=7-3-41x2x3x4x2+=3-21x2x3x4x令 ,=0 得3x4x=-1/3,=11/3 1x2x基解=(-1/3,11/3,0,0为非可行解;(1)X)T同理,以(,)为基,基解=(2/5,0,11/5,0是可行解=43/5;1P3P(2)X)T2z以(,)为基,基解=(-1/3,0,0,11/6是非可行解;1P4P(3)X)T以(,)为基,基解=(0,2,1,0是可行解,=-1;2P3P(4)X)T4z以(,)为基,基解=(0,0,1,1是=-3;4P3P(6)X)T6z最大值为=43/5;最优解为=(2/5,0,11/5,02z(2)X)T1.4 分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题,并指出单纯形迭代每一步相当于图形的哪一点1)max z=2+1x2x 3+5151x2x 6+2241x2x,01x2x(2)max z=2+51x2x41x2122x3+2181x2x,01x2x解:(图略)(1)max z=33/4 最优解是(15/4,3/4)单纯形法:标准型是 max z=2+0+01x2x3x4xs.t. 3+5+=151x2x3x 6+2+=241x2x4x ,01x2x3x4x单纯形表计算:jc2100BCBXb1x2x3x4xi03x153510504x2462014-z0210003x3041-1/23/421x411/301/612-z-801/30-1/312x3/4011/4-1/821x15/410-1/125/24-z-33/400-1/12-7/24解为:(15/4,3/4,0,0 )T Max z=33/4迭代第一步表示原点;第二步代表 C 点(4,0,3,0;)T第三步代表 B 点(15/4,3/4,0,0 。

      )T(2)解:(图略) Max z=34 此时坐标点为(2,6)单纯形法,标准型是:Max z=2+5+0+0+01x2x3x4x5xs.t. +=41x3x 2+=122x4x 3+2+=181x2x5x,01x2x3x4x5x(表略)最优解 X=(2,6,2,0,0 )T Max z=34迭代第一步得=(0,0,4,12,18表示原点,迭代第二步得=(0,6,(1)X)T(2)X4,0,6,第三步迭代得到最优解的点)T1.5 以 1.4 题(1)为例,具体说明当目标函数中变量的系数怎样变动时,满足约束条件的可行域的每一个顶点,都可能使得目标函数值达到最优解:目标函数:max z=+1c1x2c2x(1)当0 时2c =-(/)+z/ 其中,k=-/2x1c2c1x2c1c2c=-3/5,=-3ABkBCkk 时, 1c,2c同号BCk当0 时,目标函数在 C 点有最大值2c当0 时,目标函数在原点最大值2cBCkkABk时,1c,2c同号当0, 目标函数在 B 点有最大值;2c当0,目标函数在原点最大值2cABk k 0 时,1c, 2c同号当0 时,目标函数在 A 点有最大值2c当0 时,目标函数在原点最大值。

      2ck 0 时,1c ,2c异号当0,1c 0 时,目标函数在 A 点有最大值;2c当0,1c 0 时,目标函数在 C 点最大值2ck= ABk时,1c, 2c同号当0 时,目标函数在 AB 线断上任一点有最大值2c当0,目标函数在原点最大值2ck= BCk时,1c, 2c同号当0 时,目标函数在 BC 线断上任一点有最大值2c当0 时,目标函数在原点最大值2ck=0 时,1c=0当0 时,目标函数在 A 点有最大值2c当0,目标函数在 OC 线断上任一点有最大值2c(2)当=0 时,max z= 1c2c1x0 时,目标函数在 C 点有最大值1c1c 0 时,目标函数在 OA 线断上任一点有最大值1c=0 时,在可行域任何一点取最大值1.6 分别用单纯形法中的大 M 法和两阶段法求解下列线性问题, 并指出属于哪类解1)max z=2+3-51x2x3x+151x2x3x2-5+241x2x3x,01x2x(2)min z=2+3+1x2x3x+4+281x2x3x3+261x2x,01x2x3x(3)max z=10+15+121x2x3x5+3+91x2x3x-5+6+15151x2x3x2+51x2x3x,01x2x3x(4)max z=2-+21x2x3x+61x2x3x-2+21x3x2-02x3x,01x2x3x解:(1)解法一:大 M 法化为标准型:Max z=2+3-5-M+0-M1x2x3x4x5x6xs.t. +=71x2x3x4x 2-5+-+=101x2x3x5x6x,0 M 是任意大整数。

      1x2x3x5x4x6x单纯形表:jc23-5-M0-MBCBXb1x2x3x4x5x6xi-M4x71111007-M6x102-510-115-z17M3M+23-4M2M-50-M0-M4x207/21/211/2-1/24/721x51-5/21/20-1/21/2-z2M-100(7/2)M+80.5M-600.5M+1-1.5M-132x4/7011/72/71/7-1/721x45/7106/75/7-1/71/7-z-102/700-50/7-M-16/7-1/7-M+1/7最优解是: X=(45/7,4/7,0,0,0 )T目标函数最优值 max z=102/7有唯一最优解解法二:第一阶段数学模型为 min w= + 4x6xS.t. + + =71x2x3x4x2 -5 + - + =101x2x3x5x6x,,,01x2x3x4x5x6x(单纯形表略)最优解X=(45/7,4/7,0,0,0 )T目标函数最优值 min w=0第二阶段单纯形表为:jc23-50BCBXb1x2x3x5xi32x4/7011/71/721x45/7106/7-1/7-z-102/700-50/7-1/7最优解是X=(45/7,4/7,0,0,0 )TMax z=102/7(2)解法一:大 M 法=-z 有 max =-min (-)=-min zzzz化成标准形:Max =-2-3-+0+0-M-Mz1x2x3x4x5x6x7xS.T. +4+2-+=41x2x3x4x6x 3+2-+=61x2x5x7x ,,,,01x2x3x4x5x6x7x(单纯性表计算略)线性规划最优解 X=(4/5,9/5,0,0,0 ,0)T 目标函数最优值 min z=7非基变量的检验数=0,所以有无穷多最优解。

      3x3两阶段法:第一阶段最优解 X=(4/5,9/5,0,0,0,0 是基本可行解,min w=0)T第二阶段最优解(4/5,9/5,0,0,0,0 min z=7)T非基变量的检验数=0,所以有无穷多最优解3x3(3)解:大 M 法加入人工变量,化成标准型:Max z=10 +15 +12 +0 +0 +0 -M 1x2x3x4x5x6x7xs.t. 5 +3 + + =91x2x3x4x -5 +6 +15 + =151x2x3x5x 2 + + - + =51x2x3x6x7x ,,,,01x2x3x4x5x6x7x单纯形表计算略当所有非基变量为负数,人工变量=0.5,所以原问题无可行解7x两阶段法(略)(4)解法一:大 M 法单纯形法, (表略) 非基变量的检验数大于零, 此线性规划问题有无界解4x两阶段法略1.7 求下述线性规划问题目标函数 z 的上界和下界;Max z=+1 1c x22c x11 11221a xa xb21 12222a xa xb其 中 :,113c246c1812b21014b1113a ,1225a2124a2246a解:解:求 Z 的上界Max z=3+61x2xs.t. -+2121x2x 2+4141x2x,02x1x 加入松弛变量,化成标准型,用单纯形法解的,最优。

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