关于运用CASIO图形计算器解决超越方程解的个数的探.doc

辽宁省沈阳市第十五中学2013年高中数学论文图形计算器应用能力测试活动学生关于运用CASIO图形计算器解决超越方程解的个数的探究在日常的数学学习中，我们经常会遇到这样一些问题，例如求解方程cosx = lgx的实数解 个数，这类方程被称为超越方程，超越方程一般指的是等号两边至少有一个含有未知数的初 等超越函数式的方程如指数方程、对数方程、三介方程、反三角方程等超越方程一般没 有解析解，而只有数值解或近似解，只有特殊的超越方程才可以求出解析解来而这样的题 便是令大多数同学的十分头痛的难题而适当地运用CASIO图形计算器并辅以一定的数学运 算，就能方便而准确地解决这类问题首先，对于文章开头所提出的COSX = lgx ,采用以下简单的解法来解决问题:在CASIO计算器中选取图形模块，输入方程:|=| iMathllRadllNormll[I「I ■Yl^cos xY2Blog xY3：Y4Y5Y61 [EXE]：显示坐标Yl=cd® xY2=城 x然后绘图，很容易得到冇三个交点:那么，当面对比较复杂的，例如带参数的超越方程时，应当如何解决呢？ 例如F题：当方程sinx二lg[p(x-l) + l]对于r >0解的个数为n[n >l,ne NY3：Y4：Y5：Y6：个时，R的取值范围是？ 为解决这道题，首先利用图形计算器中的动态函数，初步了解题目:先取Z: =1,2,3,观察图形：H [Oil 嗣〔Reall动态函数：Y=YlBsinX 1Y2BSSCB3JI093从图形中可以发现，由于n与k的值都是不定的，无法肓•接从图中得出准确的答案。

当n为偶数时，对数函数与sin函数的最后一个交点应该在sin函数的最大值，即尸1时取 到，根据这一点，可以联想到当n为奇数时，对数函数的最后两个交点会穿过sin函数的“山 峰”，即类似于k=l时的部分图像：那么，根据以上分析，分类讨论:1.当n为偶数时：设n=2m,此吋代入数据,lg k 2加r 1 +1=1,即当兀=2加兀+彳为最后一个交点时，将其有2m个交点解得:18 _ 182m7T + --l 2呦 +乃-2 271时的sin函数值小于1, 乂要保证2.当n为奇数时，既要保证X = 2m7U + —X = 2（m + 1）71 + —的sin函数值大于1,这样才能保证刈数函数与sin函数共有n个交点，根据上述分析列出不等式：lglgkyZm7T-\-^-\ +1 < 1比（2（加+ 1）兀+彳一1] + 1>1根据上述不等式解出n为奇数时k的范围：18 7 18 0解的个数为n[n >\,ne N )个时,当n为偶数时，18 _ 182m7T + --l 2必 + 龙-2 218 18当n为奇数时，(2“ + 3)兀-2 < V (2斤一1)龙一2从这道题中我们不难发现，対于一些含参数的超越方程解的个数问题，并不是简单地使用计 算器画图就可以得出解答，而是要先经过计算器画图得出直观的印象，再进行精确的数学分 析与解答，才能解岀答案。

由此，可以引申出另一道题，即解答方程2sinx = lgx的交点个数:此时，运用计算器画图就成为非常重要的先行步骤:H [EXE]：显示坐标可以看到，现在这道题由于sin函数前的系数为2,与文章开篇的简单问题COSX = lgX产 生了很大的不同，那么，对于这道题就需要合理的推断与想象当x>l00时，lg兀〉2>2sin兀，此时已经没有交点而在1V x V100共有15个完整的“峰”，那么此时，解题就变得十分便捷所以，算上第一个交点，2sinx = lgx共有15*2+1=31个交点通过上述三道题的分析，可以看岀合理适当地运川CASIO计算器在解决超越方程解的个数上 十分冇很大的作用由于手価草图并不能准确地显示图像的细节，会产生很大的谋差，因此 在解决超越方程解的个数问题时，需要先经过计算器画图得出盲•观的印象，再进行精确的数 学分析，同时合理地想象推理，并加以验证，这样就能获得正确的答案。