辽宁省沈阳市辽宁高级中学2022-2023学年高三数学理模拟试题含解析.docx

辽宁省沈阳市辽宁高级中学2022-2023学年高三数学理模拟试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前15项和为（  ）A. 110 B. 114 C. 124 D. 125参考答案：B【分析】利用二项式系数对应的杨辉上三角形的第行，令，得到二项展开式的二项式系数的和，再结合等差、等比数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意，次二项式系数对应的杨辉三角形的第行，令，可得二项展开式的二项式系数的和，其中第1行为，第2行为，第3行为， 以此类推，即每一行的数字之和构成首项为1，公比为2的对边数列，则杨辉三角形中前行的数字之和为，若除去所有为1的项，则剩下的每一行的数字的个数为 可以看成构成一个首项为1，公差为2的等差数列，则，令，解得，所以前15项的和表示前7行的数列之和，减去所有的1，即，即前15项的数字之和为114，故选B.【点睛】本题主要考查了借助杨辉三角形的系数与二项式系数的关系考查等差、等比数列的前n项和公式的应用，其中解答中认真审题，结合二项式系数，利用等差等比数列的求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.2. 从正六边形六个顶点及其中心这7个点中，任取两个点，则这两个点的距离大于该正六边形边长的概率为（　　）　 A． B． C． D． 参考答案：C略3. 已知为虚数单位，若复数（）的实部为，则（   ）A.    B.     C.     D. 参考答案：D4. 已知平面区域，向区域内随机投一点，点落在区域内的概率为（    ）A．           B．            C．          D．参考答案：C略5. 已知集合,下列结论成立的是（  　　）A． B． C． D．参考答案：D略6. 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是A．若则 B．若则C．若则 D．若则参考答案：D7. 已知                                              （    ）         A．                             B．                         C．或               D．参考答案：B8. 对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：①在内是单调的；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“和谐区间”．若函数存在“和谐区间”，则的取值范围是（　　）A．            B．            C．              D．参考答案：B略9. 如图，直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图所示，则其左视图的面积为（　　）A．4 B． C．2 D．2参考答案：C【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据题意，直接按三视图的要求，画出左视图，依据数据求出面积．【解答】解：左视图为矩形，如图，故其面积为故选C．10. 已知集合，若，则实数的取值范围是（    ）A．    B．   C．   D．参考答案：C 考点：集合的运算.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在直角坐标系中，设为两动圆，的一个交点，记动点的轨迹为，给出下列三个结论：①曲线过坐标原点；②曲线关于轴对称；③设点，则有．其中，所有正确的结论序号是__________．参考答案：②③①设，，动点，根据题意：，∴根据定义判定，点的轨迹是双曲线的右支，方程为：，，∵不是方程的解，∴①不正确．②设为曲线上任一点，关于轴对称点为，∵也在曲线上，∴曲线关于轴对称，②正确；③∵，∴，故③正确．12. 函数的最小正周期为________;若函数f(x)在区间上单调递增，则的最大值为________.参考答案：    【分析】直接计算得到答案，根据题意得到，，解得答案.【详解】，故，当时，，故，解得.故答案为：；.【点睛】本题考查了三角函数的周期和单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.13.            .参考答案：略14. 在四边形ABCD中，，，，则四边形ABCD的面积是        .参考答案：15. 已知曲线：在点（）处的切线的斜率为，直线交轴，轴分别于点，，且．给出以下结论：①；②当时，的最小值为；③当时，；④当时，记数列的前项和为，则．其中，正确的结论有                  （写出所有正确结论的序号）参考答案：①③④16. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是          ．参考答案：  17. 已知点落在角的终边上，且的值为    .参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分12分）已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个，若从袋子中随机抽取一个小球，取到标号为2的小球的概率是.（1）求n的值；（2）从袋子中不放回的随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b①记“”为事件A，求事件A的概率，②在区间内任取两个实数求事件“恒成立”的概率.参考答案：19. （本题满分12分）已知，函数．（I）若，求函数的极值点；（II）若不等式恒成立，求的取值范围．（为自然对数的底数）参考答案：（I）若，则，．当时，，单调递增；当时，，单调递减． …1分又因为，，所以当时，；当时，；当时，；当时，． …3分故的极小值点为1和，极大值点为． …4分（II）不等式，整理为．…（*）设，则（）． …6分①当时，，又，所以，当时，，递增；当时，，递减．从而．故，恒成立． …8分②当时，．令，解得，则当时，；再令，解得，则当时，．取，则当时，．所以，当时，，即．这与“恒成立”矛盾．综上所述，． …12分20. 传统文化就是文明演化而汇集成的一种反映民族特质和风貌的民族文化，是民族历史上各种思想文化、观念形态的总体表征．教育部考试中心确定了2017年普通高考部分学科更注重传统文化考核．某校为了了解高二年级中国数学传统文化选修课的教学效果，进行了一次阶段检测，并从中随机抽取80名同学的成绩，然后就其成绩分为A、B、C、D、E五个等级进行数据统计如下：成绩人数A9B12C31D22E6根据以上抽样调查数据，视频率为概率．（1）若该校高二年级共有1000名学生，试估算该校高二年级学生获得成绩为B的人数；（2）若等级A、B、C、D、E分别对应100分、80分、60分、40分、20分，学校要求“平均分达60分以上”为“教学达标”，请问该校高二年级此阶段教学是否达标？（3）为更深入了解教学情况，将成绩等级为A、B的学生中，按分层抽样抽取7人，再从中任意抽取3名，求抽到成绩为A的人数X的分布列与数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由于这80人中，有12名学生成绩等级为B，所以可以估计该校学生获得成绩等级为B的概率为，即可得出该校高二年级学生获得成绩为B的人数．（2）由于这80名学生成绩的平均分为：（9×100+12×80+31×60+22×40+6×20）．（3）成绩为A、B的同学分别有9人，12人，所以按分层抽样抽取7人中成绩为A的有3人，成绩为B的有4人．由题意可得：P（X=k）=，k=0，1，2，3．【解答】解：（1）由于这80人中，有12名学生成绩等级为B，所以可以估计该校学生获得成绩等级为B的概率为．…则该校高二年级学生获得成绩为B的人数约有1000×=150．…（2）由于这80名学生成绩的平均分为：（9×100+12×80+31×60+22×40+6×20）=59．…且59＜60，因此该校高二年级此阶段教学未达标…（3）成绩为A、B的同学分别有9人，12人，所以按分层抽样抽取7人中成绩为A的有3人，成绩为B的有4人…则由题意可得：P（X=k）=，k=0，1，2，3．∴P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=.10分）所以EX=0+1×+2×+3×=.10分）21. 已知函数的部分图象如图所示。

(1)求f(0)的值；(2)求f(x)在[]上的最大值和最小值；(3)不画图，说明函数y＝f(x)的图象可由y＝sinx的图象经过怎样变化得到参考答案：22. 已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的一个顶点为（0，﹣1），离心率e=．（1）求椭圆C的方程；（2）过M（0，m）（﹣1＜m＜0）的直线L交椭圆C于A、B两点，试问：在椭圆C上是否存在定点T，使得无论直线L如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出m的值及点T的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意，b=1， =，求出a，b，即可求椭圆C的方程；（2）讨论直线l的斜率不存在，设出直线l的方程，求得圆的方程，求得定点T，讨论直线l的斜率存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和圆的性质，结合向量垂直的条件，即可得到存在定点T．【解答】解：（1）由题意，b=1， =，∴a=2，b=1，c=1，∴椭圆C的方程为=1；（2）①当直线l的斜率不存在时，以AB为直径的圆的方程为：x2+y2=1②当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y=m，此时以AB为直径的圆的方程为：x2+（y﹣m）2=2（1﹣m）2，与x2+y2=1联立，得y=，∵（x，）在椭圆上，∴=1，∵﹣1＜m＜0，∴m=﹣，∴m=﹣，在椭圆上可能存在定点T（0，1）满足条件；③斜率存在时，设直线l的方程为：y=kx﹣，A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆方程联立，可得（1+2k2）x2﹣kx﹣=0，∴x1+x2=，x1x2=﹣，=（k2+1）x1x2﹣k（x1+x2）+=（k2+1）（﹣）﹣k?+=0，∴过M（0，﹣）的直线l斜率存在时，以AB为直径的圆过定点T（0，1），综上所述，m=﹣时，过M（0，﹣）的直线无论如何转动，以AB为直径的圆过定点T（0，1）．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，同时考查直线和圆的位置关系，考查运算能力，属于中档题．。