2016年考研数学二真题与解析一、选择题1—8小题.每小题4分，共32分.11.当xt0+时，若ln"(1十2x),(1—cosx)日均是比x高阶的无穷小，则a的可能取值范围是()1 1(A)(2,+至)(B)(1,2)(C)(-,1)(D)(0,-)2 21/21111一2一【详解】lna(1+2x)~2是a阶无穷小(1—cosx严「x”是一阶无劣小，由题息可知22-：-12;所以a的可能取值范围是(1,2),应该选(B).2.下列曲线有渐近线的是212.1(A)y=x+sinx(B)y=x+sinx(C)y=x+sin—(D)y=x+sin一xx1.y1【详斛】对于y=x+sin—,可知lim—=1且hm(y-x)=limsin—=0,所以有斜渐近线y=xxx>:xx—x_x应该选(C)3.设函数f(x)具有二阶导数，g(x)=f(0)(1—x)+f(1)x,则在［0,1］±()(A)当f'(x)之0时，f(x)>g(x)(B)当f'(x)之0时，f(x)0,函数取得极小值y=0.17.(本题满分10分)设平面区域D = '(x,y) 115x2 y2 < 4,x 一 0.y 一 °，.计算2 2、xsin(二 ％ x y )x ydxdy【详解】由对称性可得x n Dsin(二、x2 y2) -dxdffDx ysin(二,x2 y2) -dxdffDysin(二，2 2x y ) 1 dxd 二一3rsin 二 rdr =418.(本题满分10分)设函数f(u)具有阶连续导数，z = f (ex cosy)满f (0) =0, f'(0) =0,求 f(u)的表达式.【详解】设 u = ex cosy，则 z = f (u) = f (ex cosy),:z.x-f'(u)excosy,一二-f'(u)ex siny, y2 2、(x y)sin(二 x y ).2J z 一 2x 2 一 x—2 = f " (u)e cos y f'(u)e cosy ； .x-2二 z一 2y=f "(u)e2x sin2 y - f'(u)ex cosy ;dxdy-2r:z；：2 z -y二(4z ex c o¥)e2x.2.2二z二z2xx2x——2—2二f"(u)e=f"(ecosy)e:x:y.2.2由条件-^—2+-^—2=(4z+excosy)e2x,.xy可知f"(u)=4f(u)u这是一个二阶常用系数线性非齐次方程.对应齐次方程的通解为：f(u)=C1e2u+C2e二u其中C1,C2为任意常数.1对应非齐次万程牛!解可求得为y*=--u.4故非齐次方程通解为f(u)=C1e2u+C2e"u-1u.4一,,一,■■，、r。
