圆锥曲线第二定义在一些题目中的应用.docx

圆锥曲线第二定义在一些题目中的应用北京一零一中学数学组 何效员圆锥曲线的第二定义：平面上到定点与到定直线的距离的比为常数e 的点的轨迹是圆锥曲线概念的重要组成部分，它揭示了圆锥曲线之间的内在联系，是圆锥曲线在极坐标系下 具有统一形式的基本保证利用圆锥曲线的第二定义，在某些情形下，可以更方便的求解一些题目但当我们利用第二定义时，有时候会忽略一个条件，即平面上的这个定点不能在定直线上，否则得到的曲线不是圆锥曲线如：考虑坐标平面上，到定点(1,1)与到定直线 x = 1的距离之比为常数 e 的点的轨迹讨论如下：① 当 e = 1 时，点的轨迹方程为 y = 1, ( x ¹ 1) ，直线去掉一点；② 当 e > 1 时，点的轨迹方程为 y - 1 = ± e2 - 1( x - 1),( x ¹ 1) ，两条直线去掉一点；③ 当 e < 1 时，点的轨迹不存在下面我们就一些具体的题目来体会第二定义的妙用例 1 已知椭圆x2  y 2+   = 1 内一点 P(-1,1)， F 为右焦点，椭圆上有一点 M 使4   3y| MP | +2 | MF | 的值最小，求点 M 的坐标M分析：若按常规思路，设点 M ( x, y) ，右焦点 F (1,0) ，OFx = 4   xPM则 | MP | +2 | MF |= ( x -1)2 + ( y + 1)2 + 2 ( x -1)2 + y 2 ，求 其 最 小 值 无 疑 是 困 难 ， 观 察 2 | MF | ， 设 M 点 到 右 准 线 的 距 离 d ，| MF | c 1= e = = ，\ 2 | MF |= d ，这样d a 2共6页，第1页| MP | +2 | MF | 就转化为在椭圆上寻找一点到 P(-1,1) 的距离与到直线 x =a 2c= 4的距离和最小，当且仅当 MP ^ 直线 x = 4 时，点 M 在点 P 和直线 x = 4 之间时取得，此时 M 的坐标为 ( 2 6 , -1) .3例 2 已知椭圆方程为y 2  x2+a 2 b2= 1( a > b > 0) ，求与这个椭圆有公共焦点的双曲线，使得它们的交点为顶点的四边形的面积最大，并求出相应的四边形的顶点坐标。

分析：本体若通过椭圆与双曲线方程联立求解交点坐标，继而讨论四边形面积的表达式，求出使面积最大时的双曲线方程，计算会十分麻烦，考虑到椭圆和双曲线有共同的焦点，不妨利用第二定义求解设所求双曲线方程为y 2 x2-2m n2= 1 (m, n > 0) ，其中lc2 = a 2 - b2 = m2 + n2 ，设两曲线在第一象限内的交点 P ( x , y ) ， , l 分别为椭圆，1 1 1 1 2双曲线的上准线，过 P 作 PQ ^ l 于 Q ， PR ^ l 于 R ，11 1 1 2a c       m      cc             c 1 ccc a 2 c m2| PF |= e | PQ |= e | PR |=| - y |= | y - | ，11 2 1 11 1a2 m2 am\ m( - y ) = a( y - ) ，解得 y = ，代入椭圆方程1 1x = bn，利用双曲线与椭圆的对称性知1y 2  x2+a 2 b2= 1 ，得S = 4 x y = 41 1abmn      m2 + n2£ 2ab ×      = 2ab ，等号当且仅当 m = n =c2 c222c 时取得，a 2 - b2故所求双曲线方程为 y 2 - x2 = ，相应的四个顶点坐标为 (±2共6页，第2页2     2b, ±   a) .2     2例 3 已知椭圆x2  y 2+a 2 b2= 1(a > b > 0) 的两个焦点分别为 F (-c,0 ) 和 F (c,0 ) ，过点1 2è c   ø- c| EF  |   | F B |   1              1解法一  （1）  由 F A // F B, F A = 2 F B ，得               ，从而         ，c| EF |   | F A |   2       a2      2æ a2 öE ç ,0 ÷ 的直线与椭圆相交于 A, B 两点，且 F A // F B, F A = 2 F B1 2 1 2（1）求椭圆的离心率；（2）求直线 AB 的斜率。

分析：本题是 2009 年天津卷文科第 22 题的前两问，参考答案是用常规方法，即设直线 AB的方程与椭圆方程联立，利用 B 为 AE 之中点求解，方法虽易理解，但计算繁杂，极易出错，而利用椭圆的第二定义，求解过程简洁，极富数学美感为对比，先将两种解法列出a222 = = =1 2 1 21 1 + cc整理得 a2 = 3c2 ，故离心率 e =c   3=   .a   3b（2）解：由（1）知， 2 = a2 - c2 = 2c2 ，所以椭圆的方程可以写为 2 x2 + 3 y 2 = 6c 2 ，a 2设直线 AB 的方程为 y = k ( x - ) 即 y = k ( x - 3c) ，cî 2 x2 + 3 y 2 = 6c2ì y = k ( x - 3c)由已知设 A( x , y ), B( x , y ) ，则它们的坐标满足方程组 í1 1 2 2消去 y 整理，得 (2 + 3k 2 ) x 2 - 18k 2cx + 27k 2c 2 - 6c 2 = 0，依题意， D = 48c2 (1- 3k 2 ) > 0, -3      3< k <   ，3      32 + 3k 2 2 + 3k 218k 2 27k 2c2 - 6c2, x x  =而 x + x = ，由题设知，点B 为线段 AE 的中点，1 2 1 2所以 x + 3c = 2 x122 + 3k 2 2 + 3k 29k 2c - 2c 9k 2c2 + 2c2, x  =联立三式，解得 x = ，将结果代入韦达定理中解得1 2共6页，第3页k =± 23.yAA'解法二 （2） 设椭圆方程为 2 x 2 + 3 y 2 = 6c 2 ，BB'过 E 作 l ^ x 轴，知 l 为椭圆的右准线，F1O     F2E        x线段成比例，  | AA ' || BB ' |   | BE |过 A, B 分别作 AA ' ^ l 于 A ' ， BB ' ^ l于 B ' ，知 AA '/ / BB ' ，| AF | | BF | | AF | | AA ' | =222 = = e ，即 ，在 DEAA ' 中，根据相似三角形对应| AA ' | | BB ' | | BF | | BB ' |2| AE |= = 2 ，\| AF |= 2 | BF |=| AF | ，2 2 1则点 A 在短轴顶点，所以 A(0, ± 2c), 直线 AB 的斜率为 kAB =±2c     2=±   。

3c     3利用圆锥曲线的第二定义，我们在极坐标系中可以很方便地得到圆锥曲线的统一方程：r = ep ，（其中 e 为离心率， p 为焦准距）利用这个方程，我们很容易得到下面这1 - e cosq个结论：过双曲线x2  y 2-2a   b2= 1 的右焦点且与右支交于两点的弦，当且仅当弦与 x 轴垂直时，取1 - e cos q   1 - e cos(q + p )   1 - e2 cos2 q         a              22b2得最小长度 .a以双曲线右焦点 F 为极点，对称轴为极轴，如图所示建立极坐标系，易知双曲线右支的方程为ep c b2r = ,( e = , p = ) ，1 - e cosq a c设 A, B 两点的坐标分别是 ( r ,q ),( r , p + q ) ，1 2ep ep 2ep 2b2 pq =r + r = + = ³ 2ep = ，当且仅当 时，1 2等号成立.共6页，第4页利用这个结论，我们可以很轻松地证明 1997 年全国高中数学联赛一试第 8 题例 4 证明：过双曲线 x2 -y 22= 1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A 、 B 两点，若实数 l 使得| AB |= l 的直线恰好有 3 条，则 l = 4 .圆锥曲线第二定义在解题中的妙用不可胜数，本文只是稍加举例，更多的应用还有待我们去探索体会.共6页，第5页P共6页，第6页。