因式分解地常用方法(目前最牛最全地教案设计).doc

实用标准文档因式分解的常方法多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．用方法一、提公因式法 . ： ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法 .在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（ 1） (a+b)(a-b) = a2-b 2 ---------a2-b 2 =(a+b)(a-b) ；(2) (a± b) 2 = a2± 2ab+b2 ——— a 2± 2ab+b2=(a ± b) 2；(3) (a+b)(a2-ab+b 2 ) =a 3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b 2) ；(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b 3 ------a3-b 3=(a-b)(a2+ab+b2) ．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；333222；(6)a +b +c -3abc=(a+b+c)(a+b +c -ab-bc-ca)例 . 已知 a，b，c 是ABC 的三边，且 a2b2c2ab bc ca ，则ABC 的形状是（）A. 直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形解： a2b2c2abbcca2a22b22c22ab 2bc 2ca(a b)2(b c)2(c a)20a b c三、分组分解法 .（一）分组后能直接提公因式例 1、分解因式： am an bm bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a，后两项都含有 b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式 =( aman)(bmbn)=a(mn)b(mn)每组之间还有公因式！文案大全实用标准文档= ( m n)( a b)例 2、分解因式： 2ax 10ay 5by bx解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组 第二、三项为一组解：原式 = (2ax 10ay) (5by bx) 原式 = (2ax bx) ( 10ay 5by)= 2a( x 5 y) b( x 5 y) = x(2a b) 5 y(2a b)= ( x 5y)( 2a b) = (2a b)( x 5 y)练习：分解因式 1、 a 2 ab ac bc 2 、 xy x y 1（二）分组后能直接运用公式例 3、分解因式： x 2 y 2 ax ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组解：原式 =( x 2y2 )(axay)=( xy)( xy)a(xy)=( xy)( xya)例 4、分解因式： a 22abb2c2解：原式 =( a22abb2 )c2=( ab) 2c2=( abc)(abc)练习：分解因式3、 x 2x9 y 23y4 、 x 2y2z22yz综合练习：（ 1） x 3x 2 yxy 2y3（ 2） ax 2bx 2bxaxab（ 3） x26xy9 y 216a 28a1（ 4） a 26ab12b9b24a（ 5） a42a 3a29（ 6） 4a2 x 4a2 y b2 x b 2 y（ 7） x22xyxzyzy2（ 8） a 22ab 22b2ab1（ 9） y( y2)( m1)(m1)（10） ( ac)(ac)b(b2a)（ 11） a2 (b c)b2 (ac)c 2 (ab)2abc （ 12） a 3b3c 33abc四、十字相乘法 .（一）二次项系数为1 的二次三项式直接利用公式——x 2( pq) xpq( xp)( x q) 进行分解。

文案大全实用标准文档特点：（ 1）二次项系数是 1；（ 2）常数项是两个数的乘积；（ 3）一次项系数是常数项的两因数的和思考：十字相乘有什么基本规律？例 . 已知 0＜ a ≤ 5，且 a 为整数，若 2x2 3x a 能用十字相乘法分解因式，求符合条件的 a .解析：凡是能十字相乘的二次三项式 ax2 +bx+c，都要求b2 4ac >0 而且是一个完全平方数于是9 8a 为完全平方数， a1例 5、分解因式： x 25x6分析：将6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5由于 6=2× 3=(-2) × (-3)=1 × 6=(-1) × (-6)，从中可以发现只有2× 3 的分解适合，即 2+3=512解： x25x6= x 2(2 3)x 2 313=( x2)( x 3)1× 2+1× 3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数例 6、分解因式： x 27x6解：原式 = x 2[( 1)(6)] x(1)(6)1-1=( x1)( x6)1-6（-1 ）+（-6 ）= -7练习 5、分解因式 (1)x214x24(2)a 215a36 (3)x 24x5练习 6、分解因式 (1)x2x2(2)y22 y15(3)x 210 x24（二）二次项系数不为1 的二次三项式—— ax2bx c条件：（ 1） a a1 a2a1c1（ 2） c c1c2a2c2文案大全实用标准文档（ 3） b a1 c2a2 c1b a1c2 a2 c1分解结果： ax 2bxc = (a1 xc1 )(a2 x c2 )例 7、分解因式： 3x 2 11x 10分析：1 -23-5（-6 ） +（-5 ） = -11解：3 21110= ( x2)(3x5)xx练习 7、分解因式：（ 1） 5x 27 x6（ 2）3x 27x 2（3） 10x217 x3（ 4）6y 211y 10（三）二次项系数为 1 的齐次多项式例 8、分解因式： a 2 8ab 128b 2分析：将 b 看成常数，把原多项式看成关于 a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。

18b1-16b8b+(-16b)= -8b解： a28ab128b 2 = a 2[8b(16b)] a8b(16b)=(a8b)(a 16b)练习 8、分解因式 (1)x23xy2 y 2(2)m 26mn8n2(3)a 2ab 6b 2（四）二次项系数不为1 的齐次多项式例 9、 2x 27xy6 y2例 10、 x2 y 23xy21-2y把 xy 看作一个整体 1-12-3y1 -2(-3y)+(-4y)= -7y(-1)+(-2)= -3解：原式 = ( x 2 y)(2x3 y)解：原式 = (xy1)( xy2)练习 9、分解因式：（ 1） 15x27xy 4 y 2（ 2） a 2 x26ax8综合练习 10、（ 1） 8x 67x 31（ 2） 12x 211xy15 y 2（ 3） ( x y)23(x y) 10（ 4） (a b) 24a 4b 3（ 5） x2 y 25x2 y 6x 2（6） m24mn 4n 23m6n 2文案大全实用标准文档（ 7） x24xy4 y 22x4 y3 （ 8） 5( a b)223(a2b 2 ) 10(ab) 2（ 9） 4x 24xy6x3yy 210 （ 10） 12( xy) 211( x2y 2 ) 2(xy)2思考：分解因式：abcx 2( a 2b2c2 )x abc五、换元法。