第四节第四节 函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性基础梳理基础梳理1.定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为A，如果对于意 ,都有 ,则称函数y=f(x)为奇函数;如果对于任意x∈A,都有 ,则称函数y=f(x)为偶函数.x∈Af(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)2. 图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象 ;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象 .关于原点对称关于y轴对称 3. 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足 ,那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，所有周期中存在最小的一个正数叫做f(x)的最小正周期.f(x+T)=f(x)典例分析典例分析题型一题型一 判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性【【例例1 1】】判断下列函数的奇偶性. 分析 先求函数的定义域,然后判断f(x)与f(-x)之间的关系. 解 (1)由 ,得定义域为 [-1,1),关于原点不对称, ∴f(x)为非奇非偶函数. ∴f(x)既是奇函数又是偶函数. ∴f(x)为偶函数.(4)当x<0时,-x>0,则f(-x)= =f(x)；当x>0时,-x<0,则f(-x)= -f(x). 综上所述,对任意的x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数.学后反思 判断函数的奇偶性是比较基本的问题,难度不大,解决问题时应先考察函数的定义域.若函数的解析式能化简,一般应考虑先化简,但化简必须是等价变换过程(要保证定义域不变). 举一反三举一反三1.设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义，下列函数：① ②③ ④ 必为奇函数的是 。
填写序号)解析 设y=g(x)，根据奇偶函数的定义判断,② ④g(-x)=f(-x)-f(x)=-g(x).答案 ②④ 题型二题型二 奇偶性的应用奇偶性的应用【【例例4 4】】 定义在R上的函数 (a＞0)为奇函数，求 的值. 分析 利用奇函数的定义域求出a.解 方法一：由条件知f(-x)=-f(x),即f(-x)+f(x)=0, ∴ 化简得 ， ∴a=4, 方法二：∵f(x)是奇函数且f(x)在x=0处有意义，∴f(0)=0,∴ =0,即 ,解得a=4,∴ 学后反思 方法一是利用“若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)对任意x恒成立”，“对任意x恒成立”是解题关键.方法二要注意“f(x)在x=0处有意义”这个条件,这种方法很常用，需要熟练掌握.举一反三举一反三2. 已知函数 是奇函数,又f(1)=2,f(2)<3求a,b,c的值.解析 由f(-x)=-f(x)，得-bx+c=-(bx+c),∴c=0.由f(1)=2,得a+1=2b,而f(2)<3,得 ,解得-1
错解 ∵当x<0时，f(-x)= = ; 当x>0 时，f(x)= = ∴f(x)是奇函数错误分析 尽管对定义域的每一个x≠0,f(-x)=-f(x)成立，但当 x=0时，f(0)=2≠0,故f(x)既不是奇函数也不是偶函数 正解 f(x)既不是奇函数也不是偶函数考点演练考点演练10.（2009山东改编）定义在R上的函数f(x)满足f(x)= 求f(2009)的值 解析 当x>0时，∵f(x)=f(x-1)-f(x-2), ∴f(x+1)=f(x)-f(x+1),两式相加得：f(x+1)=-f(x-2)即f(x+3)=-f(x),故f(x+6)=-f(x+3)=f(x),∴f(2009)=f(6×344+5)=f(5)=f(-1)= =111.已知定义在实数集R上的偶函数的最小值为3，且当x≥0时，f(x)= (a为常数）求函数f(x)的解析式解析： 因为 是增函数，所以当x≥0时，也是增函数，又因为f(x)是偶函数，所以 =f(0)=3+a又f(x)的最小值是3,故3+a=3，即a=0当x<0时，因为-x>0，所以f(x)=f(-x)=综上，f(x)= 12.已知函数f(x)= (1)求f(x)的定义域；（2）求证：f(x)是奇函数；（3）判断函数y=f(x)与y=2的图像是否有公共点，并说明理由。
解析： （1）由 ，得-1PF2知，PF2垂直于长轴.故在Rt△PF2F1中，4c2=PF12-PF22= ,∴c2=53，于是b2=a2-c2= .又所求椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为学后反思 (1)用待定系数法求椭圆方程时，当题目的条件不能确定椭圆的焦点位置时，应注意分两种情况来设方程，分别计算；有时也可以直接设成（2）过椭圆焦点与长轴垂直的直线截椭圆的弦通常叫做通径，其长度为 . 举一反三举一反三1. 已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，且过点P(3,2),求椭圆的方程.解析: （1）当焦点在x轴上时，设椭圆方程为 (a＞b＞0),则 解得 此时所求的椭圆方程为 (2)当焦点在y轴上时，设椭圆方程为 (a＞b＞0)，则 解得 此时所求的椭圆方程为 综上，所求的椭圆方程为 或 题型二题型二 椭圆的几何性质椭圆的几何性质【例2】已知P是椭圆 (a＞b＞0)上一点，F1、F2分别是左、右两个焦点.（1）若 (0＜θ＜π)，求证:△F1PF2的面积为 (2)若存在点P,使 ，求椭圆离心率的取值范围.分析 （1） 为焦点三角形，设 , ,则m+n=2a,而 只要将mn用m+n表示出来即可.（2）若求离心率e的取值范围，则必须依据条件，得到关于e的不等式求解. 解 (1)证明：如图所示，设 , , 的面积为S，则 . ①在 中， ∵m+n=2a,1+cos θ≠0,∴ .②由①、②得 (2)当 时，由(1)得 又 (当且仅当m=n时取等号),∴ ∴ ∴e≥ , ∴e的取值范围为[ ,1). 学后反思 本题涉及到椭圆的顶点，长轴、短轴、离心率等几何性质，解题时应理清它们之间的关系，结合图形挖掘它们之间的数量联系，从而使问题得到解决.举一反三举一反三2. (2009·北京)椭圆 的焦点为 , ,点P在椭圆上，若|P |=4,求|P |及 的大小.解析: ∵ , ,∴ ∴ ,又|P |=4,且|P |+|P |=2a=6,∴|P |=2,又由余弦定理，得 ∴ 题型三题型三 直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系【例3】(14分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.分析 (1)由a+c=3,a-c=1,可求a、c.（2）直线方程与椭圆方程联立后得到交点A、B的坐标关系，再根据以AB为直径的圆过椭圆的右顶点可得到两直线垂直，从而求得交点A、B的坐标关系，联立后可求k、m的关系. 解 （1）据题意设椭圆的标准方程为 ,由已知得a+c=3,a-c=1, ……………………………………….2′∴a=2,c=1,∴b2=a2-c2=3,∴椭圆的标准方程为x24+y23=1. …………………………….4′(2)证明：设A(x1,y1),B(x2,y2),联立 y=kx+m， x24+y23=1，得（3+4k2）x2+8mkx+4(m2-3)=0, …………………………….6′则由题意得Δ=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)>0,即3+4k2-m2>0.又x1+x2= ，x1x2= ，∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2= ………………………………………………………………8′ ∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),∴kAD·kBD=-1,即 ,∴y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0,∴ ,即7m2+16mk+4k2=0.解得m1=-2k,m2= ,且均满足3+4k2-m2>0…………………12′当m1=-2k时,l的方程为y=k(x-2),直线过定点（2，0）,与已知矛盾；当m2=- k时,l的方程为y=k(x- ),直线过定点( ,0).所以直线l过定点，定点坐标为( ,0). …………………14′ 学后反思 (1)直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式Δ来判断直线和椭圆相交、相切或相离的情况.（2）消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础.举一反三举一反三3. 若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M,交椭圆C： 于A,B两点，且A,B关于点M对称，求直线l的方程. 解析： 设A,B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).已知圆的方程为（x+2）2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为（-2，1）显然直线l的斜率存在,从而可设直线l的方程为y=k(x+2)+1,代入椭圆C的方程，得（4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0.因为A,B关于点M对称，所以 ,解得k= .所以直线l的方程为y= (x+2)+1,即8x-9y+25=0. 【例4】如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r,短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x,梯形面积为S.求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域. 题型四题型四 椭圆的实际应用椭圆的实际应用分析 建立坐标系后写出椭圆方程，求出y与x的关系式，从而求出S与x的函数式.解 依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系xOy(如下图），则半椭圆方程为 (y≥0),解得 (0≤x≤r). ∴S= (2x+2r)· = (x+r),由S＞0和C与D不重合，得其定义域为{x｜0AB=2,由椭圆的定义知，点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长2a=4,焦距2c=2的椭圆.以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则点C的轨迹方程为 易知点D也在此椭圆上，要使平行四边形ABCD面积最大，则以C、D为此椭圆短轴的两端点，此时面积S= km2. 易错警示易错警示【例】若椭圆 的离心率 ,则k的值为 .错解 由已知 , ,又 ∴ ,解得k=4.错解分析 忽视了椭圆的焦点位置不确定，即焦点也有可能在y轴上的情况.正解 （1）若焦点在x轴上，即k+8>9时， , ,解得k=4;(2)若焦点在y轴上，即0b>0).∵c= ,∴ 由 ,消去y,得 设直线与椭圆相交于 , 两点，则 , 是上述方程的根，且有Δ>0,即 恒成立.∵ ∴ 即 ,∴ .故所求椭圆方程为 12. (2008·北京）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆 上，对角线BD所在直线的斜率为1.（1）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；（2）当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值.解析：（1）由题意，得直线BD的方程y=x+1.因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.于是可设直线AC的方程为y=-x+n.由 ,得 因为A、C在椭圆上,所以 ，解得 设A，C两点坐标分别为 ， 则 , 又 , ，所以 所以AC的中点坐标为 由四边形ABCD为菱形可知，点 在直线y=x+1上，即 ,解得n=-2.所以直线AC的方程为y=-x-2,即x+y+2=0.(2)因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC=60°,所以AB=BC=CA,所以菱形ABCD的面积 由（1）可得 所以 所以当n=0时，菱形ABCD的面积取得最大值 。
