第二章电动力学费（ppt课件）.ppt

镜像法问题第二类：镜像法问题第二类：点电荷对球面的镜像点电荷对球面的镜像例例1 1：半径为：半径为R0的接地导体球，在与球心相距的接地导体球，在与球心相距a的一点放置电荷的一点放置电荷Q，求空间电势求空间电势题目变形：题目变形：1) 若导体不接地若导体不接地1) 不不接接地地：导导体体球球面面为为等等势势面面，电电势势不不为为0，球球面面上上必必感感应应出出等等量正、负电荷量正、负电荷，即感应电荷总量为，即感应电荷总量为0a)a)从从前前面面的的讨讨论论可可知知，在在离离球球心心b处处放放置置Q，保保证证球球面面为为等等势面且电势为势面且电势为0，但不能保证球面总电荷为，但不能保证球面总电荷为0 ；b)b)为为使使球球面面总总感感应应电电荷荷为为零零，且且为为等等势势面面，根根据据对对称称性性可可知知，还还必必须须在在球球心心处处再再放放一一个个Q=-Q，这这个个电电荷荷既既不不破破坏坏球球面面等势性，又使球面总感应电荷为等势性，又使球面总感应电荷为0题目变形：题目变形：2) 导体球不接地，其电势为导体球不接地，其电势为U02) 变形变形1)中，导体球表面的电势即为最后中，导体球表面的电势即为最后放置的放置的Q=-Q产生的产生的若现在再要求导体球的电势为若现在再要求导体球的电势为U0，相当于相当于在球心处再放置一在球心处再放置一个点电荷个点电荷Q， Q+ Q在球表面共同产生的电势为在球表面共同产生的电势为U0，则，则题目变形：题目变形：3) 导体球不接地，且带上自由电荷导体球不接地，且带上自由电荷Q03）此此时时要要求求导导体体表表面面为为等等势势面面，且且总总电电量量为为Q0。

根根据据变变形形1)，像像电电荷荷Q、Q已已保保证证了了球球面面为为等等势势面面，且且球球面面总总电电荷荷为为0；此此时时若若既既要要使使球球面面总总电电荷荷为为Q0，又又要要保保持持导导体体面面为为等等势势面面，根据对称性，根据对称性，则则Q0对应的像电荷对应的像电荷Q= Q0也应放于球心也应放于球心两个带同号电荷的物体是否一定相互排斥？两个带同号电荷的物体是否一定相互排斥？NO！书！书P56题目变形：题目变形：4) 点电荷点电荷Q在导体球壳内距球心在导体球壳内距球心a处处注注意意：像像电电荷荷的的电电量量Q大大于于源源电电荷荷的的电电量量Q！4）与与例例1 1情情况况相相比比，仅仅是是源源电电荷荷的的位位置置由由球球外外搬搬进进到到球球内内此此时时，接接地地球球壳壳外外无无场场强强，场场的的区区域域在在球球内内球球内内的的电电势势等等于于源源电电荷荷Q和和球球面面上上的的感感应应电电荷荷（球球壳壳内内表表面面），也也即即像像电电荷荷Q（位位于于球球外外）产生的电势：产生的电势：镜像法问题第三类：点电荷对镜像法问题第三类：点电荷对混合界面混合界面例例1：在在接接地地的的导导体体平平面面上上有有一一半半径径为为a的的半半球球凸凸部部，半半球球的的球球心心在在导导体体平平面面上上。

点点电电荷荷Q位位于于系系统统的的对对称称轴轴上上并并与与平平面面相相距距为为b，ba试用电像法求空间电势（试用电像法求空间电势（书书P72、11题题）分分析析：利利用用镜镜像像法法，根根据据点点电电荷荷附附近近置置一一无无限限大大接接地地导导体体平平板板，和和点点电电荷荷附附近近置置一一接接地地导导体体球球两两个个模模型型，可可确确定定三三个个像像电荷的电量和位置电荷的电量和位置电像法与分离变量法比较：电像法与分离变量法比较：1 1）所求区域无自由电荷分布时，所求区域无自由电荷分布时，使用分离变量法使用分离变量法2 2）有自由电荷分布时，分离变量有自由电荷分布时，分离变量法（叠加法）适用于自由电荷分法（叠加法）适用于自由电荷分布十分对称、界面单一的情况；布十分对称、界面单一的情况；电像法适用于自由电荷在坐标系电像法适用于自由电荷在坐标系中的分布不很对称、界面组合较中的分布不很对称、界面组合较复杂的情况复杂的情况3 3）少数情况下可同时适用，例如少数情况下可同时适用，例如P72-8P72-12第第6节节 电多极矩电多极矩 前前面面所所学学的的解解决决静静电电问问题题的的方方法法（分分离离变变量量法法、镜镜象象法法），着着眼眼点点都都是是为为求求解解泊泊松松方方程程或或拉拉普普拉拉斯斯方方程程；本本节节的的着着眼眼点点在在于于求求电电势势的的直直接接表表达达式式库库仑仑定定律律的的近近似似解解。

所所涉涉及及的的问问题题是是：在在真真空空中中，若若激激发发电电场场的的电电荷荷全全集集中中在在一一个个很很小小区区域域（如如原原子子、原原子子核核内内），而而要要求求的的又又是是距距场场源源较较远远的的场场，这这时时可可采采用用多多极极矩矩近似法近似法来来解决问题解决问题例如，原子核的电荷分布于线度为例如，原子核的电荷分布于线度为10- -13cm的范围内，受此电荷分的范围内，受此电荷分布作用的电子距核的距离为布作用的电子距核的距离为10- -8cm，就满足上述条件就满足上述条件 具体来说，带电体系中的电荷分布于有限区域具体来说，带电体系中的电荷分布于有限区域V内，在内，在V中中任取一点任取一点O为坐标原点，区域为坐标原点，区域V的最大线度为的最大线度为l，场点场点P 距距O点为点为R，多极矩法讨论多极矩法讨论 Rl 情况下的场分布情况下的场分布 简简单单例例子子：设设V 中中有有一一点点电电荷荷Q，位位于于(a,0,0)点点，Q 对对远远处处产产生生的电势，相当于的电势，相当于1）将）将Q移动到原点，则对场点移动到原点，则对场点P产生一个产生一个电偶极子分布的误差电偶极子分布的误差B多多级级矩矩法法的的物物理理思思想想：把把分分布布在在坐坐标标原原点点附附近近一一个个很很小小区区域域内内的的电电荷荷体体系系在在远远处处产产生生的的势势，看看作作位位于于原原点点的的点点电电荷荷Q，以以及及中中心心在在原原点点的的电电偶偶极极子子P，电电四四极极子子D等等所所产产生生的的势势的的叠叠加加，根根据据所要求的精度，利用前几项之和，近似地表示该电荷体系的势。

所要求的精度，利用前几项之和，近似地表示该电荷体系的势xyzoQ(A)yzQa-Q(B)Qxyzoa(O)+yzQa/2-Q(C)yzQaQ-Qa/2-Q- -a/2(D)将将B图的电偶极子移到原点，对场点图的电偶极子移到原点，对场点P产生一个产生一个电四极子分布的误差电四极子分布的误差DxyzoxyzoayzQa-Q=+(A)(B)(O)(O)(A)(B)=+=(A)(C)+(D)一级近似一级近似 xyzoQ+yzQa/2-Q(A)(C)+零级近似零级近似 xyzoQ(A) zxQyoa(O) 总之，移动一总之，移动一个点电荷到原个点电荷到原点，对场点产点，对场点产生一个电偶极生一个电偶极子分布的误差；子分布的误差；移动一个电偶极子移动一个电偶极子到原点，对场点产到原点，对场点产生一个电四极子分生一个电四极子分布的误差；布的误差；二级近似二级近似 xyzoQ+yzQa/2-QyzQa/4Q-Qa/2-Q+类上递推，类上递推，移动一个电四极子到原点，对移动一个电四极子到原点，对场点产生一个电八极子分布的误差；场点产生一个电八极子分布的误差；可得二级近似：可得二级近似： zxQyoa(O)q小区域电荷分布小区域电荷分布 产生的电势产生的电势许多实际情况中，电荷分布区域的许多实际情况中，电荷分布区域的最大线度最大线度l 远小于该区域到场点的距远小于该区域到场点的距离离r 1. 粗略近似：粗略近似：PO2. 精确近似精确近似电多级矩展开电多级矩展开1）幂级数展开与麦克劳林级数：）幂级数展开与麦克劳林级数：当当 x0 = 0 时，上式称为时，上式称为麦克劳林级数麦克劳林级数三维函数的三维函数的泰勒级数泰勒级数f (x)在在 x = x0 处的处的泰勒级数泰勒级数三维函数的三维函数的麦克劳林麦克劳林级数级数2） 1/r 的的麦克劳林级数麦克劳林级数此函数有两个自变量，应展开哪一个？此函数有两个自变量，应展开哪一个？此此式式是是以以源源点点x为为变变量量进进行行积积分分，而而当当场场点点P选选定定后后，其其坐坐标标x固定不变。

因此，固定不变因此，1/r的的麦克劳林展开应以麦克劳林展开应以x为自变量进行为自变量进行：书书P12P12： “对对r的的函函数数而而言言，对对x微分与对微分与对x微分仅差一负号微分仅差一负号”3）小区域电荷体系的电势的多极矩展开：小区域电荷体系的电势的多极矩展开：将上式代入右式得：将上式代入右式得：令令上上式式是是小小区区域域电电荷荷体体系系在在远远处处激激发发电电势势的的多多极极展展开开，p称称为为体体系系的电偶极矩（的电偶极矩（参见参见P34-5P34-5），），张量张量D称为体系的电四极矩称为体系的电四极矩3. 电多极矩的物理意义电多极矩的物理意义1) 第一项：该项第一项：该项作为零级近似，可看作作为零级近似，可看作是电荷体系集中于原点上时，是电荷体系集中于原点上时，总电荷总电荷Q 激发的电势激发的电势2) 第第二二项项：该该项项可可看看作作是是集集中中于于原原点点处处的的体体系系总总电电偶偶极极矩矩p产产生的电势，生的电势，第一、二项之和即电势的一级近似第一、二项之和即电势的一级近似电偶极电偶极矩矩的电场：的电场：a)与与R3成反比；成反比；b)轴对称性轴对称性 若一个体系的电荷分布关于原点对称，若一个体系的电荷分布关于原点对称，则电偶极矩为则电偶极矩为0 03) 第三项：是集中于原点处的体系总电四极矩第三项：是集中于原点处的体系总电四极矩D激发的电势，激发的电势，第第1-3项之和即电势的二级近似。

项之和即电势的二级近似讨论：讨论：1) 展展开开式式表表明明：一一个个小小区区域域内内连连续续分分布布的的电电荷荷体体系系在在远远处处激激发发 的场，等于一系列多极矩在远处激发的场的迭加的场，等于一系列多极矩在远处激发的场的迭加2) 若带电体系的总电荷为零，计算电势时必须考虑电偶极矩；若若带电体系的总电荷为零，计算电势时必须考虑电偶极矩；若 带电体系的总电荷为零，总电偶极矩也为零，计算电势时必须带电体系的总电荷为零，总电偶极矩也为零，计算电势时必须 考虑电四极矩考虑电四极矩ba0 体系总电荷为体系总电荷为0，总电偶极，总电偶极矩为矩为0，电四，电四极矩为极矩为 线四极矩：线四极矩：z 轴上一对轴上一对正电荷和一对负电荷组成的正电荷和一对负电荷组成的体系，此体系可看作由一对体系，此体系可看作由一对电偶极矩电偶极矩 + p 和和- p 组成其中，其中，p=Q(b-a) 是电偶极矩大小，是电偶极矩大小，l=b+a 是两个电偶极矩中心是两个电偶极矩中心的间距（或的间距（或 p=Q(b+a) 是电偶极矩大小，是电偶极矩大小，l= b-a 是两个电偶极矩是两个电偶极矩中心间距）中心间距） 由由x轴上轴上两对正负电荷组成两对正负电荷组成只有只有D11分量的线电四极矩；分量的线电四极矩； 由由y轴上两对正负电荷组成轴上两对正负电荷组成只有只有D22分量的线电四极矩。

分量的线电四极矩 由由xy平面上两对正负电荷组成只有平面上两对正负电荷组成只有D12分量的面电四极矩；分量的面电四极矩； 由由yz平面上两对正负电荷组成只有平面上两对正负电荷组成只有D23分量的面电四极矩；分量的面电四极矩； 由由zx平面上两对正负电荷组成只有平面上两对正负电荷组成只有D31分量的面电四极矩分量的面电四极矩此此即即沿沿z轴轴排排列列、以以坐坐标标原原点点为为中中心心的的（+，- -，- -，+）四四个个点点电电荷荷产产生生的的电电势势，也也即即只只有有D33分分量量的的线线电电四四极极矩矩产生的电势产生的电势根据电偶极子电势（根据电偶极子电势（R为由电偶极为由电偶极子中心指向场点子中心指向场点P的矢量）：的矢量）：只有只有D33分量的线电四极矩产生的电势的证明：分量。