【教育资料】疑难规律方法第三章概率学习精品.docx

1 辨析频率与概率概率与频率虽只有一字之差，但意义大不相同，同时二者之间又有一定的联系.下面和同学们一起认识一下这对“挛生兄弟”.一、 频率与概率的区别频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，它的值等于随机事件发生的次数与试验总次数的 比.频率是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到的某事件发生的频率不 一定相同.而概率是一个确定的值，是客观存在的，与每次试验无关，与试验次数也无关.例1连续抛掷一枚硬币 10次，落地后正面向上出现了 6次，设"抛一次硬币，正面向上” 为事件A,则下列说法正确的有 .- 3 3① P(A)=-;② P(A)5 5③ 再连续抛掷该硬币 10次，落地后出现正面的次数还是 6;3④ 事件A发生的频率为乎；5⑤ 无论哪一次抛，硬币落地后正面向上的概率相同.1 一解析 ④⑤正确.在一次试验中，事件 A发生的概率为*再连续抛掷该硬币10次，落地后出现正面的次数不确定.答案④⑤点评频率的随机性和概率的确定性是二者的本质区别.二、 频率与概率的联系1 .在大量重复进行同一试验时， 频率总是在某个常数附近摆动. 由于事件的随机性， 有时候频率也可能出现偏离该“常数”较大的情形，但随着试验次数的增加，这种情形出现的可能性会减小.概率是频率的稳定值，可看作是频率在理论上的平均值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.2 .在实际问题中，某些随机事件的概率往往难以确切的得到， 因此我们常常通过大量的重复试验，用随机事件发生的频率来估计概率.例2 一个不透明的袋中装有大小质地相同的红、 白两种颜色的小球，某学习小组做摸球试验,每次从袋中摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸•试验的部分数据如下表：摸球次数306090120150180210270300摸到红球的次数6253138455367摸到红球的频率0.3000.247(1) 将表格补充完整；(所求频率保留3位小数)⑵估计从中随机摸一个球，求摸到红球的概率 P.(保留2位小数)解(1)第二行依次填：18,74.第三行依次填：0.200,0.278,0.258,0.253,0.250 , 0.252, 0.248.(2) 由(1)知，虽然抽取次数不同，所得频率值不同，但随试验次数的增加，频率在常数 0.250附近摆动，故P Q 0.25.点评 只有当频率值在某一常数附近摆动时，才能将此常数近似看作该事件发生的概率.现 实生活中很多事件的概率是难以确切得到的，鉴于随机事件的发生带有随机性的同时又存在 一定的规律性，故一般通过大量的重复试验，用随机事件的频率来估计概率 ^2概率加法公式应用点拨 概率的加法公式是计算概率的一个最基本的公式，根据它可以计算一些复杂事件的概率.概 率的加法公式可推广为若事件 A1, &,•••, An彼此互斥(两两互斥)，则P(A〔U A2U・・・UAn)=P(A1) + P(A2)+・・・+ P(An),即彼此互斥事件和的概率等于各个事件发生的概率之和.用此 公式时，同学们首先要判断事件是否互斥，如果事件不互斥，就不能用此公式.下面举例说 明概率加法公式的应用.一、计算互斥事件和的概率 例1由经验得知，某市某大型超市付款处排队等候付款的人数及其概率如下表：排队人数012345人以上概率0.100.160.300.30.100.04求：(1)至多2人排队的概率；(2)至少2人排队的概率.解 ⑴记“没有人排队”为事件A, “1人排队”为事件B, “2人排队”为事件C,则A,B, C彼此互斥.P(A U B U C)= P(A) + P(B) + P(C) = 0.10+ 0.16+ 0.30 = 0.56.(2)记“至少2人排队”为事件D , “少于2人排队”为事件A U B,那么事件D与事件A U B 是对立事件，贝U P(D) = P( A U B ) = 1- [P(A)+ P(B)]= 1-(0.10 + 0.16) = 0.74.点评 应用概率加法公式求概率的前提有两个：一是所求事件是几个事件的和，二是这几个事件彼此互斥.在应用概率加法公式前，一定要弄清各事件之间的关系，把一个事件分拆为几个彼此互斥的事件的和，再应用公式求解所求概率.二、 求解“至少”与“至多”型问题例2甲、乙、丙、丁四人同时参加一等级考试，已知恰有 1人过关(事件A)的概率为0.198,恰有2人过关(事件B)的概率为0.38，恰有3人过关(事件C)的概率为0.302,4人都过关(事件D)的概率为0.084.求:(1) 至少有2人过关的概率 P1；(2) 至多有3人过关的概率P2.分析 "至少有2人过关”即事件BU CU D."至多有3人过关”即事件A, B, C与事件“4人均未过关”的并事件，其对立事件为 D.(注意“4人均未过关”这种可能情况)解 由条件知，事件 A, B, C, D彼此互斥.⑴P〔= P(BU CU D) = P(B) + P(C)+ P(D) = 0.766.⑵P2= P(B) = 1- P(D)= 1 — 0.084= 0.916.点评 处理“至多” “至少”型问题，既可以分情况讨论，也可以从反面考虑，即借助对立事件的概率间接求解.当事件包含的情况较多时，常利用 P(A) = 1-P(~A )求P(A).三、 列方程求解概率问题例3某班级同学的血型分别为 A型、B型、AB型、。

型，从中任取一名同学， 其血型为AB型的概率为0.09,为A型或O型的概率为0.61，为B型或O型的概率为0.6,试求任取一人， 血型为A型、B型、O型的概率各是多少？分析 设出所求事件的概率，将题中涉及到的事件用所求事件表示出来，借助这些事件的概率及公式，列方程求解即可.解 记“任取一人，血型为 A型”，“任取一人，血型为 B型”，“任取一人，血型为 AB型”，“任取一人，血型为 O型”分别为事件E, F, G, H,显然事件E, F, G, H两两互斥.P(G 尸 0.09,P(E 户 P(H 尸 0.61 ,P(F )+ P(H 尸 0.6,P(E 尸 P(F 汁 pG 尸 P(H 尸 1.[P(E 尸 0.31,解得〈P(F尸0.3,〔P(H 广 0.3.所以任取一人，血型为 A型、B型、O型的概率分别为 0.31、0.3、0.3.点评 本题很好地应用了全体事件的和为必然事件这一点.挖掘题目中的隐含条件并合理利用是解决某些问题的关键，同学们应注重这种能力的培养 .3 随机事件的概率结论1概率大的随机事件不一定意味着肯定发生.在一次试验中，概率大的随机事件的发生不一定优于概率小的随机事件的发生.释义 对于概率的大小问题， 只能说明相对于同一随机事件而言， 概率大的发生的可能性大，概率小的发生的可能性小.例1在一次试验中，随机事件 A发生的概率是0.3,随机事件B发生的概率是0.7,你认为 如果做一次试验，可能出现 B不发生A发生的现象吗？为什么？解这是可能的.因为随机事件 B的发生概率大于随机事件 A的发生概率，但并不意味着在一次试验中随机事件 B的发生一定优于随机事件 A的发生，随机事件的发生是不确定的.结语 结论1实现实际生活中小概率事件发生的可能性.对于概率问题，必须注意的是概率是相对于大量重复试验的前提下得到的理论值，但在少数的有限试验中，概率不一样的随机事件发生的可能性无法确定.结论2概率是由巨大数据统计后得出的结论，是一种大的整体的趋势；而频率是数据统计 的结果，是一种具体的趋势和规律.概率可以看作频率在理论上的期望值.释义 概率与频率的关系是整体与具体、理论与实践、战略与战术的关系，频率随着随机事件次数的增加会趋向于概率.在处理具体的随机事件时，用概率作指导，以频率为依据.例2在某次射击比赛中，甲运动员在决赛中以 0.2环的微弱优势战胜了乙运动员， 摘得该项的金牌.下表是两人在参赛前训练中击中 10环以上的次数统计：甲运动员：射击次数n102050100200500击中10环以上的次数m9174492179450击中10环以上的频率m n乙运动员:射击次数n102050100200500击中10环以上的次数m8194493177453击中10环以上的频率m n请根据以上表格中的数据回答以下问题：(1) 分别计算出两位运动员击中 10环以上的频率；(2) 根据(1)中计算的结果预测两位运动员在该比赛中每次击中 10环以上的概率.解(1)两运动员击中10环以上的频率分别为：甲：0.9,0.85,0.88,0.92,0.895,0.9;乙:0.8,0.95,0.88,0.93,0.885,0.906;(2)由(1)中的数据可知两位运动员击中 10环以上的频率都集中在 0.9这个数的附近，所以可以预测两位运动员在该比赛中每次击中 10环以上的概率为 0.9,即两人的实力相当.结语 结论2实现频率与概率既有联系又有区别，频率随着随机事件的试验次数的不断增加而趋向于概率.结论3两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立.释义 对立事件是互斥事件的一个特例，两个互斥事件不一定是对立事件，而两个对立事件必为互斥事件.例3 一个不透明的袋中装入 4个白球与4个黑球，从中任意摸出 3个球.⑴可能发生哪些事件？(2) 指出其中每个事件的互斥事件；(3) 事件"至少摸出1个白球”是哪几个事件的和事件？它的对立事件是哪个事件？解(1)以白球或黑球的个数作为讨论标准，可能发生下列事件：① 摸出3个白球，记为事件 A;② 摸出2个白球，1个黑球，记为事件 B;③ 摸出1个白球，2个黑球，记为事件 C;④ 摸出3个黑球，记为事件 D;(2) 事件A, B, C, D彼此互斥；(3) “至少摸出1个白球”的事件为A, B, C的和事件，即“至少摸出1个白球”的对立事 件是D.结语 结论3实现对立事件与互斥事件的联系与区别.特别在解答一些问题时，在把复杂事件加以分解的事件个数不是太多的情况下，可以把所有的事件罗列下来，结合互斥事件与对立事件的概念加以辨析.4点击互斥事件一、 互斥事件、对立事件的概念1 .“互斥事件”和“对立事件”都是就两个事件而言的， 互斥事件是不可能同时发生的两个事件，也就是说互斥事件至多有一个发生，也有可能两个都不发生，而对立事件是其中必有 一个发生的互斥事件.因此，对立事件必须是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也 就是说对立事件是互斥事件的充分不必要条件.2. 从集合的角度理解：两个互斥事件对应的基本事件所组成的集合的交集为空集， 并集可能是全集，也可能不是全集；当 A, B是对立事件时，其交集为空集，并集是全集.3. 互斥事件之间的关系中的“不能同时发生”体现了分类讨论的原则“不重复”， 而“不遗漏”则表现在所有互斥事件的和是整个事件 (必然事件)•二、 例题点击1 .互斥事件、对立事件的判断例1从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取 2个球，那么互斥但不对立的事件是 ( )A .至少有1个红球与都是红球B .至少有1个黑球与至少有 1个红球C .恰有1个。