高等数学课后习题答案第八章3.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑高等数学课后习题答案第八章3 第八章习题解答（3） 节8.5片面习题解答 1、以下方程确定了y?f(x)，求 （1）、nisdy， dxy?ex?xy2?0 ?F?F?ex?y2；?cosy?2xy ?x?y解：设F(x,y)?siny?ex?xy2?0， （2）、lnx2?y2?natcray x解：设F(x,y)?lnx2?y2?arctany， x?Fx?2??xx?y21yx?y(?2)?2； 2y2xx?y1?()xy11?Fy?x?()??2； 222yxx?y?yx?y1?()2xFdyx?y ??x?dxFyx?y（3）、x?y 解：设F(x,y)?x?y， yxyx?F1?F1?yxy?1?yxlny?xy(y?xlny) ?xylnx?xyx?1?xy(ylnx?x)； ?xx?yyFy(xlny?y)dy ??x?x(ylnx?x)dxFy（4）、xy?e?1 解：设F(x,y)?xy?e?1， yy?F?F?y ?x?ey； ?x?yFydy ??x??x?eydxFy 1 2、以下方程确定了z?f(x,y)，求 ?z?z ?x?y（1）、ez?xyz?0 解：设F(x,y,z)?ez?xyz， Fx??yz Fy??zx Fz?ez?xy； FyF?z?zyzzx ?z??x?z???x?yFze?xyFze?xy（2）、z3?3xyz?a3 解：设F(x,y,z)?z3?3xyz?a3， Fx??3yz Fy??3zx Fz?3z2?3xy； FyFx?z?zyzzx ?2?2?????x?yFzz?xyFze?xy（3）、x2y?2yz?ez?1 解：设F(x,y,z)?xy?2yz?e?1， 2zFx?2xy Fy?x2?2z Fz??2y?ez； Fyx2?2zFx?z?z2xy ??????zz?x?yFz2y?eFz2y?e（4）、sinz?xyz 解：设F(x,y,z)?sinz?xyz， Fx??2yz Fy??xz Fz?cosz?xy； FyF?z2yz?zxz? ??x????x?yFzcosz?xyFzcosz?xy3、设2sin(x?2y?3z)?x?2y?3z确定了z?f(x,y)，验证： ?z?z??1 ?x?y证明：设F(x,y,z)?2sin(x?2y?3z)?(x?2y?3z)， 2 Fx?2cos(x?2y?3z)?1 Fy?4cosx(?2y?3z)?2 Fz??6cos(x?2y?3z)?3； Fy1Fx2?z?z? ? ?????x?yFz3Fz3所以 ?z?z21????1 ?x?y334、设x?x(y,z),y?y(z,x),z?z(x,y)都是由方程F(x,y,z)?0确定的函数，证明 ?x?y?z????1 ?y?z?x证明： FyFF?x?y?z???(?)(?z)(?x)?(?1)3??1 ?y?z?xFxFyFz5、函数?(u,v)具有连续的偏导数，验证方程?(cx?az,cy?bz)?0所确定的函数 z?z(x,y)得志 a?z?z?b?c ?x?y证明：设u?cx?az,v?cy?bz， 那么有 ?u?u?v?v?u?v?c，??a，?0，??b ?0，?c，?x?z?x?z?y?y?x?c?1 ?y?c?2 ?z??a?1?b?2 ?y?xca?1cb?2?z?z b a??a???b??x?za?1?b?2?y?za?1?b?2 于是 aca?1cb?2c(a?1?b?2)?z?z?b????c ?x?ya?1?b?2a?1?b?2a?1?b?2?z?z, ?x?y6、设f具有连续偏导数，方程z?f(xz,z?y)确定了z?f(x,y)，求 解：设F(x,y,z)?z?f(xz,z?y)，又设u?xz,v?z?y， 那么有 ?u?u?v?v?u?v?z，?x，?0，?1 ?0，??1，?x?z?x?z?y?y3 Fx??zf1 Fy?f2 Fz?1?xf1?f2 Fzf1f2?z?z ??x????x?yFz1?xf1?f21?xf1?f2 7、设f具有连续偏导数，方程f(x,x?y,x?y?z)?0确定了z?f(x,y)，求 ?z?z, ?x?y解：设F(x,y,z)?f(x,x?y,x?y?z)， Fx?f1?f2?f3 Fy?f2?f3 Fz?f3 Ff?f2?f3f?f2?z?z ??x??1??1?x?yFzf3f3 8、求由方程组所确定的函数的导数或偏导数 ?z?x2?y2?y?z,, （1）、?2求22?x?x?x?2y?3z?20?y??z?2x?2y??x?x解：对等式两边同时求关于x的偏导数得 ?就是 ?y?z?2x?4y?6z?0?x?x?2x?2y?y??z??x?2y?x?2x?z?x2y2xyx解得 ?????z?y1?2y?x2y(3z?1)3z?1?3z?2y??x?x??x3z2y12x3z?x?yx(6z?1) ???1?2y?x2y(3z?1)3z2y1?2?x?y2?z2dxdy（2）、?2求dz,dz, ??x?y?z?2dy?dx2x?2y?z?dzdz解：对等式两边同时求关于z的偏导数得 ? dxdy????1?dzdz 4 z2y2xz1?1dx?11z?2ydyz?2x解得 ?????dz2x2y2(x?y)dz2x2y2(x?y)1111?u3?xv?y?0?u?v,, （3）、?3求?x?xv?yu?x?0??v?2?u3u?x?v?0??x?x解：对等式两边同时求关于x的偏导数得 ?就是 ?v?u?3v2?y?1?0?x?x??v?2?u3u?x??v??x?x 解得 ??u2?v?y?3v?1?x??x?13v2?u3v3?x?v??? ?22?x3u2?x9uv?xyx3u2y3v2y（4）、?3u2y3u2?yv ?229uv?xyx3v2?v1?x?y?u?v?u?v,, 求 isv?ynisu?y?y?xn解：对等式两边同时求关于y的偏导数得 ?u?v???1?1????y?y???y?y ?即? ?v?u?ycosu?u?xcosv?v??sinu?xcosv?sinu?ycosu??y?y?y?y???解得： ??u?v11?u?sinu?xcoscosv?sinu ??11?yxcosv?ycosuycosu?xcosv11ycosu?sinu?vsinu?ycosu ??11?yxcosv?ycosuycosu?xcosv 5 — 4 —。