2023年第十章 第节7.doc

第7节　二项分布及其应用最新考纲　了解n次独立重复试验的模型及二项分布.知 识 梳 理1.事件的相互独立性（1）定义：设A，B为两个事件，如果P（AB）＝P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立.（2）性质：若事件A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立，P（B|A）＝P（B），P（A|B）＝P（A）.2.独立重复试验与二项分布（1）独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，其中Ai（i＝1，2，…，n）是第i次试验结果，则P（A1A2A3…An）＝P（A1）P（A2）P（A3）…P（An）.（2）二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P（X＝k）＝Cpk（1－p）n－k（k＝0，1，2，…，n），此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并称p为成功概率.[常用结论与微点提醒]1.相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算公式为P（AB）＝P（A）P（B）.互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P（A∪B）＝P（A）＋P（B）.2.（1）判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次.（2）二项分布与超几何分布的联系与区别.有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体数量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理.诊 断 自 测1.思考辨析（在括号内打“√”或“×”）（1）若事件A，B相互独立，则P（B|A）＝P（B）.（　　）（2）P（AB）表示事件A，B同时发生的概率，一定有P（AB）＝P（A）·P（B）.（　　）（3）二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P（X＝k）＝Cpk（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布.（　　）解析　对于（2），若A，B独立，则P（AB）＝P（A）·P（B），若A，B不独立，则P（AB）＝P（A）·P（B|A），故（2）不正确.答案　（1）√　（2）×　（3）√2.设随机变量X～B，则P（X＝3）等于（　　）A. B. C. D.解析　X～B，由二项分布可得，P（X＝3）＝C·＝.答案　A3.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（　　）A. B. C. D.解析　设事件A：甲实习生加工的零件为一等品；事件B：乙实习生加工的零件为一等品，且A，B相互独立，则P（A）＝，P（B）＝，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P（A）＋P（B）＝P（A）P（）＋P（）P（B）＝×＋×＝.答案　B4.连续掷一个质地均匀的骰子3次，各次互不影响，则恰好有一次出现1点的概率为　　　　.解析　掷一次骰子出现1点的概率为P＝，所以所求概率为P＝C··＝.答案　5.（2019·嘉兴测试）天气预报，端午节假期甲、乙、丙三地降雨的概率分别是0.9，0.8，0.75，若甲、乙、丙三地是否降雨相互之间没有影响，则其中至少一个地方降雨的概率为　　　　.解析　∵甲、乙、丙三地降雨的概率分别是0.9，0.8，0.75，∴甲、乙、丙三地不降雨的概率分别是0.1，0.2，0.25，甲、乙、丙三地都不降雨的概率是0.1×0.2×0.25＝0.005，故至少一个地方降雨的概率为1－0.005＝0.995.答案　0.995考点一　相互独立事件的概率【例1】 （2019·天津卷）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.（1）记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.解　（1）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝××＝，P（X＝1）＝××＋××＋××＝，P（X＝2）＝××＋××＋××＝，P（X＝3）＝××＝.所以，随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝.（2）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P（Y＋Z＝1）＝P（Y＝0，Z＝1）＋P（Y＝1，Z＝0）＝P（Y＝0）P（Z＝1）＋P（Y＝1）P（Z＝0）＝×＋×＝.所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.规律方法　（1）求解该类问题在于正确分析所求事件的构成，将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算.（2）求相互独立事件同时发生的概率的主要方法①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.②正面计算较繁（如求用“至少”表述的事件的概率）或难以入手时，可从其对立事件入手计算.【训练1】 某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动.某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题，已知甲家庭回答对这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错的概率是，乙、丙两个家庭都回答对的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响.（1）求乙、丙两个家庭各自回答对这道题的概率；（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答对这道题的概率.解　（1）记“甲答对这道题”、“乙答对这道题”、“丙答对这道题”分别为事件A，B，C，则P（A）＝，且有即所以P（B）＝，P（C）＝.（2）有0个家庭回答对的概率为P0＝P（　　）＝P（）·P（）·P（）＝××＝，有1个家庭回答对的概率为P1＝P（A　＋B＋　 C）＝××＋××＋××＝，所以不少于2个家庭回答对这道题的概率为P＝1－P0－P1＝1－－＝.考点二　独立重复试验与二项分布【例2】 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得－200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率.解　（1）设“每盘游戏中击鼓三次后，出现音乐的次数为ξ”.依题意，ξ的取值可能为0，1，2，3，且ξ～B，则P（ξ＝k）＝C＝C·.又每盘游戏得分X的取值为10，20，100，－200.根据题意则P（X＝10）＝P（ξ＝1）＝C＝，P（X＝20）＝P（ξ＝2）＝C＝，P（X＝100）＝P（ξ＝3）＝C＝，P（X＝－200）＝P（ξ＝0）＝C＝.所以X的分布列为X1020100－200P（2）设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai（i＝1，2，3），则P（A1）＝P（A2）＝P（A3）＝P（X＝－200）＝.所以，“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1－P（A1A2A3）＝1－＝1－＝.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.规律方法　利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P（X＝k）＝Cpk（1－p）n－k的三个条件：（1）在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；（2）n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；（3）该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率.【训练2】 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列.解　（1）记事件A1为“从甲箱中摸出的1个球是红球”，A2为“从乙箱中摸出的1个球是红球”，B为“顾客抽奖1次能获奖”，则B表示“顾客抽奖1次没有获奖”.由题意A1与A2相互独立，则与相互独立，且＝·，因为P（A1）＝＝，P（A2）＝＝，所以P（B）＝P（·）＝·＝，故所求事件的概率P（B）＝1－P（）＝1－＝.（2）设“顾客抽奖一次获得一等奖”为事件C，由P（C）＝P（A1·A2） ＝P（A1）·P（A2）＝，顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，则X～B，于是P（X＝0）＝C＝，P（X＝1）＝C＝，P（X＝2）＝C＝，P（X＝3）＝C＝.故X的分布列为X0123P基础巩固题组一、选择题1.（2019·金华调研）打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则他们同时中靶的概率是（　　）A. B. C. D.解析　因为甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，所以P（甲）＝，P（乙）＝，所以他们都中靶的概率是×＝.答案　A2.先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是（　　）A. B. C. D.解析　三次均反面朝上的概率是＝，所以至少一次正面朝上的概率是1－＝.答案　D3.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则p＝（　　）A. B. C. D.解析　由题意得（1－p）＋p＝，∴p＝，故选B.答案　B4.甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为（　　）A. B. C. D.解析　设甲命中目标为事件A，乙命中目标为事件B，丙命中目标为事件C，则击中目标表示事件A，B，C中至少有一个发生.又P（··）＝P（A）·P（B）·P（）＝[1－P（A）]·[1－P（B）]·[1－P（C）]＝××＝.∴目标被击中的概率P＝1－P（··）＝.答案　A5.（2019·丽水市调研）一袋中有5个白球、3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P（X＝12）等于（　　）A.C B.CC.C D.C解析　由题意知第12次取到红球，前11次中恰有9次红球2次白球，由于每次取到红球的概率为，所以P（X＝12）＝C××.答案　D二、填空题6.设随机变量X～B（2，p），随机变量Y～B（3，p），若P（X≥1）＝，则P（Y≥1）＝　　　　.解析　∵X～B（2，p），∴P（X≥1）＝1－P（X＝0）＝1－C（1－p）2＝，解得p＝.又Y～B（3，p），∴P（Y≥1）＝1－P（Y＝0）＝1－C（1－p）3＝.答案　7.（2019·台州调考）某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠.若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P（X＝4）＝　　　　.解析　考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故X～B，即有P（X＝k）＝C×，k＝0，1，2，3，4，5.故P（X＝4）＝C×＝.答案　。