数列问题套路之外寻思路数列极限的定义解释.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑数列问题套路之外寻思路数列极限的定义解释寻思 套路 S�老师在课间热爱与学生交流,了解学习处境,议论一些学生感兴趣的问题.近阶段学习数列,学生显得较为轻松,聪明的学生还总结出了解题套路:抓根本量+细心计算.真是初生牛犊不怕虎.想想数列曾是多少高考“过来人”的心头之疼.但望疼不再延续. 　　“无聊”的填数问题　　网上公布的公务员考试题中有一道找规律填数字问题:　　题1 根据规律填空：1， 3， 11， 67， 629,( ).　　�S�老师打定让学生试试看.　　生 老师,这类题目我们小学时做得太多了.现在还让我们做不是太无聊了吗?　　学生虽这么说,其实还是很感兴趣.但很快由不屑一顾变成束手无策了.这个数列既不是等差数列,也不是等比数列.套路无用武之地了.总体看,数列逐项在增大.但给出的四个选项都比629大.　　生 增大的幅度越来越大:�3-1=2， 11-3=8， 67-11=56， 629-67=562.不过2��351-629=1��722�也远大于562,后面几个选项与629的差就更大了.并没有看出哪个选项显得更加.　　师 除了考察相邻两项的差,还有其他方法吗?　　生 能不能看看相邻两项的比呢?　　于是粗略地估算知:�31=3, 113≈�3.67,� 6711≈6.09, 62967≈9.39.�　　师 接下来的一个比值大致可能是多少呢?　　生 理应在12邻近才行.又2��351629≈�3.74�, 3��130629≈4.98, 4��783629≈7.60, 7��781629≈�12.37�,选择�D�.　　师 很好.　　生 老师,虽然猜到了正确的答案,但并没觉得与学过的等差或等比数列有何联系?　　师 你觉察出数列是逐项增大,不是考察了相邻两项的差、相邻两项的商吗?看到3.67， 6.09， 9.39,为什么会揣摩下一个数理应在12的邻近呢?　　生 哦,原来默化潜移地影响了我直查看觉的方法.但这样做让人有点不放心.假设四个选项供给的数值靠得很近,不还是没法选吗?　　师 你们认为怎样才是完备的解法呢?　　生 理应找出一个通项公式.　　师 好,启动你们这些聪明的脑袋,大家一起想想看.　　也就是这样的问题:　　�1→1, 2→3, 3→11, 4→67, 5→629, 6→？�　　学生觉得可从“4→67, 5→629”入手探索.靠近67的64是4�3,也就是说�67=4�3+3;同理629=625+4=5�4+4.�　　再回头查看，�1�0+0=1， 2�1+1=3， �3�2+�2=11,�皆符合同样关系.所以该数列的一个通项公式为�a�n=n��n�-1�+n�-1.当n=6时，6�5+5=7��781,�选择�D�.　　师 看来解决数列问题并非都是一环紧扣一环的推理计算,凭借对问题洞察,也能直逼问题的本质.　　生 嘻,我们解题套路的版本该升级了.　　直觉得来的结果有时我们自己也不敢相信.　　被“曲解”的好学生　　一次作业中有这样一道题:　　题2 已知{a�n}为等差数列, S�n是其前n项和， a�1=25, S��17�=S�9,问n为何值时，S�n取得最大值?　　批改时,绝大片面同学是按“套路”求解.但察觉某同学的本子上仅写了:　　解当�n=13�时，S�n取得最大值.　　莫非来不及做作业,直接将别人的答案抄在自己的作业本上?课间S老师还是与该生面谈了解概括处境.　　生 这个问题我会做,只是没有将想法写出来.　　师 你是怎样想的呢?　　生 由于�S�n=na�1+n(n-1)2d=d2n�2+a�1-d2n.所以当d≠0时,S�n是关于n的二次函数.且常数项为0.故有S�n=an�2+bn.考察二次函数f(x)=ax�2+bx.�　　由条件�a�1=25, S��17�=S�9,知f(1)=25, f(17)=f(9).�　　由于f(x)的图象为抛物线,且过原点.又�f(17)=f(9),所以抛物线关于直线x=17+92=13对称.又由于f(0)0,且a�1≠a�3， a�3=b�3.试对比以下各组数的大小.(1)a�2与b�2;(2)a�5与b�5.�　　我这样斟酌行吗?　　数列{a�n}的各项对应的点(n， a�n)在直线�y=dx+(a�1-d)�上,数列{b�n}对应的点在曲线�y=b�1�x上.由于a�1=b�1， a�3=b�3.所以A(1， a�1)， B(3， a�3)是这两个函数图象的交点.当01�时,它们的图象如下:　　由图1可知,当�x∈(-∞， 1）∪(3， �+∞)�时,直线在曲线的下方,当x∈(1， 3)时,直线在曲线的上方.所以a�2>b�2， a�5 — 4 —。