内生性问题好材料.doc

工具变量和两阶段最小二乘工具变量和两阶段最小二乘一、背景一、背景虽然在 OLS 的大样本性质中，我们放宽了强外生性的假定，用弱外生条件来进行替代，即但是，在实际的问题中，弱外生性的条件往往也()0E x是不容易满足的也就是说，变量的内生性问题总是不可避免的内生性引起的问题主要是引起参数估计的不一致可以说，内生性问题是在实际应用中最经常遇到的问题这个部分讨论的就是如何解决由内生性问题引起的参数估计的不一致二、知识要点二、知识要点1、引起内生性的原因及其对参数估计的影响2、代理变量法解决内生性问题3、工具变量法和 2SLS 的性质三、要点细纲三、要点细纲1、引起内生性的原因及其对参数估计的影响、引起内生性的原因及其对参数估计的影响（1）模型设定偏误（遗漏变量）这主要是因为实际的问题中，一个变量往往受到许多变量的影响，在实际建模过程中无法将解释变量全部列出在这样的情况下，遗漏的变量的影响就被纳入了误差项中，在该遗漏变量与其他解释变量相关的情况下，就引起了内生性问题)0E x（2）测量误差关于测量误差引起内生性的问题要基于测量误差的假设测量误差可能是对被解释变量的测量误差，也可能是由于对解释变量的测量误差。

这两种yx情况引发的结果是不一样的A. 被解释变量的测量误差y不妨假设的真实值是，测量值为，则可以将测量误差表示成：y*yy假设理论的回归方程为：* 0eyy* 01 1kkyxxL将测量误差方程带入得到：01 10kkyxxeL01 1kkxxvL其中是实际回归方程的残差显然，由于的测量误差是与0vey0e相互独立的，所以实际回归方程的残差 也与各解释变量相互独立（无关） ixv外生性条件满足B. 解释变量 x 的测量误差假设在回归式中，测量误差产生于，即实际01 1kkyxxLkx回归式为：* 01 1kkyxxL并有* kkkexx如果假设，则将测量误差带入方程得到：cov(,)0kkx e01 1kkkkyxxeL01 1kkxxvL显然，外生性条件满足如果假设该假设条件**2cov(,)0cov(,)cov(,)kkkkkkkex ex exe e称为 Classical error-in-variables（CEV）假定由上述方程可以看出，此时测量误差会引起内生性问题。

3) 双向交互影响（或者同时受其他变量的影响）这种情况引起的内生性问题在现实中最为常见其基本的原理可以阐述为，被解释变量和解释变量之间存在一个交互影响的过程的数值大小会引起yxx取值的变换，但同时的变换又会反过来对构成影响这样，在如下的回yyx归方程中：01 1kkyxxL如果残差项的冲击影响了的取值，而这样的影响会通过传导到上，yyx从而造成了和残差项的相关也就是引起了内生性问题x这里举几个简单、但经常遇到的例子说明例 1：金融发展与经济增长例 2：外商直接投资 FDI 与经济增长例 3：犯罪率与警备投入2、代理变量、代理变量(Proxy)法解决内生性问题法解决内生性问题考虑如下的回归方程01 1kkyxxqL其中，q 是不可观测的变量（遗漏） ，假定 z 是对 q 的一个代理，z 必须满足下列条件：（1）( | , , )( | , )E yq zE yqxx（2）( | , )( | )E qzE q zx01qzr代理变量的缺点：A、当有交互效应时会引起异方差问题B、在实际问题中，通常对遗漏的变量是难以意识到的C、约束条件太强。

3、工具变量法和、工具变量法和 2SLS 的性质的性质这里先讨论简单工具变量法，两阶段最小二乘 2SLS 是简单工具变量法的一个扩展关于工具变量的大样本假设Ⅰ、是一个有限、可逆的维正定矩阵limp zzZ Z= QnLLⅡ、是一个有限的的矩阵，并且该矩阵的秩是 Klimp zxZ X= QnLKⅢ、limpZ ε= 0n（1）简单工具变量考虑如下一个回归方程：01 1kkyxxL现在假设是内生的，也就是说，与残差项相关在这样的情况下，kxkx得到的参数估计值是有偏的再次强调，此时参数估计的偏差不仅仅存在于参数上，而是所有的参k数估计值都会受到影响看普通最小二乘的结果：11lim()()()()pbEEEExxxyxxxε其中，不妨设，则有：2k ，2 1112 122 2212xxx xxxxx xx xx12x x x，1111212122()lim()X XpE x xn 1 122limxXpxn 则可以看出：11121112 1 11 122 21222122 221 122xq xq x xq xq x 显然，当现在回到一般的回归方程：01 1kkyxxxβL仍然假设是内生的，如果可以找到一个工具变量，使得满足如下kx1z1z两条假定：Ⅰ、1()0kE z xⅡ、1()0E z那么，就可以定义，方程两边左乘，同取期望，1211( ,,,,)kx xxzzL z得到参数估计值，使得：11lim()()()()pEEEEIVbz xz yz xz ε但是，这样的简单工具变量得到的估计并不是无偏的（特殊的得到无偏估计的情况是：与其他外生变量无关，只和相关） 。

正确的做法是，将内生kx1z变量对所有的外生变量进行投影（回归） ，也就是按照如下的公式计算：kx01 1111kkkkxxxzrL只要系数，该工具变量就是有效的也就是说，必须保证与是01zkx在扣除了其他外生变量的影响下，仍然是相关的！这样，根据回归得到了的kx估计值01 1111ˆˆˆˆˆkkkxxxzL用估计出的代替原来的，进行 OLS 估计，就可以得到产生的无偏估ˆkxkx计这实际上是将内生变量分成了内生部分和外生部分，通过投影得到了外生的部分，然后进入回归方程2）多工具变量和两阶段最小二乘（2SLS）多工具变量是简单工具变量的一个扩展当我们可以找到的工具变量不只一个的时候，我们可以提高对内生变量的拟合优度得到一个更好的估计值另外一方面，如果一个多元回归方程中含有的内生变量个数不只一个，那么我们就必须分别找到它们各自的工具变量总得来说，需要注意的是，工具变量工具变量的个数必须大于方程中内生变量的个数的个数必须大于方程中内生变量的个数每一个内生变量，都必须是对所有的外生变量进行投影，这样得到的参数估计才是一致的下面用一个具体的例子来说明。

为了方便，我们仍然假设回归方程中只含有一个内生变量kx01 1kkyxxxβL现在假设我们可以找到一组外生变量，正确的做法是：12( ,,,)Lz zzL（1）将对所有外生变量进行回归：kx01 1111kkkLkkxxxzzrrzαLL其中111( ,,,,)kLxxzzzLL于是可以得到：1ˆ()()kkxEEx zz zz同理，对每一个外生的进行投影，也就是如下的回归：ix，可以得到如01 1111ikkLkkxxxzzrrzαLL下的结果：1ˆ()()ikixEExxzz zz（2）于是定义1212ˆˆˆˆˆ( ,,)( ,,)kkx xxx xxxLL1ˆ()()EExzz zz xz Πˆ ˆˆˆ 12kx xXxM得到：ˆ-1 zXZ(Z Z) Z XP X111ˆˆˆ ˆˆ() ()[() ()] [()]() ()2SLSzzzbXXXYP XP XP X YXXXY带入，得到：ˆ-1XZ(Z Z) Z X1ˆ ˆˆ() ()[()()][]-1-1-1 2SLSbXXXYXZ(Z Z) ZZ(Z Z) Z XXZ(Z Z) Z Y[()][]-1-1X Z(Z Z) Z XX Z(Z Z) Z Y（3）Proxy 和 IV 的区别Proxy 方法是将不可观测的变量用近似的变量进行替代，也就是说，是在残差项中提取出有用的信息，但是并没有对现有的解释变量进行处理。

而 IV 方法恰恰相反，它是对现有回归式中的内生变量进行的处理，找到另外一个变量对其进行“替代”，但是对于方程的残差项没有进行任何的处理IV 方法对工具变量有严格的外生假定条件，而 Proxy 不一定成立4）两阶段最小二乘的性质①一致性[()][]-1-1 2SLSbX Z(Z Z) Z XX Z(Z Z) Z Y[()][]-1-1βXZ(Z Z) Z XXZ(Z Z) Z εlim[()][]p-1-1XZ(Z Z) Z XXZ(Z Z) Z εlimpnnnnnn      -1-1XZZ ZZ XXZZ ZZ ε  limpn-1-1 xzzzxzxzzzZ εQ0所以，limp2SLSbβ但是，如果在第一阶段的回归中没有包括方程中原有的外生变量，那么，一致性就不能得到保证假设有如下回归方程11121yyu1z δ其中是的外生变量，是内生变量并且有维的工具变量1z11 L2y21 L。

2z11121yyu1z δ如果只是将对进行投影，得到如下结果：2y2z1 222222ˆ() ()yZZ ZZ y22ˆyyv带入原式得到11121 1ˆ()yyuv1z δ令，2ˆ y1xz 11δβ由 OLS 得到参数估计结果如下所示：11ˆ()()ββXXXuβXXXu1111211()()ˆ ()vu vu ZβXXy因为回归中没有扣除的影响，所以一般来说，，从而造1zcov(, )0v 1z成参数估计的有偏②有效性2SLS 在第一阶段进行回归得到的结果如下：1ˆ()()EExzz zz xz Π假设有另外一个关于的无偏投影：x，其相应得到的的两阶段估计为显然有如下两个结论成立：xz Γ%ββ%21ˆˆ ˆ.var[()][ ()]AsynEββxx211.var[()][ ()] [ ()][ ()]AsynEEEββxxxxxx%%% %%要证明的方差最小，只有证明是一ˆβˆ.var[()].var[()]AsynAsynββββ%个正定的矩阵，也就是证明：是正定矩阵。

1ˆ ˆ[ ()] [ ()][ ()] [ ()]EEEExxxxxxxx%% %%我们有，因此有：ˆrxx()0()()()ErErErEr zxΓ zΓz0%进而有：ˆˆ()[ ()]()EErExxx xxx%%%1ˆ ˆ[ ()] [ ()][ ()] [ ()]EEEExxxxxxxx%% %%1ˆ ˆˆ ˆˆˆ[ ()] [ ()][ ()] [ ()]()EEEEExxxxxxxxs s%% %%其中，是对回归的残差问1ˆˆˆ[ ()]()EE-sx-xxxxx%%。