2024年中考数学复习讲义第23讲特殊四边形-矩形.docx

第23讲 特殊四边形-矩形目 录一、考情分析二、知识建构考点一 矩形的性质与判定题型01 利用矩形的性质求角度题型02 利用矩形的性质求线段长题型03 利用矩形的性质求面积题型04 求矩形在坐标系中的坐标题型05 根据矩形的性质证明题型06 矩形的判定定理的理解题型07 添加一个条件使四边形是矩形题型08 证明四边形是矩形题型09 根据矩形的性质与判定求角度题型10 根据矩形的性质与判定求线段长题型11 根据矩形的性质与判定求面积题型12 根据矩形的性质与判定解决多结论问题题型13 与矩形有关的新定义问题题型14 与矩形有关的规律探究问题题型15 与矩形有关的动点问题题型16 矩形与一次函数综合题型17 矩形与反比例函数综合题型18 矩形与二次函数综合考点二 矩形的折叠问题题型01 与矩形有关的折叠问题类型一 沿对角线翻折（模型一）类型二 将矩形短边顶点翻折到对角线上（模型二）类型三 将矩形短边顶点翻折到长边上（模型三）类型四 矩形短边沿折痕翻折（模型四）类型五 通过翻折将矩形两个顶点重合（模型五）类型六 将矩形短边顶点翻折到对称轴上（模型六）类型七 将矩形翻折使其一个顶点落在一边上（模型七）类型八 其它考点要求新课标要求命题预测矩形的性质与判定Ø 探索并证明矩形的性质定理.Ø 探索并证明矩形的判定定理. 矩形是特殊平行四边形中比较重要的图形，也是几何图形中难度比较大的几个图形之一，年年都会考查，预计2024年各地中考还将出现. 其中，矩形还经常成为综合压轴题的问题背景来考察，而矩形其他出题类型还有选择、填空题的压轴题，难度都比较大，需要加以重视.解答题中考查特殊四边形的性质和判定，一般和三角形全等、解直角三角形、二次函数、动态问题综合应用的可能性比较大．矩形的折叠问题考点一 矩形的性质与判定矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.矩形的性质：1）矩形具有平行四边形的所有性质；2）矩形的四个角都是直角；3）对角线互相平分且相等；4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形.矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心.【推论】1）在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半.2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半. 矩形的判定：1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形；2）对角线相等的平行四边形是矩形；3）有三个角是直角的四边形是矩形.【解题思路】要证明一个四边形是矩形，首先要判断四边形是否为平行四边形，若是，则需要再证明对角线相等或有一个角是直角；若不易判断，则可通过证明有三个角是直角来直接证明．1. 对于矩形的定义要注意两点:a.是平行四边形;b.有一个角是直角.2. 定义说有一个角是直角的平行四边形才是矩形,不要错误地理解为有一个角是直角的四边形是矩形.题型01 利用矩形的性质求角度【例1】（2023·广东江门·统考二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知∠BAC=35°，则∠BOC的度数是（   ）A．65° B．70° C．75° D．80°zzstepcom【答案】B【分析】根据矩形的性质，证出OA=OB，得出∠OAB=∠ABO，再由三角形的外角的性质即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴OA=OB，∴∠OAB=∠ABO=35°，∴∠BOC=2×35°=70°；故选：B【点拨】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理；证出OA=OB是解题关键．【变式1-1】（2022·安徽安庆·安庆市第二中学校考三模）如图，O是矩形ABCD的对角线交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，∠AEO的度数为（    ）  A．10° B．15° C．25° D．30°【答案】D【分析】先根据矩形的性质和∠AOD=120°证明△BAO是等边三角形，△BAE是等腰直角三角形，推出OB=BE，再根据等腰对等角求出∠BEO，则∠AEO=∠BEO-∠BEA．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴ OA=OB，∠ABC=∠BAD=90°，∴ ∠BAO=∠ABO，∵ ∠AOD=∠BAO+∠ABO=120°，∴ ∠BAO=∠ABO=12×120°=60°，∴ △BAO是等边三角形．∴ AB=OB， ∵ AE平分∠BAD，∴ ∠BAE=12×90°=45°，∴ ∠BAE=∠BEA=45°，∴ AB=BE，∴ OB=BE，∴ ∠BOE=∠BEO，又∵ ∠OBE=∠ABC-∠ABO=30°，∴ ∠BEO=12×180°-30°=75°，∴ ∠AEO=∠BEO-∠BEA=75°-45°=30°．故选D．【点拨】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，解题的关键是证明△BAO是等边三角形．【变式1-2】（2023·山西大同·统考模拟预测）翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图1是翻花绳的一种图案，可以抽象成如右图，在矩形ABCD中，IJ∥KL,EF∥GH，∠1=∠2=30°，∠3的度数为（    ）．  A．30° B．45° C．50° D．60°【答案】D【分析】由矩形的性质可得∠D=∠C=90°，进而可得∠HGC=∠IJD=60°；再根据三角形内角和定理可得∠GMJ=60°；然后再证四边形NUMV是平行四边形，由平行四边形的性质可得∠VNU=∠GMJ=60°，最后由对顶角相等即可解答．【详解】解：如图：∵矩形ABCD中，∴∠D=∠C=90°,∵∠1=∠2=30°，∴∠HGC=∠IJD=60°,∴∠GMJ=60°,∵IJ∥KL,EF∥GH，∴四边形NUMV是平行四边形，∴∠VNU=∠GMJ=60°,∴∠3=∠VNU=60°．故选D．  【点拨】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定、性质定理是解答本题的关键．【变式1-3】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考三模）如图，矩形ABCD中，点E为CD边的中点，连接AE，过E作EF⊥AE交BC于点F，连接AF，若∠BAF=α，则∠EFC的度数为（    ）  A．α B．45°+α2 C．45°-α2 D．90°-α【答案】B【分析】延长AE，交BC的延长线于点G，根据矩形的性质可得，∠BAD=∠ADC=∠DCB=90°，AD∥BC，可证△ADE≌△GCE(ASA)，根据全等三角形的性质可得AE=GE，可知EF垂直平分AG，根据线段垂直平分线的性质可得AF=GF，进一步可得∠G=∠FAE，根据AD∥BC，可得∠DAE=∠G，可表示出∠DAE的度数，进一步可得∠FEC的度数，再根据∠FEC+∠EFC=90°，可得∠EFC的度数．【详解】解：延长AE，交BC的延长线于点G，如图所示：在矩形ABCD中，∠BAD=∠ADC=∠DCB=90°，AD∥BC，∴∠ECG=90°，∵E为CD边中点，∴DE=CE，在△ADE和△GCE中，∠D=∠ECGDE=CE∠AED=∠GEC，∴△ADE≌△GCE(ASA)，∴AE=GE，∵EF⊥AE，∴EF垂直平分AG，∴AF=GF，∴∠FAE=∠G，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠G，∴∠DAE=∠FAE，∵∠BAF=α，∴∠DAE=90°-α2，∵∠DAE+∠AED=90°，∠AED+∠FEC=90°，∴∠FEC=∠DAE=90°-α2，∵∠FEC+∠EFC=90°，∴∠EFC=90°-90°-α2=45°+α2，故选：B．【点拨】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键．【变式1-4】（2023·安徽合肥·校考三模）如图，a∥b，矩形ABCD的顶点B在直线a上，若∠1=34°，则∠2的度数为（    ）  A．34° B．46° C．56° D．66°【答案】C【分析】过点A作AE∥a，利用矩形的性质和平行线的判定与性质解答即可．【详解】解：过点A作AE∥a，如图，∴∠EAB=∠1=34°．∵a∥b，AE∥a，∴AE∥b，∴∠2=∠DAE，∵四边形ABCD为矩形，∴∠DAB=90°，∴∠DAE=90°-∠EAB=56°，∴∠2=56°．故选：C．  【点拨】本题主要考查了矩形的性质，平行线的性质，过点A作AE∥a是解题的关键．题型02 利用矩形的性质求线段长【例2】（2022·安徽·合肥38中校考模拟预测）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，EF经过点O且EF⊥BD，EF分别与AD，BC交于点E，F，若AB=2，BC=4，则AE等于（    ）  A．32 B．2 C．52 D．3【答案】A【分析】连接BE，由矩形的性质可得OB=OD，AD=BC=4，∠BAD=90°，由线段垂直平分线的性质可得BE=DE=AD-AE，由勾股定理可得(4-AE)2=22+AE2，求解即可．【详解】解：如图，连接BE，  ，∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD，AD=BC=4，∠BAD=90°，∵EF⊥BD，OB=OD，∴ EF是BD的垂直平分线，∴BE=DE=AD-AE=4-AE， 在Rt△ABE中，BE2=AB2+AE2，则(4-AE)2=22+AE2，解得：AE=32，故选：A．【点拨】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质、线段垂直平分线的性质，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解题的关键．【变式2-1】（2023·广西南宁·校考二模）在矩形ABCD中，AB=3，将AB绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到BE，连接DE，若DE的最小值为2，则BC的长为 ．  【答案】4【分析】根据三角形不等式得到BE+DE＞BD，当点B，点E，点D三点共线时，BE+DE取得最小值，得到BD=5，根据勾股定理计算BC即可．【详解】∵BE+DE＞BD，∴当点B，点E，点D三点共线时，BE+DE取得最小值，∵BE=AB=3,∴DE的最小值为2，∴BD=5，∵矩形ABCD，AB=3，∴AB=CD=3,∠BCD=90°∴BC=BD2-CD2=4，故答案为：4．【点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握两点之间线段最短，勾股定理是解题的关键．【变式2-2】（2023·海南儋州·海南华侨中学校联考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点E为对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE交BC于点F．连接AF交BE于点O，若AB=AE，则线段AF与BD的位置关系为 ；BF的长为 ．  【答案】 AF⊥BD 94【分析】先证Rt△ABF≌Rt△AEF可得∠BAF=∠EAF，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AF⊥BD，再由面积法可求AO=125的长，进而求得BO=95，再求得cos∠CBD=BCBD=BOBF=45即可解答．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC=∠BAD=90°．∵A。