关于某行列式地一般定义和计算方法.doc

word关于行列式的一般定义和计算方法n阶行列式的定义n阶行列式=〔1〕2 N 阶行列式是N! 项的代数和;3、N阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N个元素的乘积;特点:(1)(项数)它是3!项的代数和;(2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为: (3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312. 它们都是偶排列; 三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列.§行列式的性质性质1：行列式和它的转置行列式的值一样即=；行列式对行满足的性质对列也同样满足性质2　 互换行列式的两行〔列〕，行列式的值变号.如: D==ad-bc , =bc-ad= -D以r表第i行，C表第j列交换i,j两行记为r,交换i,j两列记作CC性质3：如果一个行列式的两行〔或两列〕完全一样，那么这个行列式的值等于零性质4：把一个行列式的某一行〔或某一列〕的所有元素同乘以某一个常数k的结果等于用这个常数k乘这个行列式〔第i行乘以k，记作r〕推论1：一个行列式的某一行〔或某一列〕的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。

推论2：如果一个行列式的某一行〔或某一列〕的所有元素都为零，那么行列式值等于零推论3：如果一个行列式的某二行〔或某二列〕的对应元素成比例，那么行列式值等于零性质5：如果行列式D的某一行〔或某一列〕的所有元素都可以表成两项的和，那么行列式D等于两个行列式D1和D2的和性质6：把行列式的某一行〔或某一列〕的元素乘同一个数后，加到另一行〔或另一列〕的对应元素上，行列式值不变推论如果行列式的某一行〔列〕的每个元素都是m个数之和(m>2)，如此此行列式等于m个行列式之和一个n阶行列式，如果它的元素满足：；试证：当n为奇数时，此行列式为零每一行〔或列〕提出一个〔-1〕，再转置得D=〔-1〕nD性质7 行列式的某一行〔列〕的各元素与另一行〔列〕的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零按行：按列：将性质7 与Laplace定理合并为如下结论： 〔1〕 和 〔2〕行列式的计算1．利用行列式定义直接计算例1 计算行列式解 Dn中不为零的项用一般形式表示为.该项列标排列的逆序数t〔n－1 n－2…1n〕等于，故2．利用行列式的性质计算例2 一个n阶行列式的元素满足如此称Dn为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由知，即故行列式Dn可表示为由行列式的性质当n为奇数时，得Dn=－Dn，因而得Dn = 0.3．化为三角形行列式假如能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。

因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法例3 计算n阶行列式 解：这个行列式的特点是每行〔列〕元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n列都加到第1列上，行列式不变，得4．降阶法降阶法是按某一行〔或一列〕展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开例4 计算n阶行列式解 将Dn按第1行展开.5．逆推公式法逆推公式法：对n阶行列式Dn找出Dn与Dn－1或Dn与Dn－1, Dn－2之间的一种关系——称为逆推公式〔其中Dn, Dn－1, Dn－2等结构一样〕，再由递推公式求出Dn的方法称为递推公式法例5 证明 证明：将Dn按第1列展开得 由此得递推公式：，利用此递推公式可得6．利用X德蒙行列式例6 计算行列式解 把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n－1行的－1倍加到第n行，便得X德蒙行列式7．加边法〔升阶法〕加边法〔又称升阶法〕是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法例7 计算n阶行列式 解： 〔箭形行列式〕8．数学归纳法例8 计算n阶行列式解：用数学归纳法. 当n = 2时假设n = k时，有 如此当n = k+1时，把Dk+1按第一列展开，得由此，对任意的正整数n，有9．拆开法把某一行〔或列〕的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以利计算。

例9 计算行列式 解：……上面介绍了计算n阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算1);证明.关于行列式的消项〔其中C代表列··R代表行〕(2)=(a-b)3;证明=(a-b)3(3)=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d);证明〔c2,c3,c4减数字去第一列的〕 =(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d).(4)=xn+a1xn-1+×××+an-1x+an.证明 用数学归纳法证明.当n=2时,,命题成立. 假设对于(n-1)阶行列式命题成立,即Dn-1=xn-1+a1xn-2+×××+an-2x+an-1,如此Dn按第一列展开, 有=xDn-1+an=xn+a1xn-1+×××+an-1x+an. 因此,对于n阶行列式命题成立.6.设n阶行列式D=det(aij), 把D上下翻转、或逆时针旋转90°、或依副对角线翻转,依次得,,,证明,D3=D. 证明　因为D=det(aij),所以. 同理可证.7.计算如下各行列式(Dk为k阶行列式):(1), 其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0; 解(按第n行展开) =an-an-2=an-2(a2-1).(2);解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行,得,再将各列都加到第一列上,得=[x+(n-1)a](x-a)n-1.(3); 解 根据第6题结果, 有此行列式为X德蒙德行列式.例3 练习3：证明:.证明：左边从最后一行开始，每行减去上一行，得到： 1 2 3 ... n-1 n 1 1 1 ... 1 1-n ... ... ... ... 1 1-n 1 ... 1 1 然后做列变换，从各列中减去第一列，得到： 1 1 2 ... n-2 n-1 1 0 0 ... 0 -n ... ... ... ... 1 -n 0 ... 0 0 再把各列乘以(1/n)，加回到第一列，得到： (n+1)/2 1 2 ... n-2 n-1 0 0 0 ... 0 -n ... ... ... ... 0 -n 0 ... 0 0 最后沿第一列展开得到结果是(1/2)*(n+1)*n^{n-1}*(-1)^{(n-1)(n-2)/2} / 。