2024年中考数学复习讲义第21讲相似三角形及其应用.docx

第21讲 相似三角形及其应用目 录一、考情分析二、知识建构考点一 相似三角形的性质与判定题型01 添加条件使两个三角形相似题型02 证明两个三角形相似题型03 确定相似三角形的对数题型04 在网格中判断相似三角形题型05 利用相似的性质求解题型06 利用相似的性质求点的坐标题型07 在网格中画与已知三角形相似的三角形题型08 证明三角形的对应线段成比例题型09 利用相似三角形的性质求解决折叠问题题型10 利用相似三角形的性质判断函数图象题型11 尺规作图与相似三角形综合应用题型12 三角板与相似三角形综合应用题型13 平移与相似三角形综合应用题型14 利用相似三角形的性质与判定求线段比值题型15 利用相似三角形的性质与判定求最值题型16 利用相似三角形的性质与判定解决动点问题题型17 利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题考点二 相似三角形的常见模型题型01 A字模型题型02 8字模型题型03 一线三垂直模型题型04 三角形内接矩形模型题型05 旋转相似模型考点三 相似三角形的应用题型01 测量树高题型02 测量旗杆高度题型03 测量楼高问题题型04 测量河宽问题题型05 杠杆问题题型06 实验问题题型07 九章算经问题题型08 三角形内接矩形问题考点要求新课标要求命题预测相似三角形的性质与判定Ø 了解相似三角形的判定定理.Ø 了解相似三角形判定定理的证明.Ø 了解相似三角形的性质定理. 相似三角形是中考数学中非常重要的一个考点，也是难度最大的一个考点.它不仅可以作为简单考点单独考察，还经常作为压轴题的重要解题方法，和其他如函数、特殊四边形、圆等问题一起考察.而且在很多压轴题中，经常通过相似三角形的判定以及性质来得到角相等或者边长间的关系，也是动点问题中得到函数关系式的重要手段.需要考生在复习的时候给予加倍的重视!相似三角形的常见模型Ø相似三角形的应用Ø 会利用图形的相似解决一些简单的实际问题.考点一 相似三角形的性质与判定相似三角形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似用符号“∽”，读作“相似于”.相似三角形的判定方法：1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2）两个三角形相似的判定定理：①三边成比例的两个三角形相似；②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；③两角分别相等的两个三角形相似．④斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似.相似三角形的性质：1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.3）相似三角形周长的比等于相似比.4）相似三角形面积比等于相似比的平方.判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求：1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形；2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例；3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例；1. 判断网格中三角形是否相似，先运用勾股定理计算出三边的长度，再看对应边的比例是否相等.4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或两边成比例．题型01 添加条件使两个三角形相似【例1】（2023·河北邢台·统考一模）如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠BAC，则添加下列条件后，不能判定△ADC和△BAC相似的是（    ）A．CA平分∠BCD B．∠DAC=∠ABC C．ACBC=CDAC D．ADAB=CDAC【答案】C【分析】可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等或两组对角相等来证明两个三角形相似．【详解】解：A. 由CA平分∠BCD可得∠BCA=∠ACD，结合∠ADC=∠BAC，可以证明△ABC∽△DAC，故此选项不符合题意；B.由∠DAC=∠ABC，结合∠ADC=∠BAC，可以证明△ABC∽△DAC，故此选项不符合题意；C.由ACBC=CDAC，结合∠ADC=∠BAC，不可以证明△ABC∽△DAC，故此选项符合题意；D.由ADAB=CDAC，结合∠ADC=∠BAC，可以证明△ABC∽△DAC，故此选项不符合题意；故选C．【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键．【变式1-1】（2023·黑龙江齐齐哈尔·校考三模）如图，要使△ACD∼△ABC，则需要添加的条件是 （填一个即可）  【答案】∠ACD=∠B（答案不唯一）【分析】由图可得△ABD与△ACB有一个公共角∠C，再根据相似三角形的判定方法即可得到结果.【详解】∵∠A=∠A，∠ACD=∠B∴△ACD∼△ABC.故填：∠ACD=∠B【点拨】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握有两组角对应相等的两个三角形相似.【变式1-2】（2023·江西赣州·统考一模）如图，已知ABAC=ACAD=k，请再添加一个条件，使△ABC∽△ACD，你添加的条件是 （写出一个即可）．【答案】BCCD=k或∠BAC=∠CAD【分析】根据相似三角形的判定定理即可进行解答．【详解】解：添加BCCD=k，∵ABAC=ACAD=BCCD=k，∴△ABC∽△ACD；添加∠BAC=∠CAD，∵ABAC=ACAD=k，∠BAC=∠CAD，∴△ABC∽△ACD；故答案为：BCCD=k或∠BAC=∠CAD．【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定定理，解题的关键是掌握：三边分别成比例的两个三角形相似；两边成比例，夹角相等的两个三角形相似；有两个角相等的两个三角形相似．题型02 证明两个三角形相似【例2】（2022·广东茂名·统考二模）如图所示，点A、D、C、E在同一直线上，满足∠ABC=90°，BD⊥BE，且CB=CE．求证：△ABD∽△AEB．  【答案】见解析【分析】先根据同角的余角相等，得∠ABD=∠CBE，再根据“等边对等角”可得∠ABD=∠E，然后根据“两角相等的两个三角形相似”得出答案.【详解】证明：∵∠ABC=90°，∠DBE=90°，∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC，即∠ABD=∠CBE. ∵BC=CE，∴∠CBE=∠E， ∴∠ABD=∠E..又∵∠A=∠A，∴△ABD∽△AEB ．【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定，灵活选择判定定理是解题的关键．即两角相等的两个三角形相似.【变式2-1】（2023·陕西西安·校考二模）如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B．请用尺规作图法，在BC边上求作一点M，使△CMA∽△CAB．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【分析】作∠BAC的平分线，交BC边于点M，此时∠CMA=∠CAB．【详解】解：点M即为所作，∵AM平分∠BAC，∴∠BAM=∠CAM，∵∠BAC=2∠B，∴∠B=∠CAM，∵∠MCA=∠ACB，∴△CMA~△CAB．【点拨】本题考查了作角平分线，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．【变式2-2】（2023·浙江杭州·统考二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC恰好是∠ABD的角平分线.  (1)求证：△APC∽△DPB；(2)若AP＝BP＝1，AD＝CP，求DP的长.【答案】(1)证明见解析；(2)x=5-12【分析】（1）由等腰三角形得∠C=∠ABC，由角平分线得∠ABC=∠CBD，进而可得∠C=∠CBD ，证得AC∥BD，结论得证； （2）由△APC∽△DPB得APDP=CPBP，构建方程求解．【详解】（1）证明：∵AB=AC∴∠C=∠ABC∵BC平分∠ABD∴∠ABC=∠CBD∴∠C=∠CBD ∴AC∥BD∴∠C=∠DBP,∠CAP=∠D∴△APC∽△DPB（2）设PD=x ∵PC=AD∴PC=1+x∵△APC∽△DPB∴APDP=CPBP∴1x=x+11∴x=5-12  【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练相关判定方法是解题的关键．【变式2-3】（2023·浙江杭州·杭州育才中学校考一模）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F段BC上，CE=BF，点Q段AB上，且AE2=AQ⋅AB．求证：(1)∠CAE=∠BAF；(2)△ACE∽△AFQ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用SAS证明△ACE≌△ABF即可；（2）根据△ACE≌△ABF得出AE=AF，∠CAE=∠BAF，根据AE²=AQ·AB，AC=AB，得出AEAQ=ACAF，利用相似三角形的判定得出结论即可．【详解】（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ACE和△ABF中，AC=AB∠C=∠BCE=BF，∴△ACE≌△ABFSAS，∴∠CAE=∠BAF；（2）证明：∵△ACE≌△ABF，∴AE=AF，∠CAE=∠BAF，∵AE²=AQ·AB，AC=AB，∴AEAQ=ABAE，即AEAQ=ACAF，∴△ACE∽△AFQ．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．题型03 确定相似三角形的对数【例3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）如图，在△ABC中，∠ABC=∠C=∠BDC=∠AED=72∘.则图中相似三角形共有（　　）  A．2对 B．3对 C．4对 D．5对【答案】C【分析】首先算出三角形中角的度数，即可得到答案．【详解】解：∵∠ABC=∠C=∠BDC=∠AED=72∘，∴∠A=180°-∠ABC-∠C=180°-72°-72°=36°，∴∠ADE=180°-∠A-∠AED=180°-36°-72°=72°，∴∠DBC=180°-∠C-∠BDC=180°-72°-72°=36°，∵∠AED=∠ABC，∴ED//BC，∴∠EDB=∠DBC=36°，∴∠BED=180-∠EBD-∠EDB=180-36°-36°=108°，∴∠DBC=180°-∠C-∠BDC=180°-72°-72°=36°，∠ADB=∠ADE+∠EDB=72°+36°=108°，∵∠AED=∠ABD，∠ADE=∠ACB，∴△AED∼△ABC，∵∠AED=∠C，∠ADE=∠BDC，∴△AED∼△BCD，∵∠ABD=∠C，∠ACB=∠BDC，∴△BCD∼△ABC，∵∠A=∠EBD，∠ADB=∠BED，∴△EBD∼△DAB．故相似的三角形对数为4对：故选：C．【点拨】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．【变式3-1】（2022·广东江门·校考一模）如图，BD和CE是△ABC的高，在不添加其它字母情况下，则图中相似三角形共有（    ）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对【答案】A【分析】利用相似三角形的判定方法可判定△ABD∽△ACE， △ADE∽△ABC，即可求解．【详解】解：∵BD和CE是△ABC的高，∴∠AEC=∠ADB=90°，∵∠A=∠A，∴△ABD∽△ACE，∵∠BEC=∠BDC=90°，∴点B，点C，点D，点E四点共圆，∴∠ACB+∠。