【精品课件】材料力学 第十二章 能量法北航精品课件.ppt
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材料力学（I II） 北航 精品课件 北京航空航天大学单辉祖教授编著的《材料力学(I)》、《材料力学(Ⅱ)》是教育部“高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划”的研究成果，是面向21世纪课程教材和教育部工科力学“九五”规划教材，也是普通高等教育“九五”国家级重点教材 该教材1999年初版，获2000年度中国高校科学技术奖（教材类）二等奖，教学改革成果获2001年度国家级教学成果二等奖、北京市教学成果一等奖 ；2004年修订出版第2版，修订版已列入“普通高等学校‘十五’国家教材规划”、高教社“高等教育百门精品教材”以材料力学I、II为主教材的材料力学立体化教学包已作为高等教育出版社的“名品”向全国推广 1Page n本教材在妥善处理传统内容的继承和现代科技成果的引进以及知识的传授和能力、素质的培养方面，进行了积极探索，是一套面向21世纪的具有新内容、新体系，论述严谨，重视基础与工程应用(包括计算机的应用)，重视能力培养的新教材教材体现了模块式的特点，通过对模块的选择与组合，可同时满足不同层次工科院校的不同专业对基础力学课程的教学要求2Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）第第 12 12 章章 能量法（一）能量法（一） §12-1 §12-1 §12-1 §12-1 外力功与应变能的一般表达式外力功与应变能的一般表达式外力功与应变能的一般表达式外力功与应变能的一般表达式§12-2 §12-2 §12-2 §12-2 互等定理互等定理互等定理互等定理§12-3 §12-3 §12-3 §12-3 余能与卡氏第二定理余能与卡氏第二定理余能与卡氏第二定理余能与卡氏第二定理§12-4 §12-4 §12-4 §12-4 变形体虚功原理变形体虚功原理变形体虚功原理变形体虚功原理§12-5 §12-5 §12-5 §12-5 单位载荷法单位载荷法单位载荷法单位载荷法3Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一） 引引言言言言求节点求节点A的铅垂位移的铅垂位移 的两条研究途径的两条研究途径方法一方法一方法二方法二（压）（压）（拉）（拉）4Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）问题：问题：（（1 1）求节点）求节点A的位移，哪种方法优越？的位移，哪种方法优越？（（3 3）为什么要研究能量法？）为什么要研究能量法？（（2 2）如何求）如何求BCBC杆的转角？杆的转角？5Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）§12-1 §12-1 §12-1 §12-1 外力功与应变能的一般表达式外力功与应变能的一般表达式外力功与应变能的一般表达式外力功与应变能的一般表达式一、计算外力功的基本公式一、计算外力功的基本公式l 非线性弹簧非线性弹簧l 刚体刚体l 线性弹簧线性弹簧k：弹簧常数：弹簧常数为什么线弹性体外力功表达式有常系数为什么线弹性体外力功表达式有常系数1/2？？6Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）l 一般弹性体一般弹性体相应位移相应位移 d d : 0 l 线性弹性体线性弹性体载荷载荷 f : 0 F思考：常数思考：常数k怎样确定？怎样确定？fdf d F 对比：弹性体与弹簧对比：弹性体与弹簧7Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一） 广义力与广义位移广义力与广义位移相应位移：相应位移：载荷载荷F作用点沿载荷作用方向的位移分量作用点沿载荷作用方向的位移分量 。
外力功：外力功： 载荷在相应位移上载荷在相应位移上所作之功所作之功广义力：广义力： 力，力偶，一对大力，力偶，一对大小相等、方向相反的力或转向小相等、方向相反的力或转向相反的力偶等相反的力偶等广义位移广义位移：： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等8Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）二、二、克拉比隆定理：克拉比隆定理：克拉比隆定理：克拉比隆定理：线弹性体上作用有多个广义力，比例加载，根据叠线弹性体上作用有多个广义力，比例加载，根据叠线弹性体上作用有多个广义力，比例加载，根据叠线弹性体上作用有多个广义力，比例加载，根据叠加原理，各广义力与相应广义位移成正比加原理，各广义力与相应广义位移成正比加原理，各广义力与相应广义位移成正比加原理，各广义力与相应广义位移成正比Fi－－广义载荷广义载荷D D i－－相应广义位移相应广义位移外力功：外力功：由于外力功与加载次序无关，由于外力功与加载次序无关，本定理也适用于非比例加载本定理也适用于非比例加载但只适用于线弹性体但只适用于线弹性体克克拉拉比比隆隆定定理理是是否否说说明明可可由由叠加法计算多个力的功？叠加法计算多个力的功？不能，因为不能，因为不能，因为不能，因为9Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）例例：：试试确确定定图图a均均布布载载荷荷q 对对应应的的广广义义位位移移，，图图b铰铰链链两两侧侧横截面相对转角横截面相对转角 对应的广义力。
对应的广义力ABC(b)(a)AB相应广义位移：面积相应广义位移：面积对应广义力：一对力偶对应广义力：一对力偶10Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）例：例：已知已知 ，求，求 与与 关系•几何非线性问题与外力功计算几何非线性问题与外力功计算载荷载荷-位移关系位移关系外力功计算外力功计算构成线性弹性结构的条件构成线性弹性结构的条件 材料符合胡克定律（物理线性）材料符合胡克定律（物理线性） 小变形小变形 可按原始几何关系分析内力与变形（几何线性）可按原始几何关系分析内力与变形（几何线性）11Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）作业作业12-312Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）三、三、应变能的一般表达式应变能的一般表达式应变能的一般表达式应变能的一般表达式1.1.1.1.单位体积内应变能－单位体积内应变能－单位体积内应变能－单位体积内应变能－应变能密度应变能密度拉压应变能密度拉压应变能密度•纯剪应变能密度纯剪应变能密度13Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）2. 2. 基本变形的基本变形的应变能应变能应变能应变能•拉压拉压FN(x)dx对于桁架对于桁架应变能密度应变能密度拉压杆应变能拉压杆应变能14Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）• 扭转扭转T(x)dxd 应变能密度应变能密度圆轴扭转应变能圆轴扭转应变能非圆截面轴扭转应变能非圆截面轴扭转应变能15Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）• 弯曲弯曲M(x)dxd 应变能密度应变能密度拉压杆应变能拉压杆应变能非对称弯曲沿两主轴分解计算应变能非对称弯曲沿两主轴分解计算应变能yCzF注：忽略了弯曲剪力的应变能注：忽略了弯曲剪力的应变能16Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）T(x)dxd M(x)dxd 利用功能原理计算应变能利用功能原理计算应变能FN(x)dx•拉压拉压•扭转扭转•弯曲弯曲17Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）3. 3. 组合变形的组合变形的应变能应变能应变能应变能T(x)dxd M(x)dxd FN(x)dxFN(x)M(x)Fs(x)T(x)dx思考：思考：组合变形的总应变能能否由各基组合变形的总应变能能否由各基本变形的应变能叠加，为什么？本变形的应变能叠加，为什么？答：答：能够。
因为各基本变形的应变能不能够因为各基本变形的应变能不耦合换句话说，一种基本变形的对应耦合换句话说，一种基本变形的对应内力在其他基本变形上作的功为零内力在其他基本变形上作的功为零18Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）组合变形的应变能公式组合变形的应变能公式组合变形的应变能公式组合变形的应变能公式FN(x)M(x)Fs(x)T(x)dx• 圆截面杆或杆系圆截面杆或杆系• 非圆截面杆或杆系（非圆截面杆或杆系（y , z轴－主形心轴）轴－主形心轴）19Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）解解: :（（1 1）计算梁的应变能）计算梁的应变能( (x轴从轴从A向左向左) ) 多个外力引起的应变能不能利用叠加原理进行计算多个外力引起的应变能不能利用叠加原理进行计算例：例：悬臂梁承受集中力与集中力偶作用，计算梁的应变悬臂梁承受集中力与集中力偶作用，计算梁的应变能与外力所做之总功弯曲刚度为能与外力所做之总功弯曲刚度为EIFMAx20Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）解解: :(2) (2) 计算外力所作之总功计算外力所作之总功结论：梁的应变能等于外力所做总功结论：梁的应变能等于外力所做总功FMA• 挠度挠度• 转角转角• 外力功外力功21Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）BlCx2x1M0FAl例例: : 试试计算图示水平面内直角刚架的应变能。
刚架计算图示水平面内直角刚架的应变能刚架截面为圆形，直径为截面为圆形，直径为 d，材料弹性模量和剪切模量分，材料弹性模量和剪切模量分别为别为E和和G解解：：对于图示刚架，弯矩和扭矩对于图示刚架，弯矩和扭矩方程分别为：方程分别为：AB段段：：BC段段：：分分析析：：总总应应变变能能等等于于各各段段、、各各基基本本变变形的应变能叠加形的应变能叠加为什么？为什么？22Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）BlCx2x1M0FAl23Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）•仅作用力仅作用力F，刚架应变能为，刚架应变能为（２）（２）•如果仅作用力偶 ，刚架应变能为如果仅作用力偶 ，刚架应变能为（３）（３）（（1））检验：检验：（（1））（（2））•单独计算各载荷对应的应变能单独计算各载荷对应的应变能24Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）例例 12-3 试计算弹簧的轴向变形试计算弹簧的轴向变形l l解：解：影响弹簧变形的影响弹簧变形的主要内力是扭矩主要内力是扭矩弹簧丝长弹簧丝长n——圈数圈数25Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）作业作业12-1b, 2, 426Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）§12-2 §12-2 §12-2 §12-2 互等定理互等定理互等定理互等定理 同一弹性体的两种受力状态同一弹性体的两种受力状态引起位移的载荷引起位移的载荷发生位移的点发生位移的点A AD DF F2 22 2 12 221 1A AD DF F1 12 2 11 211 127Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）先加先加 F1，后加，后加 F2：：先加先加 F2，后加，后加 F1：： 线弹性体的两种加载次序与功线弹性体的两种加载次序与功总功与加载次序无关总功与加载次序无关 W1=W2A AD DF2 22 2 22 21F1 1 111 1A AD DF F2 22 2 22 11F1 1 121 1两表达式的交叉项相等两表达式的交叉项相等 28Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）A AD DF2 22 2 22 21F1 1 111 1A AD DF F2 22 2 22 11F1 1 121 1对于线性弹性体，对于线性弹性体，F1在在F2引起的位移引起的位移D D12上所作的功，上所作的功，等于等于F2 在在F1引起的位移引起的位移 D D21上所作的功上所作的功功的互等定理（简单情形）功的互等定理（简单情形）29Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）•功的互等定理（简单情形）功的互等定理（简单情形）•功的互等定理（一般情形）功的互等定理（一般情形）对于线性弹性体，第一组外力对于线性弹性体，第一组外力 F1 (i) (i=1,2,…,m)在第二组外力引起的位在第二组外力引起的位移移 D D12(i) 上所作的功，等于第二组上所作的功，等于第二组外力外力 F2(j)(j=1,2,…,n)在第一组外力在第一组外力引起的位移引起的位移 D D21(j)上所作的功。
上所作的功A AD DF2M2q2A AD DF1M1q1其中力和位移均指广义其中力和位移均指广义力和广义位移力和广义位移30Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）若若F1=F2位移互等定理位移互等定理A AD DF F2 22 2 12 221 1A AD DF F1 12 2 11 211 1当当F1与与F2的数值相等时，的数值相等时， F2在点在点1沿沿F1方位引起的位方位引起的位移移D D12，等于，等于F1在点在点2沿沿F2方位引起的位移方位引起的位移D D2131Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）例：例： 测量线弹性梁（图测量线弹性梁（图a, 等等截面或任意形状变截面）截面或任意形状变截面）A、、B两点挠度，但仅端点两点挠度，但仅端点C适合装千适合装千分表解：解： 设图设图a在在A点的挠度为点的挠度为如图如图b加载和装千分表，加载和装千分表，测得测得C点的挠度为点的挠度为则根据位移互等定理则根据位移互等定理32Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）由功的互等定理由功的互等定理例：例： 如图如图a支座支座A因装配应力破因装配应力破坏，坏，A、、B点分别下降点分别下降 和和 , 在新的无初应力位置修复（图在新的无初应力位置修复（图b），求），求B点作用点作用F 时支座时支座A的约的约束反力。
束反力 解：解： 在破坏前和破坏又修复在破坏前和破坏又修复后，结构受力状态如图后，结构受力状态如图a,b (b)(a)33Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）例：例：（（P63，题，题12－－5）等直杆宽）等直杆宽b，拉压刚度，拉压刚度EA，泊松，泊松比比 求求解解: 设第二种受力状态为设第二种受力状态为 轴向拉力轴向拉力F对于任意截面形状的等直杆，解答是否成立对于任意截面形状的等直杆，解答是否成立? ?(1)(2)34Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）解：解： 考虑薄板受均布载荷考虑薄板受均布载荷q由功的互等定理由功的互等定理FFABd例：例： 已知已知E，， ，，h ，，求均质薄板面积改变量求均质薄板面积改变量D DAq35Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）思考题思考题1 板内开任意一孔，板内开任意一孔， 是否变化？是否变化？思考题思考题2 内孔受一对图示方内孔受一对图示方向的力，向的力， 是正还是负？是正还是负？36Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）§12-3 §12-3 §12-3 §12-3 余能与卡氏第二定理余能与卡氏第二定理余能与卡氏第二定理余能与卡氏第二定理 一、一、余功与余能余功与余能余功与余能余功与余能外力余功外力余功外力余功外力余功弹性体的余能弹性体的余能弹性体的余能弹性体的余能V Vc c数值上等于余功：数值上等于余功：数值上等于余功：数值上等于余功：外力功外力功外力功外力功37Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）余能计算余能计算余能计算余能计算 单向应力状态单向应力状态单向应力状态单向应力状态下的余能密度下的余能密度下的余能密度下的余能密度拉压杆与梁的余能拉压杆与梁的余能拉压杆与梁的余能拉压杆与梁的余能对比应变能对比应变能对比应变能对比应变能38Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）二、克罗第二、克罗第——恩格塞定理与卡氏第二定理恩格塞定理与卡氏第二定理问题：问题：弹性体受广义力弹性体受广义力Fk（（k=1,…,n)的作用，求相应的作用，求相应位移位移 k。
A AB B 1Fn 2F1 1F2 2Fk k nd dFkd d k解：解：使使Fk增加微量增加微量d dFk，余功增量，余功增量又又克罗第－恩格塞定理克罗第－恩格塞定理:弹性体的余能对载荷弹性体的余能对载荷 Fk 的偏导数，等于该载的偏导数，等于该载荷的相应位移荷的相应位移 D Dk39Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）对于线性弹性体，应变能数值对于线性弹性体，应变能数值上等于余能上等于余能克罗第－恩格塞定理克罗第－恩格塞定理: :卡氏定理：卡氏定理：线性弹性体的应变能，对线性弹性体的应变能，对载荷载荷 Fk 的偏导数，等于的偏导数，等于该载荷的相应位移该载荷的相应位移 D Dk注意：注意：对于线弹性体，应对于线弹性体，应变能数值上等于余能，但变能数值上等于余能，但应变能与余能是两个完全应变能与余能是两个完全不同的物理量不同的物理量40Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）对于拉压杆对于拉压杆圆截面杆组合变形：圆截面杆组合变形：非圆截面杆组合变形：非圆截面杆组合变形：思考：思考：为什么对于组合变形可以采用叠加法？为什么对于组合变形可以采用叠加法？•由卡氏定理由卡氏定理计算各基本和组合变形的位移计算各基本和组合变形的位移41Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一） 讨论两个定理的适用范围：讨论两个定理的适用范围：克罗第克罗第——恩格塞定理：恩格塞定理：卡氏第二定理：卡氏第二定理：一般弹性体一般弹性体线弹性体线弹性体 对于非线性材料对于非线性材料( (应力应力——应变关系非线性应变关系非线性) )，， 需用需用克罗第克罗第- -恩格塞定理。
恩格塞定理42Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）解：解：例：例： 用卡氏定理求用卡氏定理求A A点挠度点挠度 转角转角 梁轴线变形梁轴线变形 前后所扫过的面积前后所扫过的面积 （（1 1）计算）计算A A点的挠度点的挠度 wA梁内弯矩梁内弯矩由卡氏定理，由卡氏定理，A A点挠度点挠度43Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）解：解：例：例： 用卡氏定理求用卡氏定理求A A端挠度端挠度 转角转角 梁轴线变形梁轴线变形 前后所扫过的面积前后所扫过的面积 （（2 2）计算）计算A A点的转角点的转角 A，，梁内弯矩梁内弯矩由卡氏定理，由卡氏定理，A A端转角端转角思考：所求广义位移没有思考：所求广义位移没有对应广义力怎么办？对应广义力怎么办？采用附加载荷法，在采用附加载荷法，在A点加一附加力偶点加一附加力偶M0M0负号表示什负号表示什么意义？么意义？44Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）解：解：计算梁轴线变形前后所扫过计算梁轴线变形前后所扫过的面积的面积W W，，梁内弯矩梁内弯矩思考：思考： W W所对应的广义力？所对应的广义力？采用附加载荷法，在全梁加一附加均布载荷采用附加载荷法，在全梁加一附加均布载荷q0q0轴线扫过面积轴线扫过面积课后题：试由课后题：试由对照对照45Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）例：例：用卡氏定理求用卡氏定理求A A点挠度，点挠度， EI为弯曲刚度。
为弯曲刚度解：解：设设FA=2F, FB=F(a)思考：思考：(b)ABAB段：段： BCBC段：段： 46Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）等于等于A点挠度的两倍与点挠度的两倍与B点挠度之和点挠度之和讨论：讨论： 的几何意义的几何意义? ?(a)(b)对于刚架（对于刚架（b)b)注意注意 A A和和 B B指沿力线的距离指沿力线的距离47Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）MeMe例：例：计算图示圆拱小曲率杆铰链计算图示圆拱小曲率杆铰链A A两侧的相对转角 两侧的相对转角 FRABC(a)分析：分析： 先确定广义位移先确定广义位移 所所对应的广义力（附加力法）对应的广义力（附加力法）: :作用于铰链两侧一对力偶作用于铰链两侧一对力偶Me常见错误：常见错误：不会计算约束反力，不会计算约束反力，甚至错误当作静不定结构甚至错误当作静不定结构取整体为研究对象，由对取整体为研究对象，由对称性或由对称性或由对B B、、C C的力矩平的力矩平衡，确定衡，确定C C、、B B铅垂反力为铅垂反力为F/2F/2，然后由，然后由ACAC段平衡确段平衡确定全部约束反力。
定全部约束反力MeC(b)A48Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）解：解： ACAC段弯矩段弯矩MeMeFRABC(a)MeC(b)A49Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一） 由卡氏定理：由卡氏定理：MeMeFRABC(a)MeC(b)A50Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）由由A A、、B B 两节点平衡两节点平衡例：例： 各杆各杆EAEA，求，求A A点水平位移及点水平位移及ABAB转角解：解： （（1 1）计算）计算A A点水平位移点水平位移由整体平衡由整体平衡51Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）问题问题 若由卡氏定理计算若由卡氏定理计算 ，附加载荷怎么施加？，附加载荷怎么施加？（（2 2）计算）计算ABAB转角转角————由几何关系由几何关系Me/lMe/l如图，作用于如图，作用于1 1杆的杆的Me向节点向节点A、、B分解分解52Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）在在A A、、B B 两点加附加力两点加附加力Me/lMe/l（（3 3）计算）计算ABAB转角转角————由卡氏定理由卡氏定理53Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）例：例：材料的应力材料的应力—应变关系应变关系。
压缩时，方程中的压缩时，方程中的 和和 均取绝对值求均取绝对值求A端的挠度端的挠度FlA Axz zyhb分析：分析：非线性弹性问题，需非线性弹性问题，需用克罗第用克罗第—恩格塞定理，其恩格塞定理，其中关键是余能的计算中关键是余能的计算解：解：1.应力分析应力分析根据平面假设根据平面假设54Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）FlA Axz zyhb（（））2. 余能计算余能计算余能密度余能密度梁的总余能梁的总余能3. 由克罗第由克罗第—恩格塞定理恩格塞定理计算挠度计算挠度55Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）作业作业12-6, 8, 9,1256Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）§§§§12-4 12-4 12-4 12-4 变形体虚功原理变形体虚功原理变形体虚功原理变形体虚功原理一、一、 回顾刚体虚功原理回顾刚体虚功原理处于平衡状态的任意刚体，作用于其上的力系在处于平衡状态的任意刚体，作用于其上的力系在任意虚位移或可能位移上所作之总虚功等于零任意虚位移或可能位移上所作之总虚功等于零57Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）1. 几个概念几个概念Plq( (x) )TF Fq( (x) )FS SFN NMT二、二、 变形体的虚功原理变形体的虚功原理（（1）可能内力）可能内力：与外力保与外力保持平衡的内力称为静力可能持平衡的内力称为静力可能内力或简称为可能内力。
内力或简称为可能内力 杆的可能内力用杆的可能内力用FN ,T, FS与与M表示58Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）•满足变形连续条件与位移满足变形连续条件与位移边界条件的任意微小位移，边界条件的任意微小位移，称为几何可能位移或虚位移，称为几何可能位移或虚位移，相应之变形称为可能变形或相应之变形称为可能变形或虚变形2). 虚位移与虚变形虚位移与虚变形•杆微段的虚变形用杆微段的虚变形用d *,df f * *与与d * *表示59Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）（（3）） 内虚功与外虚功内虚功与外虚功 •内虚功内虚功——作用在所有微段上的可能内作用在所有微段上的可能内力在虚变形上作之总虚功力在虚变形上作之总虚功•外虚功外力在可能位移上所作之总虚功外虚功外力在可能位移上所作之总虚功60Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）2. 变形体虚功原理变形体虚功原理外力在虚位移上所作外虚功外力在虚位移上所作外虚功 We，等于可能内力，等于可能内力在虚变形上所作内虚功在虚变形上所作内虚功 Wi，即，即 We ＝＝ Wi61Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一） 变形体虚功原理适用于线性弹性体，非线变形体虚功原理适用于线性弹性体，非线性弹性体与非弹性体。
性弹性体与非弹性体3. 应用变形体虚功原理的应用条件与应用范围：应用变形体虚功原理的应用条件与应用范围： 所研究的力系（外力与内力）必须满足平衡所研究的力系（外力与内力）必须满足平衡条件与静力边界条件条件与静力边界条件 所选择的位移应是微小的，且满足变形连所选择的位移应是微小的，且满足变形连续条件与位移边界条件续条件与位移边界条件62Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）4. 验证虚功原理验证虚功原理q(x)lA Axdx外力虚功：外力虚功：内力虚功：内力虚功：虚位移虚位移以图示梁为例验证：以图示梁为例验证：We=Wi证明：证明：证明：证明：可能内力满足：可能内力满足：（平衡条件）（平衡条件）（静力边界条件）（静力边界条件）虚位移满足：虚位移满足：（（变形连续条件）变形连续条件）（位移边界条件）（位移边界条件）63Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）q(x)lA Axdx虚位移虚位移虚位移虚位移证明：证明：证明：证明：可能内力满足：可能内力满足：虚位移满足：虚位移满足：外虚功：外虚功：由分部积分由分部积分即：即：即：即：WWe e=W=Wi i，，，，证毕。
证毕64Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）§§12-5 12-5 单位载荷法单位载荷法单位载荷法：单位载荷法：建立在虚功原理基础上建立在虚功原理基础上的计算位移的一般方法的计算位移的一般方法该方法的要点：该方法的要点：1. 由实际载荷引起的实际位移由实际载荷引起的实际位移当作虚当作虚位移位移，实际变形，实际变形当作虚变形当作虚变形右上图，虚线表示的实际位移曲线右上图，虚线表示的实际位移曲线当作虚位移曲线；微段的轴向变形当作虚位移曲线；微段的轴向变形d dd d，扭转角，扭转角d df f, , 相对转角相对转角d dq qy y,d,dq qz z (y,z(y,z为截面主形心轴为截面主形心轴) )当作虚变形当作虚变形2. 虚拟单位载荷（右下图红箭头）虚拟单位载荷（右下图红箭头）作作为实际外载，为实际外载，所引起的内力所引起的内力作为可能作为可能内力：内力：65Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）3. 单位载荷法的基本公式单位载荷法的基本公式66Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）线位移，加单位力线位移，加单位力角位移，加单位力偶角位移，加单位力偶相对线位移，加一对相等相反单位力相对线位移，加一对相等相反单位力相对角位移，加一对相等相反单位力偶相对角位移，加一对相等相反单位力偶 关于位移与单位载荷关于位移与单位载荷 关于位移方向关于位移方向当所得位移为正，则位移与所加单位载荷同向当所得位移为正，则位移与所加单位载荷同向 －－广义位移，求解时广义位移，求解时施加相应单位广义载荷施加相应单位广义载荷67Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）4. 单位载荷法的适用范围：单位载荷法的适用范围：不仅适用于线弹性杆或杆系，不仅适用于线弹性杆或杆系，也适用于非线性弹性与非弹性杆或杆系也适用于非线性弹性与非弹性杆或杆系5. 对于线弹性杆或杆系的公式对于线弹性杆或杆系的公式68Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）2.分段建立弯矩方程。
分段建立弯矩方程注意：注意：•实际载荷状态与单位载荷状实际载荷状态与单位载荷状态必须分开画两个图，且两图态必须分开画两个图，且两图分段与坐标应相同分段与坐标应相同•圆弧段用极坐标方便圆弧段用极坐标方便例例: 弯曲刚度弯曲刚度EI，求，求A点铅垂位移点铅垂位移分析步骤：分析步骤：1.根据待求广义位移配根据待求广义位移配置单位载荷状态置单位载荷状态69Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）解：解： 对于对于AB段：段：对于对于BC段：段：70Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）根据对称性根据对称性例例: 弯曲刚度弯曲刚度EI，求，求C点挠度点挠度 和和A点转角点转角解：解：（（1）求）求 ，配置单位载荷状态，配置单位载荷状态AB段：段：BC段：段：71Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）根据对称性根据对称性解：解： （（2）求）求 ，，配置单位载荷状态配置单位载荷状态注意一对单位力偶分别作用在刚架的注意一对单位力偶分别作用在刚架的A、、D端，这样求出的是端，这样求出的是A、、D的相对转角的相对转角72Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）解：解： 例例: 各杆各杆EA，求，求AB杆转角杆转角 ，，A、、D点相对位移点相对位移（（1）求）求配置单位载荷系统配置单位载荷系统73Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）解解（（2））求求A、、D的相对位移的相对位移配置单位载荷系统配置单位载荷系统74Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）分析步骤：分析步骤：（（1）建立弯矩、扭矩方程）建立弯矩、扭矩方程（（2）校核强度（如何确定危险截面））校核强度（如何确定危险截面）（（3）求相对位移）求相对位移例例: P=2F,F=80N,[ ]=240MPa,E=200GPa,G=80GPa R=35mm,d=7mm, 忽略开口宽度忽略开口宽度（（1）按第三强度理论校核强度）按第三强度理论校核强度（（2）求开口沿）求开口沿F 方向相对位移方向相对位移75Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）（（2）校核强度）校核强度a. 合弯矩方程合弯矩方程b. 解：解：（（1）建立弯矩方程与扭矩方程）建立弯矩方程与扭矩方程76Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）c. 求求 极值极值安全！安全！即即（（2）校核强度）校核强度77Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）（（3）求沿）求沿F 相对位移相对位移沿沿F 方向加一对单位力方向加一对单位力78Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）解：解： 原结构各杆长度变化原结构各杆长度变化 例例: 杆杆1制造误差长制造误差长 ，求，求 与与（（1）求）求 在在B 加向下单位力加向下单位力79Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）解：解： 对比：对比： 用几何法求用几何法求 和和（（2）求）求 加单位力偶加单位力偶180Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）解：解： 几何法求解，几何法求解， △△DBC速度瞬心为速度瞬心为K 例例: 杆杆1制造误差长制造误差长 ，求，求 与与K又又81Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）求解思路讨论求解思路讨论：：A 点在与点在与F 垂直方向位移垂直方向位移例例: A点位移与点位移与F 方向相同，求角方向相同，求角解：解：配置单位载荷系统配置单位载荷系统82Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）83Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）例例: 已知已知EI，求，求AB段变形所扫过的面积。
段变形所扫过的面积解：解： 配置单位载荷系统配置单位载荷系统84Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）由平面假设由平面假设令令例例: 求求分析：分析： 由单位载荷法，由单位载荷法， 关键求关键求AA185Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）AA1xx建立原结构和单位载荷系统建立原结构和单位载荷系统的弯矩方程的弯矩方程86Page 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）作业作业12-1512-1612-2112-2587Page 。
