2023年初高中数学衔接基础知识点专题.doc

初高中数学衔接知识点专题临洮二中数学组 董学峰★ 专题一 数与式的运算【要点回顾】1．绝对值[1]绝对值的代数意义： ．即 ．[2]绝对值的几何意义： 的距离． [3]两个数的差的绝对值的几何意义：表达 的距离．[4]两个绝对值不等式:；．2．乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：[1]平方差公式： ；[2]完全平方和公式： ；[3]完全平方差公式： ．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：[公式1][公式2](立方和公式)[公式3] (立方差公式)说明:上述公式均称为“乘法公式”．3．根式[1]式子叫做二次根式，其性质如下：(1) ；(2) ；(3) ； (4) ．[2]平方根与算术平方根的概念： 叫做的平方根，记作，其中叫做的算术平方根．[3]立方根的概念： 叫做的立方根，记为4．分式[1]分式的意义 形如的式子，若B中具有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质： （1） ； （2） ．[2]繁分式 当分式的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，如，说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 运用除法法则；(2) 运用分式的基本性质．[3]分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程【例题选讲】例1 解下列不等式：（1） （2）＞4．例2 计算： （1） （2）（3） （4）例3 已知，求的值．例4 已知，求的值．例5 计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：（1） （2） （3） （4） 例6 设，求的值．例7 化简：（1） （2）（1）解法一：原式= 解法二：原式=（2）解：原式= 说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式． 【巩固练习】1． 解不等式 2． 设，求代数式的值．3． 当，求的值．4． 设，求的值．5． 计算6．化简或计算： (1) (2) (3) (4) ★ 专题二 因式分解【要点回顾】 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，尚有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．1．公式法常用的乘法公式：[1]平方差公式： ；[2]完全平方和公式： ；[3]完全平方差公式： ．[4][5](立方和公式)[6] (立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，运用上述公式可以进行因式分解．2．分组分解法 从前面可以看出，可以直接运用公式法分解的多项式，重要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组解决．这种运用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．常见题型：（1）分组后能提取公因式 （2）分组后能直接运用公式3．十字相乘法（1）型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③ 一次项系数是常数项的两个因数之和．∵，∴运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．（2）一般二次三项式型的因式分解由我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，假如它正好等于的一次项系数，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必须注意，分解因数及十字相乘都有多种也许情况，所以往往要通过多次尝试，才干拟定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．4．其它因式分解的方法其他常用的因式分解的方法：（1）配方法 （2）拆、添项法【例题选讲】例1 （公式法）分解因式：(1) ；(2) 例2 （分组分解法）分解因式：（1） （2）例3 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) (2) (3) (4) 解：（1）（2） （3）分析：把当作的二次三项式，这时常数项是，一次项系数是，把分解成与的积，而，正好是一次项系数． 解： (4) 由换元思想，只要把整体看作一个字母，可不必写出，只当作分解二次三项式．解： 例4 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) ；(2) 解：(1) (2) 说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．例5 （拆项法）分解因式【巩固练习】1．把下列各式分解因式：(1) (2) (3) (4) (5) 2．已知，求代数式的值．3．现给出三个多项式，，，，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解.4．已知，求证：．★ 专题三 一元二次方程根与系数的关系【要点回顾】1．一元二次方程的根的判断式一元二次方程，用配方法将其变形为： ．由于可以用的取值情况来鉴定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式，表达为：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有[1]当Δ 0时，方程有两个不相等的实数根： ；[2]当Δ 0时，方程有两个相等的实数根： ；[3]当Δ 0时，方程没有实数根．2．一元二次方程的根与系数的关系定理：假如一元二次方程的两个根为，那么： 说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是． 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知 x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即 p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，所以，方程x2＋px＋q＝0可化为 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有 以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．【例题选讲】例1 已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围： （1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根 （3）方程有实数根； （4）方程无实数根．例2 已知实数、满足，试求、的值．例3 若是方程的两个根，试求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ．例4 已知是一元二次方程的两个实数根．(1) 是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．(2) 求使的值为整数的实数的整数值．解：(1) 假设存在实数，使成立．∵ 一元二次方程的两个实数根，∴ ，又是一元二次方程的两个实数根，∴ ∴ ，但．∴不存在实数，使成立．(2) ∵ ∴ 要使其值是整数，只需能被4整除，故，注意到，要使的值为整数的实数的整数值为．【巩固练习】1．若是方程的两个根，则的值为( ) A． B． C． D．2．若是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( ) A． B． C． D．大小关系不能拟定3．设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则= ___ __ ，= _ ____ ．4．已知实数满足，则= ___ __ ，= _____ ，= _____ ．5．已知关于的方程的两个实数根的平方和等于11，求证：关于的方程有实数根．6．若是关于的方程的两个实数根，且都大于1． (1) 求实数的取值范围；(2) 若，求的值．★专题四 平面直角坐标系、一次函数、反比例函数【要点回顾】1．平面直角坐标系[1] 组成平面直角坐标系。

叫做轴或横轴， 叫做轴或纵轴，轴与轴统称坐标轴，他们的公共原点称为直角坐标系的原点[2] 平面直角坐标系内的对称点：对称点或对称直线方程对称点的坐标轴 轴 原点 点 直线 直线 直线 直线 2．函数图象 [1]一次函数： 。