赋范线性空间.doc

第3章赋范线性空间§3.1定义和举例§3.2按范数收敛§3.3有限维赋范线性空间§3.4线性算子与线性泛函§3.5赋范线性空间中的各种收敛回顾距离空间：距离公理收敛……完备化一…连续映射元素间只有距离关系（距离结构），不能 进行代数运算（代数结构）§ 3,1定义和举例1）定义（线性空间）设E是非空集合，K是实（或 复）数域在E中定义加法：Vx,ywE,存在唯一ze£,记作在E与K之间定义数乘：X/xeEJeK,註唯一5eE,记作5 =加，且满足八条运算规律：(1) x+ y = y+ 兀(2) (无+y) + z = x + (y + z)(3) 于零元素”OwE,有x+O=x(4) 于娠素”_xwE,有x+(-x)=0(5) 2(“兀)二(2“)兀(2 + “)兀二 2x + JUX 2(无 + y) = 2x + 2y(6) l-x = x, 0-x = 0(7)(8)则称E是(数域K上的)线性空间(或向量空间) 满足八条运算规律的两种运算称为线性运算例1 Rn—— n维向量全体，在通常意义下的“加法” 和“数乘”运算下是线性空间例2 C[a,b]、^a,b](在切上可积分函数全体)，在通常意义下的“加法”“数乘”运算下是线性空间。

例3 ——次数不超过n的多项式全体，在通常的“加法”“数乘”运算下是线性空间例4 Qn(x)——次数等于n的多项式全体，在通常意义 下的“加法”“数乘”运算下不是线性空间2）赋范线性空间（1）定义 设E是实数（或复数）域K上的线性空间若色赠伞o,且满足下列三条（范数公理）（1） 正定性:H>0,当且仅当“0时，制=0（2） 齐次性：||则| =| 並］（3） 三角不等式办‘yw E有| M-||y|l|-llx+训-IWI+M 则称实数卜II为兀的范数，称E为赋范线性空间，记作 仏,||・||）或£2）赋范线性空间与距离空间的关系若在(E,||・||)中，按范数定义距离，即gywE, y) = ||x - y||，—- CEjlH(i) =>(i); (ii)=>(ii);(iii)=>(iii)验证得知满足距离的三条公理，因此，（科|・||）在范数意 义下（以后均指这种情况）是距离空间（Eq）Question：距离空间=赋范线性空间？?当距离空间满足下列三个条件时①是线性空间;② p(x,y) = p(x-y,o).③ p(dfx,O) = |(Qf|*p(x,O)可用距离定义范数卜|| = 0(兀0),验证知三条范数公理成立,则距离空间(EQ)也是(E，H)。

3）常见赋范线性空间例1性空间Rn中，① 制2 J环F,则（R"，制2）是赋范线性空间max兀，则（r“,制丿是赋范线性空间②hl距离兀y）=卜一 H=\工（不一 x）00 ll）是线性空间，若定义IWL=（弘汁，则（卩，卜・）是赋范线性空间1=\（s p\，P距离p（"） = II兀一 jll =工k -川 ,• f特别的，严一表示一切有界数列兀二（西,花,…,®，…）的全体，按通常定义下的“加法”“数乘”运算是线性空间若定义阳：supkl,则",卜||）是赋范线性空间注：由于仏,||・||）在心）=|卜-创定义下也是（E,p）, 所以在（E,||・||）中可类似定义——邻域、开集、闭集、极 限点、收敛点列、柯西点列等，并可讨论相关的结论： 完备性、可分性、紧性等。

4）巴拿赫空间（Banach）如果赋范线性空间（E，||・||）按范数导出的距离空间 （E，是完备的，则称E是Banach空间同样的，不完备的赋范线性空间可以完备化例：在R冲，按范数II班彳幼『，（R"，皿）是Banach空间；在C［吶中,按范数卜卜囂紳（儿（C辭］，制）是Banach空间；. 丄在乓,6中,按范数制2 =（£|X0|2力）爲（耳⑷曲）是Banach空间§3.2按范数收敛=1赋范线性空间中点列的收敛性及概念，只要在由范数导出的距离°（3）=卜-川之下来讨论，就可以得到相应的结论1)定义 设E是赋范线性空间，点列心及"E ,如果lim氏moo "—兀|| = 0则称点列暫按范数收敛于X,或称百强收敛于兀，记作limx” = x（强）2)性质设E是数域K上的赋范线性空间, ⑷，｛儿｝uE, ｛^｝uK,若£ T"强)，则(1) 有界性：数列｛卜，0有界(2) 范数的连续性：即= T是连续泛函卜II是兀的连续泛函O Vxn T X时，|卜”||t制(3) 线性运算按范数收敛是连续的即若 £ —兀，儿 T 丁，an — — 0儿 ~^ax + f3y,3）范数的等价性定义设线性空间E中定义了两种范数何和何2 如果由T 0 = |圖2 T 0 ,称||班比制2更强; 若又由II® |〔2 T 0 O kll^O,即|卜h比||班更强, 则称范数制1与浏2等价。

注：范数等价具有传递性 例如：可以证明Rn中三种范数卜h、||班、卜|L相互等价 定理（范数等价判别定理）性空间E中，两种范数 H1与IHL等价O科＞ 0,怠＞ 0,对于Vx G E,都有 匕I倒2勻倒树同2证：U3反证法§ 3.3有限维赋范线性空间有限维赋范线性空间比一般赋范线性空间有更多的 优势，通常在有限维赋范线性空间中处理问题更简单1）定义 设E是赋范线性空间若存在n个线性无关的元素勺，勺，…，勺&E,使得VxwE,有唯一表达式兀二兀冋+兀2勺+••• + ££二工nX&Z=1则称E为有限维（n维）赋范线性空间称山灼，…，勺｝为E的基（底），而称⑴宀，…，£｝为兀关于该基底的坐 标2)性质 除了一般的赋范线性空间的性质外，有限维赋 范线性空间还有一些特殊的性质1) 有限维赋范线性空间的各种范数等价2) 有限维赋范线性空间必是完备、可分的空间3) 赋范线性空间E是有限维的OE中的任意有界闭集 是列紧的(即有界闭集中的任意点列都有收敛的子列)4) 任意n维赋范线性空间都与R11代数同构(有相同的 代数运算性质)§ 3.4线性算子与线性泛函映射：集合-集合的对应关系;算子：空间T空间的映射，记为F，定义域记作D(D,值域记作N(F)算子通常指：赋范线性空间—赋范线性空间的映射泛函：赋范线性空间-数域的映射。

最简单的算子是：保持两种代数运算的算子一一线性算子n1）线性算子（或线性泛函）的几个概念定义：设E、E1是赋范线性空间，T.DgE — N⑴uE\° （］）线性算子：若 Vx,y e D（T）, a e 域）,有fT（x + ^） = 7x + 7y\T（ax） = aTx 即 +/3y） = aTx +/3Ty称卩为W）上的线性算子特别的，to = 070 = 0 例如：ch】（一阶连续导函数全体）中，r=~f则d xj 12■伙1坷⑴+心勺⑴］=何丁无1⑴+化一无2⑴dt dt常见的线性算子：积分算子、微分算子、线性变换等2)连续算子(P12-13连续映射) ,xgD(T),当eTx(mToo)时，TxjTx, 称T为连续算子例如：范数Tx = llxll是连续泛函；Ri中连续函数/(对3）有界算子定义 若＞0,对于VxeD（T）,都有,定义域所在 空间的范数7x|| < M |卜值域所在空间的范数才则称T是有界算子若T既是线性、又是有界算子，称T为有界线性算子判别定理 设F是线性算子，则F是有界算子O F将D（门中的任一有界集映射为有界集例：①设A是mxn阶矩阵，则T:xeRn ^AxeRm是 有界线性算子(1)线性性：匕=(西,…,",y=(H，…，儿)隹尺"，&,0°用T(ax+/3y) = A(ax+0y) = aAx+j3Ay=aTx+(JTy（2）有界性：V"（心…，暫）S", Tx = Ax = ^-^mY ^Rm其中 防孕内（心1~加），则由Cauchy不等式得(natEI^Ah EJ)i=l < i=l②T = y ： x⑴e C[a b] f x© e C[a b]是无界线性算子验证：(1) T是线性算子(练习)(2)若取E⑴二厂则肚⑴卜囂护⑴=1,但是伶M)=卜必心卜"，即")所以庐讣Mm||£||,说明T是无界算子。

4)可逆算子：设算子T:D(T)N(T),若存在算子卩匕使厂 1: N(T) T D(T)且对于Vxg D(T\当Tx=yeN(T)^,有厂^ = x,则称T为可逆算子，而卩」称为:T的逆例：设A是n阶可逆方阵，则算子T: xe Rn y = AxeRn的逆算子为 T~l :y&Rn ^x = A~]y&Rn o(5) 线性算子空间定义:设臥 艮是同一数域K上的赋范线性空间，贝!]① 集合｛中是的线性算子｝称为线性算子空间,记作（E T EJ②集合⑺卩是的有界线性算子｝称为有界线性 算子空间，记作B(E - EJ若在上述空间中引入线性运算：⑺ +7^)% = T{x + T°x,(aT)x = a(Tx)其中论 D(7])nD©uE,xK则(E - EJ , B(E T EJ 称 为线性空间，因此可以定义范数在B(E T E)中定义范数iir II=sup W=计p『引=计p曲斗(可证明)畑)||x|| ||命 1 ||•咋 1 ' J 刀,则B(E t EJ为赋范线性空间o2)线性算子(或线性泛函)的性质一一有界性和连续性设Tw(EtEJ,则下述条件等价(1) 线性算子：T在某一点"D(T)连续；(2) 线性算子卩在W)±处处连续；(3) 线性算子T有界;(4) 线性算子T将。

门中的任一有界集映成N(C中的 有界集；(5)算子T的范数有界,即卩卜驾閒存在(<+8)共鸣定理：设E为Banach空间，&为赋范线性空 间，T店（E-EJ,则 Vx g E, ｛||7；x||｝有界｛咼|｝有界逆算子定理：E、Q都是Banach空间，T: E t E】上的一一对应的有界线性算子，则逆算子厂,必存在，且卩亠也是有界线性算子＞有限维赋范线性空间中一切线性算子均有界（故连 续）3)线性泛函举例)①设E是赋范线性空间，则E的范数卜||定义了一个 泛函则/连续有界、但不是线性的泛函其范数||/|| = sup|/(x)| = sup||x|| = lII+1 卜卜1② 已知RS设c = （c/2,…易）wR"为固定向量,对Vx=（召,兀2,…，£）G R",令n/w=D 兀z=i则/是R11上的有界线性泛函eb 1③/: x(t)。