考研数学武忠祥17堂课讲义合并版（无水印）.pdf

1 2021 考研武忠祥教授 17 堂课 2021 考研武忠祥教授 17 堂课 专题 1：求极限的方法和技巧 (一) 求极限的常用方法 方法 1 利用基本极限求极限 1)常用的基本极限 1 sin lim 0 = x x x , , ex x x =+ 1 )1 (lim 0 , , e x x x =+ ) 1 1 (lim a x a x x ln 1 lim 0 = ),0( a , 1lim= n n n ),0( , 1lim= aa n n + cba 【解】原式 x xxx cba ++ += 3 3 1lim 111 x cba xxx x ) 3 3 (lim 111 ++ x cba xxx x1 ) 1() 1() 1( lim 3 1 111 ++ = )lnln(ln 3 1 cba++= 3 lnabc= 原式 3 ln3 abce abc == 【例 5】 （2016 年，数二，数三，10 分）求极限.)sin22(coslim 4 1 0 x x xxx+ 3 1 e 【解 1】 3 【解 2】 【例 6】(2010 年 1) 极限.__________ ))(( lim 2 = + x x bxax x (A) 1. (B) (A) 1. (B) e. (C) . (C) ba e. (D) . (D) ab e. . 【解 1】 【解 2】 【例 7】.________ ) 12() 12( )23() 32( lim 4850 3020 = ++ + xxx xx x ) 2 3 ( 30 【例 8】已知, 0 ) 12( ) 15)(14)(13)(12)(1( lim= +++++ x xxxxx x ，则（ ） （A）. 5, ! 5== （B）. 5, 2 ! 5 5 == （C）. 5, 2 1 5 == （D）. 4, 2 5 5 == )(B 【例 9】已知,16 ) 15)(14)(13)(12)(1( lim 0 = +++++++ x baxxxxxx x ，则（ ） （A）. 1, 1==ba （B）. 1, 2==ba （C）. 1, 5==ba （D）. 1, 1==ba )(D 4 【例 10】设函数 1 lim)( 2 212 + ++ = + n n n x bxaxx xf，问ba,取何值时，)(xf在),(+上连续. 【解】 = ++ = + = ++ 【解】令,maxaai=则 nn n n m nn nn maaaaa+++L 21 aamaa nn n nn n == lim,lim 则 aaaa n n m nn n =+++ L 21 lim 【注】这是一个常用结论. 【例 3】 （2008 年 4）设ba <++ x x x n nn n 【解】 =++ 2 ,, 1max) 2 (1lim 22 x x x x n nn n < < = ,2, 2 , 21, , 10, 1 2 x x xx x 【例 5】 n n n 1 2 1 1lim+++ L 1 20 【例 6】 .) 1 1 () 2 1 1 () 11 (lim 2 2 n nnn n n +++++ L e 【例 7】 )1ln( 1 2 1 1 lim n n n + +++ L 1 【例 8】 （I）比较+ 1 0 d)1ln(|ln|ttt n 与 1 0 d|ln|tttn ), 2 , 1(L=n的大小，说明理由； （II）记 += 1 0 d)1ln(|ln|tttu n n ), 2 , 1(L=n，求极限 n n u lim 【解】 （I）当10 t时，因为tt + )1ln(，所以|ln|)1ln(|ln|tttt nn +，因此 .d|ln|d)1ln(|ln| 1 0 1 0 +tttttt nn （II）由（I）知 += 1 0 1 0 d|ln|d)1ln(|ln|0ttttttu nn n . 因为 , ) 1( 1 d 1 1 dlnd|ln| 2 1 0 1 0 1 0 + = + == n tt n tttttt nnn 所以0d|ln|lim 1 0 = tttn n . 从而. 0lim= n n u 练习题练习题 1. = +++ n k n knkn n 1 2 ) 1)(( 1 lim 2 3 2. 2 !lim n n n 1 3. .) 1 1 2 1 1)( 1 1 1 (lim 22 n n n n +++ （）L 1 21 4. .________ 1 )1 (ln lim 1 0 2 = + + dx x x n n 0 5. 设函数 = x ttxS 0 d|cos|)(， （1） 当n为正整数，且) 1( +