2024年中考数学复习讲义第22讲多边形与平行四边形.docx

第22讲 多边形与平行四边形目 录一、考情分析二、知识建构考点一 多边形的相关概念题型01 多边形的概念及分类题型02 计算网格中不规则多边形面积题型03 计算多边形对角线条数题型04 对角线分三角形个数问题题型05 多边形内角和问题题型06 已知多边形内角和求边数题型07 多边形的割角问题题型08 多边形的外角问题题型09 多边形内角和、外角和与平行线的合运用题型10 多边形内角和、外角和与角平分线的综合运用题型11 多边形内角和与外角和的综合应用题型12 多边形外角和的实际应用题型13 平面镶嵌考点二 平行四边形的性质与判定题型01 利用平行四边形的性质求解题型02 利用平行四边形的性质证明题型03 判断已知条件能否构成平行四边形题型04 添加一个条件使四边形成为平行四边形题型05 数平行四边形个数题型06 求与已知三点组成平行四边形的点的个数题型07 证明四边形是平行四边形题型08 与平行四边形有关的新定义问题题型09 利用平行四边形的性质与判定求解题型10 利用平行四边形的性质与判定证明题型11 平行四边形性质与判定的应用考点三 三角形中位线题型01 三角形中位线有关的计算题型02 三角形中位线与三角形面积计算问题题型03 与三角形中位线有关的证明题型04 三角形中位线的实际应用题型05 与三角形中位线有关的规律探究题型06 与三角形中位线有关的格点作图题型07 构造三角形中位线的常用方法类型一 连接两点构造三角形中位线类型二 已知中点，取另一条线段的中点构造中位线类型三 利用角平分线垂直构造三角形的中位线考点要求新课标要求命题预测多边形的相关概念Ø 了解多边形的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线.Ø 探索并掌握多边形内角和与外角和公式.本考点内容是考查重点，年年都会考查，分值为10分左右，预计2024年各地中考还将出现，并且在选择、填空题中考查多边形的内角和、平行四边形性质和判定、与三角形中位线有关计算的可能性比较大．中考数学中，对平行四边形的单独考察难度一般不大，一般和三角形全等、解直角三角形综合应用的可能性比较大，对于本考点内容，要注重基础，反复练习，灵活运用．平行四边形的性质与判定Ø 探索并证明平行四边形的性质定理.Ø 探索并证明平行四边形的判定定理.三角形中位线Ø 探索并证明三角形中位线定理.考点一 多边形的相关概念多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n－3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2)个三角形，n边形的对角线条数为n(n-3)2 多边形内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°（n≥3）.【解题技巧】1）n边形的内角和随边数的增加而增加，边数每增加1，内角和增加180°.2）任意多边形的内角和均为180°的整数倍.3）利用多边形内角和定理可解决三类问题：①已知多边形的边数求内角和；②已知多边形的内角和求边数；③已知足够的角度条件下求某一个内角的度数．多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关.正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形.【解题技巧】1）正n边形的每个内角为（n-2）×180°n，每一个外角为360°n．2）正n边形有n条对称轴．3）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形．多边形的有关计算公式有很多，一定要牢记，代错公式容易导致错误：①n边形内角和＝（n－2）×180°（n≥3）.②从n边形的一个顶点可以引出（n-3）条对角线，n个顶点可以引出n（n-3）条对角线，但是每条对角线计算了两次，因此n边形共有n(n-3)2 条对角线.③n边形的边数＝（内角和÷180°）＋2.④n边形的外角和是360°.⑤n边形的外角和加内角和＝n×180°.⑥在n边形内任取一点O，连接O与各个顶点，把n边形分成n个三角形；在n边形的任意一边上任取一点O，连接O点与其不相邻的其它各顶点的线段可以把n边形分成（n－1）个三角形；连接n边形的任一顶点A与其不相邻的各个顶点的线段，把n边形分成（n－2）个三角形．题型01 多边形的概念及分类【例1】（2023·广东深圳·统考模拟预测）在等边三角形、正五边形、正六边形、正七边形中，既是轴对称又是中心对称的图形是（　　）A．等边三角形 B．正五边形 C．正六边形 D．正七边形【答案】C【分析】根据正多边形的性质和轴对称图形、中心对称的图形的识别进行判断即可．【详解】解：由正多边形的性质知，偶数边的正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；奇数边的正多边形只是轴对称图形，不是中心对称图形，所以正六边形既是轴对称又是中心对称的图形，故选：C．【点拨】本题考查了正多边形的性质、轴对称图形、中心对称的图形的识别，熟知偶数边的正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；奇数边的正多边形只是轴对称图形，不是中心对称图形是解题的关键．【变式1-1】（2023·江苏徐州·统考二模）下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（    ）A．1，1，1 B．1，1，8 C．1，2，2 D．2，2，2【答案】D【分析】若四条线段能组成四边形，则三条较短边的和必大于最长边，由此即可完成．【详解】A.1+1+1<5，即这三条线段的和小于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误；B.1+1+5<8，即这三条线段的和小于8，根据两点间距离最短即知，此选项错误；C.1+2+2=5，即这三条线段的和等于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误；D.2+2+2>5，即这三条线段的和大于5，根据两点间距离最短即知，此选项正确；故选：D．【点拨】本题考查了两点间线段最短，类比三条线段能组成三角形的条件，任两边的和大于第三边，因而较短的两边的和大于最长边即可，四条线段能组成四边形，作三条线段的和大于第四条边，因而较短的三条线段的和大于最长的线段即可．【变式1-2】（2022·辽宁盘锦·校考一模）下列命题正确的是（    ）A．每个内角都相等的多边形是正多边形B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．过线段中点的直线是线段的垂直平分线D．三角形的中位线将三角形的面积分成1∶2两部分【答案】B【分析】分别根据正多边形的判定、平行四边形的判定、线段垂直平分线的判定以及三角形中线的性质逐项进行判断即可得到结论．【详解】解：A.每个内角都相等，各边都相等的多边形是正多边形，故选项A的说法错误，不符合题意；B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形,说法正确，故选项B符合题意；C. 过线段中点且垂直这条线段的直线是线段的垂直平分线，故选项C的说法错误，不符合题意；D. 三角形的中位线将三角形的面积分成1∶3两部分，故选项D的说法错误，不符合题意．故选：B．【点拨】此题主要考查了对正多边形、平行四边形、线段垂直平分线的判断以及三角形中线性质的认识，熟练掌握正多边形、平行四边形、线段垂直平分线的判断是解答此题的关键．题型02 计算网格中不规则多边形面积【例2】（2022·北京海淀·统考二模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为 ．【答案】92【分析】由图可得S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC，利用网格来计算两个三角形的面积相加即可．【详解】解：S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=12×3×2+12×1×3=92故答案为：92【点拨】本题是求三角形的面积问题，解题关键是熟练对不规则三角形进行分割．【变式2-1】（2021·北京昌平·统考二模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ADB的面积大小关系为：S△ABC SΔADB（填“＞”“＝”或“＜”），【答案】=【分析】分别求出△ABC的面积和△ABD的面积，即可求解．【详解】解：∵SΔABD=12×2×2=2，SΔABC=2×3-12×3×1-12×1×1-12×2×2=2，∴SΔABC=SΔABD，故答案为：=．【点拨】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键．【变式2-2】（2021·湖南娄底·统考一模）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式S=a+12b-1（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积S= ．【答案】6【分析】根据题目要求，数出五边形内部格点的数量，五边形边上格点的数量，代入S=a+12b-1计算即可．【详解】由图可知：五边形内部格点有4个，故a=4五边形边上格点有6个，故b=6∴S=a+12b-1＝4+12×6-1=6故答案为：6．【点拨】本题考查了网格中不规则多边形的计算，按题目要求尽心计算即可．【变式2-3】（2021·山西临汾·统考三模）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．你知道“皮克定理”吗？“皮克定理”是奥地利数学家皮克（如图1）发现的一个计算点阵中多边形的面积公式．在一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点．一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形．有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出．即S=a+12b-1，其中a表示多边形内部的点数，b表示多边形边界上的点数，S表示多边形的面积．（利用图2中的多边形可以验证）这个公式是奥地利数学家皮克在1899年发现的，被称为“皮克定理”．任务：（1）如图2，是6×6的正方形网格，且小正方形的边长为1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边形的面积是_______．（2）已知：一个格点多边形的面积S为19，且边界上的点数b是内部点数a的3倍，则a+b=______．（3）请你在图3中设计一个格点多边形．要求：①格点多边形的面积为8；②格点多边形是一个轴对称图形．【答案】（1）21；（2）32；（3）见解析【分析】（1）观察图形，得到a=16，b=12，再代入计算即可得到答案；（2）由题意b=3a，然后列出关于a的方程，求出a=8，再求出答案即可；（3）由格点多边形的面积为8，然后根据轴对称的性质，即可画出图形．【详解】解：（1）由题意，如图：多边形内部的点数为：a=16，多边形边界的点数为：b=12，∴S=a+12b-1=16+12×12-1=21；故答案为：21；（2）设内部点数是a，则b=3a，∴S=a+12b-1=a+12×3a-1=19，∴a=8，∴b=8×3=24，∴a+b=8+24=32；故答案为：32．（3）答案不唯一，只要符合题意要求即可．例如：【点拨】本题考查了多边形，解一元一次方程，轴对称的性质等知识，理解正方形网格纸中多边形面积的公式S=a+12b-1是解决问题的关键．题型03 计算多边形对角线条数【例3】（2023·浙江丽水·统考一模）已。