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第一章 航海专业数学基础第一节 球面三角一．球面几何1．球面和球面上的园1）球面和球球面(spherical surface)：半个圆周绕其直径旋转360而成的旋转面称球面 球：球面所包围的几何体称球 球的半径： 球的直径：2）球面上的圆 （1）大圆(great circle)：过球心的平面和球面相截的截痕 （2）小圆(small circle)：不过球心的平面和球面相截的截痕 ①过球面上不在同一直径两端的任意两点，只能有一个大圆，却能作无数个小圆 ②一个球面上不可能有两个大圆平行，两个大圆的平面的交线是他们的直径，并且两个大圆互相平分 2．球面角和球面距离 1）轴、极、极距、极线 （1）轴(axis)：垂直于任一圆面(大圆或小圆)的球直径 （2）极(pole)：轴与球面相交的两点 （3）极距(polar distance)：从大圆弧或小圆弧上的一点到极的大圆距离，又称该圆的球面半径球面半径并非球的半径 （4）极线：极距为90的大圆弧又称为极线或称为赤道(equator)2）球面角及其度量 （1）球面角(spherical angle)：球面上由两个大圆弧所构成的角。

其交点叫做球面角的顶点 （2）球面角的三种度量方法： ①切于顶点的大圆弧的切线的夹角 ②顶点的极线被其两边大圆弧所截的弧长 ③极线上的弧所对应的球心角3）球面距离的距离和最近距离 （1）球面距离：连接球面上两点的大圆弧长，以大圆弧所对应的球心角用度、分、秒来度量 （2）球面上两点间的最近距离：过球面上两定点间小于180º的大圆弧(劣弧) 4）圆心角相等的大圆弧与小圆弧的长度关系结论：地球纬度圈与赤道的长度关系： 例题见教材二．球面三角形1．球面三角形(spherical triangle) 1）球面三角形及其六要素球面三角形：在球面上由三个大圆弧所围成的三角形称为球面三角形球面三角形六要素:构成球面三角形的三个角和三个边航海上研究的是六个要素均大于0º而小于180º的欧拉球面三角形天文定位实质上就是解天文球面三角形2)球面三角形的分类（1）球面等腰三角形和球面等边三角形两边或两角相等的三角形称球面等腰三角形三边或三角都相等的三角形称球面等边三角形2）球面直角三角形和球面直边三角形至少有一个角为90º的球面三角形称为球面直角三角形。

至少有一个边为90º的球面三角形称为球面直边三角形3）球面初等三角形(primary triangle)三个边相对于其球半径来说非常小的球面三角形称为球面小三角形(三个角不会很小)；只有一个角及其对边均甚小的球面三角形称为球面窄三角形；而球面小三角形和球面窄三角形统称为球面初等三角形4）球面任意三角形凡不具有特殊条件的球面三角形称为球面任意三角形3）球面三角形的关系（1）球面全等三角形在同球或等球上，边角对应相等，且排列顺序相同的三角形2）球面相似三角形在半径不同的球面上，边角度数对应相等的三角形3）球面对称三角形从球面三角形的三顶点作直径与球面交得另外三个顶点，相连得到另一球面三角形4）球面极线三角形(polar triangle)球面三角形的三个顶点的极线所构成的三角形，称为球面三角形的球面极线三角形4）球面三角形的性质 （1）球面三角形与三面角的关系（2）球面三角形的每一边必大于0º而小于180º，三边之和大于0º而小于360º（3）球面三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边（4）球面三角形的每一角必大于0º而小于180º，三个角的和大于180º而小于540º （5）球面三角形三角之和超出180º的部分称为球面盈角。

（6）球面三角形两角之和减去第三角小于180º（7）球面三角形的外角小于相邻的两内角之和而大于它们之差 5）球面三角形的成立条件 （1）当给定了球面三角形的三个边时：①任一边应大于0º，小于180º；②三边之和大于0º，小于360º；③二边之和大于第三边或二边之差小于第三边 （2）当给定了球面三角形的三个角时：①任一角应大于0º，小于180º；②三角之和大于180º，小于540º；③二角之和减去第三角小于1803）若给定球面三角形的两个角及其夹边或两个边及其夹角，则仅需满足每一个角和每一个边大于0º，小于180º的条件，球面三角形都成立4）若给定球面三角形的两个角及其一个角的对边，或两个边及其一边的对角，则该三角形是否成立，情况比较复杂2．解球面三角形 （1）余弦公式(cosine formula):边的余弦公式是：cosa=cosbcosc+sinbsinccosAcosb=cosacosc+sinasinccosBcosc=cosacosb+sinasinbcosC一个边的余弦等于其它两边余弦的乘积加上这两边正弦及其夹角余弦的乘积角的余弦公式是：cosA=-cosBcosC+sinBsinCcosacosB=-cosCcosA+sinCsinAcosbcosC=cosAcosB+sinAsnBcosc一个角的余弦等于其它两角余弦的乘积冠以负号加上这两角正弦及其夹边余弦的乘积。

2）正弦公式(sine formula)： 各边的正弦与其对角的正弦成比例3）余切公式即四联公式(four parts formula)： ctgasinb=ctgAsinC+cosCcosbctgasinc=ctgAsinB+cosBcoscctgbsina=ctgBsinC+cosCcosactgbsinc=ctgB+cosAcoscctgcsina=ctgCsinB+cosBcosactgcsinb=ctgCsinA+cosAcosb外边余切内边正弦的乘积等于外角余切内角正弦的乘积加上内边内角余弦的乘积四联公式可以转化，例：ctgasinb=ctgAsinC+cosbcosC可转化成： ctgA=ctgasinbcscC-cosbctgC3．球面直角三角形公式和球面直边三角形公式: （“大”字法则）1）球面直角三角形(right-angled triangle)公式:任一要素的正弦，等于相邻二要素正切的乘积或等于相隔二要素余弦的乘积若已知a和b，求c按任一要素的正弦等于与其相隔二要素余弦乘积的法则，可得：sin(90º-c)=cosacosbcosc=cosacosb又若已知A和B，求c。

按任一要素的正弦等于与其相邻二要素正切乘积的法则，可得： sin(90º-c)=tg(90-A)tg(90-B)cosc=ctgActgB2）球面直边三角形(quadrantal triangle)公式：任一要素的正弦，等于相邻二要素正切的乘积或等于相隔二要素余弦的乘积若等式右边的正切和余弦的乘积中，遇有两个要素都是边或都是角时，则在乘积之前冠以负号4．球面初等三角形1）球面小三角形其特点是： A．三边相对球半径甚小； B．三角不会很小； C．三角和接近180°； D．其面积接近平面面积一般可将球面小三角形视为平面三角形进行近似计算2）球面窄三角形其特性是：A．一边a相对球半径甚小；B．小边的对角A也很小；C．另外两边的差很小（两边近似相等b≈c）;D．小边的邻角等于另一邻角的外角，B≈C外3）解球面窄三角形，已知小边a与其邻角B及边c，而需要求角A及边b1）求b边的第一近似公式和第二近似公式；（2）求角A第一近似值和第二近似值公式在第一近似值不能满足高精度要求时，可求第二近似值4） 度与弧度的换算关系如下：弧度1弧度＝某一角，其值用度或分制单位表示为或，用弧度制单位计量，则它们之间的关系为：x弧度＝ arc1°=(1°的弧度值)＝0.01745弧度 arc1′=(1′的弧度值)==0.00029弧度上式则可写成： x弧度＝x°arc1°=x′arc1′5．球面三角形的解法 1）画图法：根据该三角形的已知条件，画出示意图，求出未知量 例：已知a=50°,b=70°,C=120° 画图求c A B 解：在球上取B、C两点，使BC=a＝50°, 过C点作与BC夹角120°的大圆弧 在大圆弧上取CA=70°=b 用大圆弧连接BA 则三角形ABC即为所求球面三角形 在此三角形上量出c=105°,A=75°,B=70° 2）公式法：根据已知条件，选择合适的公式，求出未知量。

有以下几种解法： 三角函数对数表法——已经淘汰 查表法——天文中讲 计算器解算法——用得最多，这里只讲此方法第二节 观测误差一、观测误差的种类、性质与处理方法1．观测定义：观测也称测量它是将所求量与作为测量单位的同类量作比较而得出测定值，是一个较复杂的过程按观测条件及观测结果的质量，分类：等精度观测和非等精度观测2．误差：观测值与所观测量的真值之间的差值 1）误差=观测值-真值2）产生观测误差的主要原因有：①人为过失②测量仪器的不完善③测量方法不准确④测者感观上的缺陷⑤环境条件的影响⑥所用的计量单位不能量尽被测量的量3．误差的种类 观测误差按其性质可分为：1）粗差(mistake)：由于观测方法的谬误或者由于观测者的粗心大意等过失而产生的误差如看错物标，读错读数，以及测量方法上的错误等等2）系统误差(systematic error)：它服从于一定的函数关系在同一条件下反复观测时，它不改变数值和符号；在条件变化时，误差或保持不变，或按一定的规律变化着如存在于罗经中的基线误差或罗经差、六分仪中的指标差、计程仪改正率、以及天体高度改正等都属于系统误差。

3）偶然误差(随机误差,random error)：其个别值不服从任何一定的函数关系在同一观测条件下，它不断地改变数值和符号随着观测次数增多，它产生的原因是临时性的、偶然性的和随机性的从总体上看，呈现出统计学上的规律，观测次数越多，这种规律性越明显如测量值中的观测误差和凑整误差、航向不稳而引起的误差，船舶摇摆而引起的观测误差等都属于偶然误差基本特征：A在一定的观测条件下，偶然误差的数值有一个限度；B绝对值小的误差出现机会比绝对值大的误差出现机会较多；C绝对值相等的正误差与负误差，其出现的机会相等D当观测次数无限增多时，误差的算术平均值趋于零4．误差的处理方法观测误差的消除和削弱的方法，是根据误差的种类不同而不同1）粗差：一般用重复观测或检核计算的方法来发现和消除它，对观测者来说应该尽可能地避免发生和排除粗差的产生2）系统误差的消除，通常采用下列两种方法：A解系统误差的规律，针对既定情况，将它求出或测出，然后对观测结果加以改正消除它。