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“隔板法”解决排列组合问题.doc

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  • 卖家[上传人]:cn****1
  • 文档编号:400415588
  • 上传时间:2022-07-24
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  • 常见问题
    • 隔板法”解决排列组合问题(高二、高三)排列组合计数问题,背景各异,方法灵活,能力要求高,对于相同元素有序分组问题,采用“隔板法”可起到简化解题的功效对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解 ,下面通过典型例子加以解决例 1、( 1) 12 个相同的小球放入编号为 1, 2, 3, 4 的盒子中,问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种?(2) 12 个相同的小球放入编号为1, 2, 3, 4 的盒子中,问不同放法有多少种?(3) 12 个相同的小球放入编号为 1, 2, 3, 4 的盒子中要求每个盒子中,要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数,问不同的方法有多少种?解:( 1)将 12 个小球排成一排,中间有 11 个间隔,在这 11 个间隔中选出 3 个,放上“隔板”,若把“ 1”,这样每一种隔板的插法,就对应了球的一种放法,即每一种从 11 个间隔中选出 3 个间隔的组合对应于一种放法,所以不同的放法有C113 =165种2)法1:(分类)①装入一个盒子有C144 种;②装入两个盒子,即12 个相同的小球装入两个不同的盒子,每盒至少装一个有C42C11166 种 ;③装入三个盒子,即12 个相同的小球装入三个不同的盒子,每盒至少装一个有C43C112 =220种 ;④装入四个盒子,即12 个相同的小球装入四个不同的盒子,每盒至少装一个有C113165 种 ;由加法原理得共有4+66+220+165=455种。

      法 2:先给每个小盒装入一个球,题目中给定的12 个小球任意装,即16 个小球装入4 个不同的盒子,每盒至少装一个的装法有C153455 种3)法1:先给每个盒子装上与其编号数相同的小球,还剩2 个小球,则这两个小球可以装在1 个盒子或两个盒子,共有C14C4210 种法 2:先给每个盒子装上比编号小1 的小球,还剩6 个小球,则转化为将6 个相同的小球装入4 个不同的盒子,每盒至少装一个,由隔板法有C5310由上面的例题可以看出法2 要比法1 简单,即此类问题都可以转化为至少分一个的问题例 2、( 1)方程x1x2x3x410 的正整数解有多少组?(2) 方程x1x2x3x410 的非负整数解有多少组?(3)方程 2x1x2x3 Lx103 的非负整数整数解有多少组?解:( 1)转化为10 个相同的小球装入4 个不同的盒子,每盒至少装一个,有C9384种,所以该方程有 84 组正整数解2)转化为 10 个相同的小球装入4 个不同的盒子,可以有空盒,先给每个小盒装一个,进而转化为 14 个相同的小球装入4 个不同的盒子,每盒至少装一个,有C133286 种,所以该方程有 286 组非负整数整数解。

      3)当 x1 0 时,转化为3 个相同的小球装入9 个不同的盒子,可以有空盒,有C113165 种当x1 1 时,转化为 1个小球装入9 个不同的盒子,可以有空盒,有C91=9 种;所以该方程有165+9=174组非负整数整数解例 3、已知集合 ,选择 的两个非空子集 A, B ,且 A 中最大的元素比 B 中最小的元素小,则选择方法有多少种?解:由题意知A, B的交集是空集,且A, B的并集是的子集C ,所以C 至少含有两个元素,将C 中元素按从小到大的顺序排列,然后分为两部分,前边的给A ,后边的给B ,A, B至少含有1 个元素,设C中有n 个元素,则转化为n 个相同的小球装入2 个不同的盒子,则有C1n 种装法,故本题有C52C53 C12C54C31C55C1449 种选择方法总之,凡是处理与“相同元素有序分组”模型时,我们都可采用“隔板法”若每组元素数目至少一个时,可用插“隔板”,若出现每组元素数目为 0 个时,向每组元素数目至少一个的模型转化,然后用“隔板”法加以解决。

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