空间力系与重心.ppt

第第3章章 空间力系的平衡与重心空间力系的平衡与重心Equilibrium of space force system & Center of gravity3.1 空间力系的平衡空间力系的平衡Equilibrium of space force system6个独立方程，求解个独立方程，求解 6个未知量个未知量xzOy若物体处于平衡状态，则物体不会沿任意方向变速移动和不会若物体处于平衡状态，则物体不会沿任意方向变速移动和不会绕任意轴变速转动绕任意轴变速转动不移不移不转不转不移不移不移不移不转不转不转不转设汇交点为坐标原点，则：设汇交点为坐标原点，则：3个独立方程，求解个独立方程，求解3个未知量个未知量空间汇交力系平衡方程：空间汇交力系平衡方程：Equilibrium equations of concurrent space force system平衡方程为：平衡方程为：OF1F2Fn空间力系平衡方程空间力系平衡方程Equilibrium equations of space force systemxzy空间力系平衡方程空间力系平衡方程设各力平行设各力平行 z 轴，则：轴，则：3个独立方程，求解个独立方程，求解3个未知量。

个未知量F1F2Fn空间平行力系平衡方程：空间平行力系平衡方程：Equilibrium equations of parallel space force system平衡方程为：平衡方程为：xzOyPQABCDMa例题例题3-1 已知圆桌半径已知圆桌半径r＝＝500mm，重力，重力P＝＝600N，圆桌的三脚，圆桌的三脚A、、B、、C形成等边三角形若中线形成等边三角形若中线CD上距圆心为上距圆心为a的点的点M作用铅垂力作用铅垂力Q＝＝1500N求：1、、a=200mm时三脚对地面的约束力；时三脚对地面的约束力； 2、使圆桌不致、使圆桌不致翻到的最大距离翻到的最大距离aFAFBFC解：解：以圆桌为研究对象以圆桌为研究对象aMxyyxzDABC解：解：以圆桌为研究对象以圆桌为研究对象FA+FB+FC－－P－－ Q ＝＝0FB×rcos30°－－FA×rcos30°＝＝0Q ×a +FC×r－－FA×rsin30°－－FB×rsin30°＝＝0例题例题3-1在载荷在载荷Q作用下，圆桌要翻倒时，作用下，圆桌要翻倒时，C腿将离开地面，使腿将离开地面，使FC＝＝0 因此，若要圆桌不翻到，必须因此，若要圆桌不翻到，必须FC≥0。

解得：解得：解得：解得：联立求解得：联立求解得：解：研究对象：研究对象：皮带轮、鼓轮、轴以及重物皮带轮、鼓轮、轴以及重物例例3-2 起重装置如图，皮带轮半径起重装置如图，皮带轮半径R＝＝200mm，鼓轮半径，鼓轮半径r＝＝100mm，，皮带紧边张力皮带紧边张力FT1是松边张力是松边张力FT2的的2倍皮带与水平方向夹角为倍皮带与水平方向夹角为30 试求匀速提升重为试求匀速提升重为10kN的物体时，皮带的张力和两个轴承的约束力的物体时，皮带的张力和两个轴承的约束力xzyo3.2 3.2 重心重心 Center of gravityPC1P1P2PiCiC2C物体的重力物体的重力——是地球对物体的吸引力是地球对物体的吸引力 若将物体视为无数微元的集若将物体视为无数微元的集合，则所有微元所受地球引力合，则所有微元所受地球引力近似构成近似构成空间平行力系空间平行力系其合力即为物体的重力其合力即为物体的重力工程中的重心问题：工程中的重心问题：塔式起重机，传动轴，赛车，振动器、塔式起重机，传动轴，赛车，振动器、打夯机等打夯机等其中心即为物体的重心其中心即为物体的重心xzyo3.2 3.2 重心重心 Center of gravityPC1P1P2PiCiC2C 实验证明，无论物体怎样放实验证明，无论物体怎样放置，其重力永远通过物体内一置，其重力永远通过物体内一个固定的点，该点为物体的重个固定的点，该点为物体的重心。

心重心重心：物体重力的作用点：物体重力的作用点各微块重力之合力，即平各微块重力之合力，即平行力系之合力，该行力系之合力，该合力作合力作用点用点，即，即 平行力系中心平行力系中心一、平行力系中心与物体重心的坐标计算一、平行力系中心与物体重心的坐标计算Center of a parallel force system & the coordinates formula of the centre of gravityP1PRP2r1r2rcxyzxc=（ Pi xi ）/ Piyc=（Pi yi ）/ Pizc=（Pi zi ）/ Pi平行力系之中心平行力系之中心位置位置——重心坐标重心坐标(合力作用点合力作用点））V一、平行力系中心与物体重心的坐标计算一、平行力系中心与物体重心的坐标计算xc=（ Pi xi ）/ Piyc=（Pi yi ）/ Pizc=（Pi zi ）/ Pi重心坐标：重心坐标：物体微块物体微块 Pi =  i  Vi，，无限细分，则有：无限细分，则有：-------------重心坐标积分式重心坐标积分式若均质，若均质， =常量，常量，则则:体积重心体积重心 （（体积分体积分））（体积形心）（体积形心）重重心心坐坐标标积积分分式式若均质，若均质，且薄壳、且薄壳、板，板， dv=hds , h 常量常量面积重心面积重心（（面积分面积分））（面积形心）（面积形心）可不在曲面上可不在曲面上体体积积重重心心，，体体积积形形心心S若均质，且细若均质，且细长曲杆或线段，长曲杆或线段， dv=A dl, A 常量常量可不在曲线上可不在曲线上线段重心线段重心（（线积分线积分））（线段形心）（线段形心）体体积积重重心心，，体体积积形形心心例例3-3 求图示三角形的形心求图示三角形的形心y坐标。

坐标在距在距x轴为轴为y处，取宽度为处，取宽度为dy的狭长条作为微面积如图，则：的狭长条作为微面积如图，则：由三角形相似，可得：由三角形相似，可得：形心的坐标为：形心的坐标为：解：解：二、一些常见的测算重心的方法二、一些常见的测算重心的方法General methods of determining the center of gravity1、组合法、组合法分割法分割法负面积法（负体积法）负面积法（负体积法）例例：求图示：求图示Z形截面的重心位置形截面的重心位置解：解：yx123面积面积Ai, 形心形心Ci简单图形的组合：简单图形的组合：Ⅰ：：A1＝＝30 10，，x1＝＝15，，y1＝＝45解解：：建立参考坐标系建立参考坐标系Oxy将图形分割为三部分，确定各部分的面积和形心坐标：将图形分割为三部分，确定各部分的面积和形心坐标：代入公式可得：代入公式可得：Ⅱ：：A2＝＝40 10，，x2＝＝35，，y2＝＝30Ⅲ：：A3＝＝30 10，，x3＝＝45，，y3＝＝5例题例题3-4 求组合法平面图形的形心位置求组合法平面图形的形心位置Rr1r2已知：偏心块已知：偏心块R=10cm, r1=1.7cm, r2=3cm 求：重心位置求：重心位置解：解：坐标如图：坐标如图：xy半径为半径为 R 的半圆：的半圆： Yc1=4R/3  A1=  R2/2半径为半径为 r2 的半圆：的半圆： Yc2= -4 r2/3  A2=   r22/2半径为半径为 r1 的整圆：的整圆：例例3-5Yc3=0 A3= -  r12yc= yiAi/ Ai=3.99(cm)偏心块重心在（偏心块重心在（0，，3.99 cm））处处2)2)将此图形分为大矩形将此图形分为大矩形ⅠⅠ和小矩形和小矩形ⅡⅡ。

3)3)由对称性可知由对称性可知1 1）建立坐标轴：）建立坐标轴：例例3-63-6：：求图形的形心位置求图形的形心位置200300101010解：解：IIIOyx188.75小矩形： AⅡ＝180×300，yⅡ＝150 大矩形： AⅠ＝200×310，yⅠ＝1552、实验法、实验法Experimental method悬挂法悬挂法 The method of suspension称重法称重法 The method of weighing悬挂法：不笨重，但形状不规则悬挂法：不笨重，但形状不规则c笨重，且形状复杂笨重，且形状复杂WFNALhcFNL2Wh2 mA=0h称重法：称重法：2、实验法、实验法悬挂法悬挂法称重法称重法确定重心的实验法悬挂法所画两条直线的交点即为重心所画两条直线的交点即为重心以连杆为例首先称出连杆的重量以连杆为例首先称出连杆的重量P，测出两孔的距离，测出两孔的距离l由于连杆由于连杆是前后、上下对称的，其重心一定在对称面、对称轴上，只需确定重是前后、上下对称的，其重心一定在对称面、对称轴上，只需确定重心心C距孔中心的距离距孔中心的距离xC 为了测定为了测定xC ，将连杆一端悬挂，一端放在台秤上，保持连杆水平，如，将连杆一端悬挂，一端放在台秤上，保持连杆水平，如图所示。

这时磅秤上的读数为图所示这时磅秤上的读数为F因车身是平衡的，故有因车身是平衡的，故有称重法：作作 业：业：空间力系：空间力系：P71-72 习题习题3-1重心重心：：P73 习题习题3-7 (b)、、(d)。