历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答.docx

名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答第 5 届（ 1971 年于保加利亚的索菲亚）【题 1】质量为 m1 和 m2 的物体挂在绳子的两端， 绳子跨过双斜面顶部的滑轮， 如图 5.1 ；斜面质量为 m，与水平面的夹角为 1 和 2；整个系统初态静止；求放开后斜面的加速度和物体的加速度；斜面保持静止的条件是什么？摩擦可以忽视；解：我们用 a 表示双斜面在惯性参照系中的加速度（正号表示向右的方向） ；用 a0 表示物体相对斜面的加速度（正号表示左边物体 m 下降）两个物体在惯性系中的加m1 m2m速度 a1 和 a2 可由矢量 a 和 a0 相加得到（如解 图 5.1图 5.1 ）；用 F 表示绳子中的张力； a对沿斜面方向的重量应用牛顿其次定律；使物体 m1 加速下降的力是 m1gsin 1－ F在惯性系中，沿斜面方向的加速度重量为a0－ acos 1a0 a1 m1 ma am2 a2a0所以，对此斜面重量，牛顿其次定律为： 解图 5.1m1（ a0－ acos 1）＝ m1gsin 1－ F同样，对于 m2 有m2（ a0－ acos 2）＝ F－ m2gsin 2两式相加：（ m1cos 1＋ m2cos 2）a＝（ m1＋ m2）a0－（ m1sin 1－ m2 sin 2）g （ 1）我们用动量守恒原理来讨论斜面的运动；斜面在惯性系中的速度为 v（向右）；物体相对斜面的速度为 v0；故斜面上两物体在惯性系中的速度的水平重量（向左）分别为： v0 cos 1－ v 和 v0 cos 2－v利用动量守恒原理： m1（ v0 cos 1－v）＋ m2（ v0 cos 2－ v）＝ m v对匀加速运动，速度与加速度成正比，因此有： m1（a0 cos 1－a）＋ m2（ a0 cos 2－a）＝ m a所以 am1 cos 1 m2 cos2a0（ 2）m m1 m2上式给出了有关加速度的信息； 很明显， 只有当两物体都静止，即两个物体平稳时，斜面才静止，这是动量守恒原理的自然结果；〕2由方程（ 1）和（ 2），可得到加速度为：a 〔m m1m2 〕〔 m1 sin 1m2 sin 2 〕 g０〔m1m2 〕〔 m m1m2 〕〔m1cos 1m2 cos 2a 〔m1 cos 1 m2 cos2 〕〔 m1 sin 1m2 sin 2 〕 g〔m1 m2 〕〔 m m1m2 〕 〔m1 cos 1m2 cos 2〕2假如 m1sin 1＝ m2sin 2 即m1 sin 2m2 sin 1就两个加速度均为零； 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -【题 2】在一个带活塞的圆筒内装配着闻名的托里拆利装置；在水银柱上方有氢气，在0圆筒内有空气； 第一步，水银柱高度 h1＝ 70cm，空气压强 pk1＝ 1.314atm ＝ 133.4kPa ＝ 100cmHg，温度为 0 C＝ 273K；其次步，向上提升活塞，直至水银柱高度降为 h2＝ 40cm，这时空气压强 为 pk2 ＝0.79atm ＝ 80kPa＝60cmHg；第三步，保持体积不变，提高温度到 T3，此时水银柱的 高度为 h3＝ 50cm；最终， 第四步， 温度为 T4，水银柱的高度为 h4＝ 45cm，空气压强没有转变； 求出最终一步中氢气的温度和压强；解：我们将空气和氢气的数据列成表；两者温度是相同的；玻璃管的长度用 L 表示；为了简洁起见，我们以装有氢气的管子长度的厘米数来度量氢气的体积；压强全部用 cmHg为单位给出（见解图 5.2 第一步至第四步） ；L 70cm 40cm 50cm 45cm次 数1234氢气压强ph1ph2ph3ph4氢气体积Vh1Vh2Vh3Vh4空气压强空气体积100cmHgVk160cmHgVk2＝pk3Vk3＝pk4Vk4两者温度273K273KT3T4解图5.2从第一步到其次步， 对氢气应用玻意耳定律： （ L－ 70）（ 100－ 70）＝（ L－ 40）（ 60－40）由此式求得玻璃管的长度 L＝ 130cm，因此，氢气在第一步至第四步中体积分别为： Vh1 ＝60cm， Vh2 ＝ 90cm， Vh3 ＝ 80cm， Vh4＝85cm〔60 40〕90〔 ph350〕80273T3从其次步到第三步，氢气的状态方程为：对空气应用盖吕萨克定律：pk 3T360273从第三步到第四步， 我们只有向上提升活塞， 以便使空气压强保持不变； 氢气的状态方程为：〔 pk 350〕 80T3〔 pk 445〕 85T4解以上方程组，得： pk3＝ pk4＝ 80cmHg， T3＝ 364K， T4＝ 451K， 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -所以氢气的压强为： ph3＝ 30cmHg ph4＝ 35cmHg算出空气的体积比为： Vk1 : Vk2 : Vk4 ＝ 6:10:12.4（注： cmHg为有用单位，应转换成国际单位 Pa）【题 3】四个等值电阻 R、四个 C＝ 1 F 的电容器以及四个电池分别在立方体的各边连 接起来，如图 5.3 所示；各电池的电压为 U1＝ 4V，U2＝ 8V， U3＝12V， U4＝ 16V，它们的内电阻均可忽视； （ a）求每个电容器的电压和电量， （ b）如 H 点与 B 点短路，求电容器 C2上的电量；解：（ a）_U 1C+ G _将这个网 R络绽开成 BC1F_U 2+RC1 + GCU1_U R C3 R2平 面 图（如解图R5.3.1 ）；由于电流不能通过 A电容器，C3 C2_U3C4 + H D_U4 R+EF _ + BR C4C2 AU3D + HR_U4+ E所以只在图 图 5.3 解图 5.3.1中 A-B-C-G-H-E-A 回路的导线中有电流；在这个回路中，电压为 12V，电阻为 4R；因此电流为： IU 4 U 14 R于是就知道了电阻和电源两端的电压； 设 A 点的电势为零， 就能很简洁地算出各点的电势；AB〔 U4－U1〕/40 V3 VC〔 U4－U1〕/26 VG〔 U4－U1〕/2＋ U110 VHE〔 U4－U1〕/2〔 U4－U1〕/2＋ U1＋ 〔 U4－ U1〕/4＋ U1＋ 〔 U4－ U1〕/213 V16 VD〔 U4－U1〕/2＋ U1＋ 〔 U4－ U1〕/4－ U31 VF〔 U4－U1〕/4－ U3＋ U211 V-6-6从每个电容器两端的电势差，可以算出其电量如下： C1 （11－ 10）V＝ 1V， 1× 10 C； C2 （16－ 11）V＝ 5V， 5× 10 C ；C-63 （6－ 1） V＝5V， 5 × 10 C ；-6C4 （1－ 0） V＝1V， 1 × 10 C ；2C _ + G我们可以算出各电容器的储能量 CU /2 ；电容器 C1 和-6 -6 UC4 各有 0.5 × 10 J ，电容器 C2 和 C3 各有 12.5 × 10 J ； 1（ b）H 点与 B 点连接，我们得到两个分电路；如解图UR R_U2+ B H5.3.2 ；在下方的分电路中， 电流为 4 ，E 点相对 A 点的电2 RC 2 R R势是 U4＝16 V ， H 点与 B 点的电势是 U4／ 2＝ 8 V ； F 点的电U4A _ + E 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -势为 U 42U 2 ＝ 16 V于是，电容器 C2 两极板的电势均为 16 V ，结果 C2 上无电量； 解图 5.3.2【题 4】在直立的平面镜前放置一个半径为 R 的球形玻璃鱼缸，缸壁很薄，其中心距离镜面 3R，缸中布满水； 远处一观看者通过球心与镜面垂A直的方向凝视鱼缸；一条小鱼在离镜面最近处以速度 v 2v v沿缸壁游动；求观看者看到的鱼的两个像的相对速度；水的折射率为 n4；如图 5.4 （3a）， 5.4 （ b）K1 T1 O B解：鱼在 1 秒钟内游过的距离为 v； 图 5.4 （ a）我们把这个距离v当作物，而必需求出两个不同的像；在运算中， 我们只 T2考虑近轴光线和 小角度，并将角度C Dr B K 2E F O的正弦用角度本身 图 5.4 （ b）去近似；在 T1 点游动的鱼只经过一个折射面就形成一个像，如图 5.4 （ a）所示；从 T1 点以角度r ＝ ∠A T1O发出的光线，在 A 点水中的入射角为 r ，在空气中的折射角为 n r ；把出射光线向相反方向延长，给出虚像的位置在 K1，明显∠ K1A T1＝n r － r ＝（ n－ 1）r从三角形 K1 T 1 A ，有：K1T1K 1 A〔n 1〕r n 1 r利用通常的近似： K1A≈ K1O＋R， K1AT1≈ K1O－ RK 1O R于是 n 1K 1O R所以这个虚像与球心的距离为nK 1O R2 n水的折射率 n4，从而 K1O＝ 2R；如折射率大于 2，就像是实像；有像距与物距之商3得到放大率为K1 O n T1O 2 n。