第三章_力矩和平面力偶系.ppt

机械基础CAI课件,,,,,,,汽 车 学 院 汽 车教 研 室,,,,,§3.1 力矩及其计算,§3.2 力偶及其性质,§3.3 平面力偶系的合成与平衡,机械基础CAI课件,,,,,,,汽 车 学 院 汽 车教 研 室,,,,,§3.1 力矩及其计算,一、力矩 设刚体在图面内受力 F 作用（图 3 -1 ）在同图面内取一点 0 ，点 0 称为矩心，矩心到力作用线的距离称为力臂，用 h 表示，则力 F 在图示平面内对矩心 O 的矩（简称力矩）的定义如下： 力矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力臂的乘积，其正负号按：力使物体逆时针转动时为正；反之为负 力对点O之矩为： Mo(F)=±Fh,机械基础CAI课件,,,,,,,汽 车 学 院 汽 车教 研 室,,,,,1）力的大小为零时，力矩为零； 2）力的作用线通过矩心时，力臂为零，故力矩为零； 3）取不同矩心时，力臂和转动方向都可能改变，故同一力对不同的矩心的力矩一般并不相等 力矩概念是从实践中总结出来的，它表示力使物体绕某点转动的效果。

如图3-2所示 力矩的单位：牛顿.米（N.m),图3-1,图3-2,机械基础CAI课件,,,,,,,汽 车 学 院 汽 车教 研 室,,,,,二、合力矩定理： 设刚体受到某一平面力系的作用此力系由力 Fl 、 FZ 、 … 、 Fn 组成，其合力为 R 在平面内任选一点 O 作为矩心，合力 R 与各分力 Fi ( i = 1 、 2 、 … 、 n ）的力矩均可按式（ 3-1 ) 计算由于合力与整个力系等效，故 合力对点O的矩，的等于各分力对点O之矩的代数和 即作用于同一点的两个力的合力对一点（或轴）之矩等于这两个分力对同一点（或轴）之矩的矢量和（或代数和）,MO(FR) = MO(F1) + MO(F2) +…+ MO(Fn) =∑ MO(Fi),机械基础CAI课件,,,,,,,汽 车 学 院 汽 车教 研 室,,,,,三、力矩的计算 力矩可用式（ 3-1 ）计算若力臂 h 不易求出，也可用式（ 3-2 ）即合力矩定理计算 例 3- 1 图 3 -3a 所示的圆柱齿轮，受到法向力 Fn的作用。

设 Fn=700N ，压力角 a = 20° ，齿轮的节圆半径 r ‘ = 80mm ，试计算力 Fn对轴 O 的矩 解：此力矩可用两种方法计算： ( 1 ）根据力矩的定义求解 由图 a 可见，力臂 h= r′ cosa ，故由式（ 3 -1 ）可得 MO ( Fn ) = Fnh = Fn r′cos a = 700 x 0 . 08×cos 20°= 52 . 62N·m 因力 Fn使齿轮逆时针转动，故力矩 MO( Fn ）为正值图 3- 3,,机械基础 CAI课件,,,,,,,汽 车 学 院 汽 车教 研 室,,,,,解：此力矩可用两种方法计算： ( 2 ）用合力矩定理求解 由图 a 可见，力臂 h= r′cosa ，故由式（ 3 -1 ）可得 MO ( Fn ) = Fnh = Fn r′cos a = 700 x 0 . 08×cos 20°= 52 . 62N·m 因力 Fn使齿轮逆时针转动，故力矩 MO( F′n ）为正值。

先将 Fn 分解为圆周力 Ft和径向力 Fr ，由图 b 可见 Ft = Fn cosa Fr = Fnsina 由式（ 3-2 ）可得 Mo ( Fn ) = Mo ( Ft ) + Mo ( Fr ) = Fncosa · r′十 0 = 700 ×cos20°0 ×0. 08 = 52 . 62N·m,,机械基础CAI课件,,,,,,,汽 车 学 院 汽 车教 研 室,,,,,图 3-4,例 3 - 2 图 3- 4 所示为一液压驱动的起重臂已知尺寸 a 、 b 、和角度 a ，试求油缸液压推力 F 对轴 O 和铰 B 的矩 解:取坐标系xOy. ( 1 ）求力 F 对 O 点的矩将力 F 沿坐标轴分解，由图可得 F= Fsina , Fy = Fcos a,机械基础CAI课件,,,,,,,汽 车 学 院 汽 车教 研 室,,,,,由式（ 3 -2 ）可得 Mo ( F ) = MO ( Fx ) + MO ( Fy ) = Fxb + Fya = F ( bsina + acosa ) ( 2 ）求力 F 对点 B 的矩。

同理可得（注意分力 Fx 通过 B 点） MB ( F ) = MB ( Fx ) + MB ( Fy ) = 0 + (-Fyc）= -Fccos a,机械基础CAI课件,,,,,,,汽 车 学 院 汽 车教 研 室,,,,,§3.2 力偶及其性质,①两个同向平行力的合力 大小：R=Q+P 方向：平行于Q、P且指向一致 作用点：C处 确定C点，由合力距定理,一、力偶,力偶：两力大小相等，作用线不重合的反向平行力叫力偶性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量机械基础CAI课件,,,,,,,汽 车 学 院 汽 车教 研 室,,,,,图3-5,图3-6,图3-7,图3-5这样的两个反向的平行力并不满足二力平衡条件，故在力偶的作用下，刚体不能保持平衡（虽然此二力的矢量和为零） 力偶不能简化为合力，即不能与一力等效力偶只能改变刚体的转动状态。

如图3-6、图3-7、图3-8和钥匙开门等. 因力偶不能简化为一力，故力偶也不能被一力所平衡力和力偶是静力学的两个基本要素机械基础CAI课件,,,,,,,汽 车 学 院 汽 车教 研 室,,,,,二、力偶矩 由上节已知，力使物体绕某点转动的效果用力矩来度量同理，力偶使物体转动的作用效果，可由组成力偶的两力对某一点的矩的代数和来度量 设刚体上作用有力偶（ F , F ‘ ) ，如图 3- 9 所示在图面内任取一点 O 为矩心，由图可见 MO ( F ) = F ( d + x ) MO ( F ‘ ) ＝- F ′ x 式中 d 为力偶臂 因 F 二 F ‘ ，可得 MO ( F ‘ ) ＝-F , x =一 Fx,图3-9,图3-9,图3-8,机械基础CAI课件,,,,,,,汽 车 学 院 汽 车教 研 室,,,,,故力偶（ F , F ‘ ）对矩心 O 的矩为 Mo ( F ) + Mo ( F ' ）=F ( d + x ）一 Fx = Fd 上式右边为正值，说明两力矩的代数和使刚体逆时针转动，与该力偶驱使刚体转动的转向一致。

上式说明：力偶对其作用面内任意一点的矩为一恒定代数量，该量称为力偶矩，它表示力偶对物体转动的作用效果 由上述可知:力偶矩是代数量，其绝对值等于力偶中的一力的大小与力偶臂的乘积，其正负号确定如下：力偶使物体逆时针转动为正，反之为负力偶对其作用平面内任意 一点的矩恒等于力偶矩用 M 表示力偶矩，可得 M =士 Fd ( 3 - 3 ) 力偶矩的单位与力矩的单位相同机械基础CAI课件,,,,,,,汽 车 学 院 汽 车教 研 室,,,,,三、力偶的性质 作用在刚体内同一平面上的两个力偶，只要两者的力偶矩相等则两力偶等效即只有M1=M2，两力偶等效 a ) ( b ) 图 3-10,机械基础CAI课件,,,,,,,汽 车 学 院 汽 车教 研 室,,,,,三、力偶的性质 作用在刚体内同一平面上的两个力偶，只要两者的力偶矩相等则两力偶等效。

即只有M1=M2，两力偶等效 由上述力偶等效的条件可以看出： ( 1 ）力偶可以在其作用面内任意转移，而不改变它对刚体的作用因为这种转移不改变其力偶矩； ( 2 ）只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用 例如图 3-11 所示的方向盘，司机对它所施加的力偶由（ F , F ' ）变为（2F , 2F ' ）时，只要将力偶臂同时减半，使方向盘转动的效果就不会变化若将（ F , F ' ）改为（ F1 , F1′）并保持 Fl = F ，作用效果也不变机械基础CAI课件,,,,,,,汽 车 学 院 汽 车教 研 室,,,,,图 3- 11 图 3-12 由此可见，力偶中力的三要素和力偶臂长度都不是力偶的特征量，决定平面内力偶对刚体作用效果的唯一特征量是力偶矩 M 作用在刚体上的力偶，可按图 3- 12 中的任一种方法来表示机械基础CAI课件,,,,,,,汽 车 学 院 汽 车教 研 室,,,,,§3.3 平面力偶系的合成与平衡,作用在刚体上同一平面内的几个力偶称为平面力偶系。

可以证明，平面力偶系能与一个力偶等效，这个力偶称为该平面力偶系的合力偶，合力偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和 用 M 表示合力偶矩，用 Ml 、 MZ 、 … 、 Mn 表示力偶系中的各力偶矩，则有 M ＝∑ M ( 3 一 4 ) 由上述结果可知，平面力偶系平衡的必要和充分的条件是各力偶矩的代数和为零，即 ∑ Mi = 0 ( 3 一 5 ) 用式（ 3- 5 ）可以解决平面力偶系的平衡问题，其解题步骤与 § 2 一 4 中所述步骤类似。