高中数学 精讲优练课型 第二章 平面向量 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义课件 新人教版必修4.ppt

2.2.3向量数乘运算及其几何意义【【知知识提提炼】】1.1.向量的数乘运算向量的数乘运算(1)(1)定定义：：规定定实数数λλ与向量与向量a的的积是一个是一个__________，，这种运算叫做向量种运算叫做向量的数乘，的数乘，记作：作：________，它的，它的长度和方向度和方向规定如下：定如下：①①| |λλa|=||=|λ||λ||a| |；；②②当当λ>0λ>0时，，λλa的方向与的方向与a的方向的方向__________；；当当λ<0λ<0时，，λλa的方向与的方向与a的方向的方向_____._____.向量向量λλa相同相同相反相反(2)(2)运算律：运算律：设λλ，，μμ为任意任意实数，数，则有：有：①①λ(μλ(μa)=________)=________；；②②( (λ+μ)λ+μ)a=________=________；；③③λ(a+bλ(a+b)=________)=________；；特特别地，有地，有(-(-λ)λ)a=_______=_______=_______=_______；；λ(λ(a- -b)=________.)=________.2.2.向量共向量共线的条件的条件向量向量a( (a≠≠0) )与与b共共线，当且，当且仅当有唯一一个当有唯一一个实数数λλ，使，使____________. .( (λμ)λμ)aλλa+μ+μaλλa+λ+λb-(-(λλa) )λ(-λ(-a) )λλa-λ-λbb= =λλa3.3.向量的向量的线性运算性运算向量的加、减、数乘运算向量的加、减、数乘运算统称称为向量的向量的线性运算性运算. .对于任意向量于任意向量a，，b及及任意任意实数数λλ，，μμ1 1，，μμ2 2，恒有，恒有λ(μλ(μ1 1a±μ±μ2 2b)=______________.)=______________.λμλμ1 1a±λμ±λμ2 2b【【即即时小小测】】1.1.思考下列思考下列问题. .(1)(1)实数数λλ与向量与向量a的乘的乘积λλa是向量，那么是向量，那么实数数λλ与向量与向量a的和的和λ+λ+a与与差差λ-λ-a是向量是向量吗？？提示：提示：λλ+ +a与与λλ- -a不是向量，因为实数不是向量，因为实数λλ与向量与向量a可以作积为可以作积为λλa，但，但不可以做加减法，因为不可以做加减法，因为λλ+ +a与与λλ- -a是无意义的是无意义的. .(2)(2)向量向量-4-4a的模是向量的模是向量2 2a的模的的模的2 2倍倍吗？？提示：提示：向量向量-4-4a的模是向量的模是向量2 2a的模的的模的2 2倍倍. .因为因为|-4|-4a|=4||=4|a| |，，|2|2a|=2||=2|a| |，所以，所以|-4|-4a|=2|=2××|2|2a|.|.2.2.存在两个非零向量存在两个非零向量a，，b满足足b=-3=-3a，，则有有( (　　　　) )A.A.a与与b方向相同方向相同 B.B.a与与b方向相反方向相反C.|C.|a|=|3|=|3b| | D.|D.|a|=||=|b| |【【解析解析】】选选B.B.因为因为-3<0-3<0，所以，所以a与与-3-3a方向相反方向相反. .且且|-3|-3a|=3||=3|a| |，即，即| |b|=3||=3|a|.|.3.3.下列运算正确的个数是下列运算正确的个数是( (　　　　) )①(-3)·2①(-3)·2a=-6=-6a；；②②2(2(a+ +b)-(2)-(2b- -a)=3)=3a；；③③( (a+2+2b)-(2)-(2b+ +a)=0.)=0.A.0 B.1 A.0 B.1 C.2 C.2 D.3D.3【【解析解析】】选选C.C.①②①②正确，正确，③③错误，应为错误，应为( (a+2+2b)-(2)-(2b+ +a)=)=0，因为两个，因为两个向量的和或差仍为向量向量的和或差仍为向量. .4.4.化化简3(23(2a+4+4b)-2(3)-2(3a- -b)=________.)=________.【【解析解析】】3(23(2a+4+4b)-2(3)-2(3a- -b)=6)=6a+12+12b-6-6a+2+2b=14=14b. .答案：答案：1414b5.5.已知已知| |a|=4|=4，，| |b|=8|=8，若两向量方向相同，，若两向量方向相同，则向量向量a与向量与向量b的关系的关系为b=________=________a. .【【解析解析】】由于由于| |a|=4|=4，，| |b|=8|=8，则，则| |b|=2||=2|a| |，又两向量同向，故，又两向量同向，故b=2=2a. .答案：答案：2 2【【知知识探究探究】】知知识点点1 1 向量数乘运算以及运算律向量数乘运算以及运算律观察如察如图所示内容，回答下列所示内容，回答下列问题：：问题1 1：已知非零向量：已知非零向量a，作出，作出a+ +a+ +a和和(-(-a)+(-)+(-a) )，你能，你能说出它出它们的几的几何意何意义吗？？问题2 2：：实数与向量能否数与向量能否进行加减运算？行加减运算？实数与向量相乘的数与向量相乘的结果是果是实数数还是向量？是向量？问题3 3：：λλa与与a的大小和方向有什么关系？的大小和方向有什么关系？【【总结提升提升】】1.1.向量数乘定向量数乘定义的两个关注点的两个关注点(1)(1)条件：一个条件：一个实数与一个向量乘数与一个向量乘积. .(2)(2)结论：向量数乘的：向量数乘的结果果为一个向量，其模等于一个向量，其模等于这个个实数的数的绝对值与与这个向量模的乘个向量模的乘积，其方向与，其方向与实数的正数的正负有关有关. .2.2.从两个角度看数乘向量从两个角度看数乘向量(1)(1)代数角度代数角度. .λλ是是实数，数，a是向量，它是向量，它们的的积仍是向量；另外，仍是向量；另外，λλa= =0的条件是的条件是λ=0λ=0或或a= =0. .(2)(2)几何角度几何角度. .①①当当|λ|>1|λ|>1时，有，有| |λaλa|>|a||>|a|，，这意味着表示向量意味着表示向量a的有向的有向线段在原方段在原方向向(λ>1)(λ>1)或反方向或反方向(λ<-1)(λ<-1)上伸上伸长到到a的的λλ倍；倍；②②当当0<|λ|<10<|λ|<1时，有，有| |λλa|<||<|a| |，，这意味着表示向量意味着表示向量a的有向的有向线段在原段在原方向方向(0<λ<1)(0<λ<1)或反方向或反方向(-1<λ<0)(-1<λ<0)上上缩短到短到a的的λλ倍倍. .知知识点点2 2 向量共向量共线的条件的条件观察如察如图所示内容，回答下列所示内容，回答下列问题：：问题1 1：在向量共：在向量共线的条件中，若向量的条件中，若向量a= =0，，则该定理是否成立？定理是否成立？问题2 2：若向量：若向量a，，b共共线，，则一定有一定有a= =λλb(λ∈R(λ∈R) )吗？？问题3 3：根据向量共：根据向量共线的条件，的条件，对于非零向量于非零向量a，，b，如何确定，如何确定实数数λλ，使，使b= =λλa？？【【总结提升总结提升】】1.1.对向量共线的条件的说明对向量共线的条件的说明(1)(1)在向量共线的条件中之所以限定在向量共线的条件中之所以限定a≠≠0，是由于若，是由于若a= =b= =0，虽然，虽然λλ仍仍然存在，可是然存在，可是λλ不唯一不唯一. .(2)(2)根据向量共线的条件，对于非零向量根据向量共线的条件，对于非零向量a，，b，确定实数，确定实数λλ，使，使b= =λλa时，分两点：时，分两点：①①确定符号，确定符号，a与与b同向时，同向时，λλ为正；为正；a与与b反向时，反向时，λλ为为负负.②.②确定确定λλ的绝对值，的绝对值，2.2.向量共向量共线条件的两个条件的两个应用用(1)(1)对于向量于向量a( (a≠≠0) )与与b，如果有一个，如果有一个实数数λλ，使得，使得b= =λλa，那么由向量，那么由向量数乘的定数乘的定义知，向量知，向量a与与b是共是共线的的. .(2)(2)向量向量a( (a≠≠0) )与与b共共线，若向量，若向量b的的长度是度是a的的长度的度的λλ倍，倍，| |b|=|=λ|λ|a| |，那么，当，那么，当a与与b同向同向时，有，有b= =λλa；当；当a与与b反向反向时，有，有b= =- -λaλa；当；当b= =0时，，则λ=0λ=0，，总之都可以表示成之都可以表示成b= =λλa( (其中其中λλ唯一确定唯一确定). ). 【【题型探究型探究】】类型一类型一 向量的线性运算向量的线性运算【【典例典例】】1.1.在在▱ ▱ABCDABCD中，中， =2=2a，， =3=3b，则，则 等于等于( )( )A A．．a+ +b B B．．a- -bC C．．2 2a+3+3b D D．．2 2a-3-3b2.2.化简下列各式化简下列各式(1)2(3(1)2(3a-2-2b)+3()+3(a+5+5b)-5(4)-5(4b- -a).).(2) [((2) [(a+2+2b)+3)+3a- (6- (6a-12-12b)].)].(3)2(5(3)2(5a-4-4b+ +c)-3()-3(a-3-3b+ +c)-7)-7a. .【【解题探究解题探究】】1.1.典例典例1 1中在中在▱ ▱ABCDABCD中中 与与 ，， 的关系是什么？的关系是什么？提示：提示：2.2.典例典例2 2中的化简题目一般按照怎样的顺序进行？中的化简题目一般按照怎样的顺序进行？提示：提示：简单的化简问题，把握运算顺序为：去括号、数乘向量、向量简单的化简问题，把握运算顺序为：去括号、数乘向量、向量加减加减. .【【解析解析】】1.1.选选C. =2C. =2a+3+3b. .2.(1)2.(1)原式原式=6=6a-4-4b+3+3a+15+15b-20-20b+5+5a=14=14a-9-9b. .(2)(2)原式原式= = a+ + b+ + a- - a+ +b= = a+ + b. .(3)(3)原式原式=10=10a-8-8b+2+2c-3-3a+9+9b-3-3c-7-7a= =b- -c. .【【方法技巧方法技巧】】向量线性运算的基本方法向量线性运算的基本方法(1)(1)类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算. .例如，实例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的与向量的乘积中同样适用，但是在这里的““同类项同类项”“”“公因式公因式””指向指向量，实数看作是向量的系数量，实数看作是向量的系数. .(2)(2)方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算用运算律，简化运算. .【【拓展延伸拓展延伸】】向量线性运算的技巧向量线性运算的技巧(1)(1)不在图形中的简单化简问题依照数乘向量的运算律进行不在图形中的简单化简问题依照数乘向量的运算律进行. .(2)(2)在具体图形中的数乘向量化简一般要利用向量的加法在具体图形中的数乘向量化简一般要利用向量的加法( (减法减法) )找到找到向量间的关系，再利用数乘向量的运算进行化简向量间的关系，再利用数乘向量的运算进行化简. .(3)(3)具体图形中的数乘向量化简要结合图形的性质进行具体图形中的数乘向量化简要结合图形的性质进行. .【【变式训练变式训练】】1.1.若向量若向量a=3=3i-4-4j，，b=5=5i+4+4j，则，则( ( a- -b)-3()-3(a+ + b)+(2)+(2b- -a)=_______.)=_______.【【解析解析】】( ( a- -b)-3()-3(a+ + b)+(2)+(2b- -a) )= = a- -b-3-3a-2-2b+2+2b- -a=-=- a- -b=- =- (3(3i-4-4j)-(5)-(5i+4+4j) )=-11=-11i+ + j-5-5i-4-4j=-16=-16i+ + j. .答案：答案：-16-16i+ + j2.2.点点D D，，E E，，F F分别为分别为△△ABCABC的边的边BCBC，，CACA，，ABAB的中点，且的中点，且BC=BC=a，，CA=CA=b，给，给出下列等式：出下列等式：①① =- =- a- -b；；② ② = =a+ + b；；③ ③ =- =- a+ + b；；④ ④ = =0. .其中正确的序号为其中正确的序号为__________.__________.【【解析解析】】如图，如图，=-=-b+ =-+ =-b- - a，， = =a+ + b，， =- =-b- -a，，= =b+ (-+ (-b- -a)= )= b- - a，， = =b- - a+ +a+ + b+ + b- - a= =0. .答案：答案：①②③④①②③④类型二类型二 向量共线的条件的应用向量共线的条件的应用【【典例典例】】1.(2015·1.(2015·无锡高一检测无锡高一检测) )已知已知A A，，B B，，P P三点共线，三点共线，O O为直线外为直线外任意一点，若任意一点，若 ，则，则x+yx+y=_______.=_______.2.2.设两个向量设两个向量a与与b不共线，若不共线，若 = =a+ +b，， =2=2a+8+8b，， =3(=3(a- -b) )，求证：，求证：A A，，B B，，D D三点共线三点共线. .【【解题探究解题探究】】1.1.典例典例1 1中中A A，，B B，，P P三点共线，得到三点共线，得到 有怎样的关系有怎样的关系？？提示：提示：因为因为A A，，B B，，P P三点共线，所以存在实数三点共线，所以存在实数λλ使得使得2 2．典例．典例2 2中判断三点中判断三点A A，，B B，，D D共线的关键是什么？共线的关键是什么？提示：提示：欲证三点欲证三点A A，，B B，，D D共线，关键是证存在实数共线，关键是证存在实数λλ，使，使 ，只要，只要根据已知条件找出根据已知条件找出λλ即可．即可．【【解析解析】】1.1.由于由于A A，，B B，，P P三点共线，所以向量三点共线，所以向量 在同一条直线上，在同一条直线上，由向量共线的条件可知，必定存在实数由向量共线的条件可知，必定存在实数λλ使使即即 ，所以，所以故故x=1-λx=1-λ，，y=λy=λ，即，即x+y=1.x+y=1.答案：答案：1 12.2.因为因为 = =a+ +b，， =2=2a+8+8b，， =3( =3(a- -b) )，，所以所以 =2=2a+8+8b+3(+3(a- -b) )=2=2a+8+8b+3+3a-3-3b=5(=5(a+ +b)=5 .)=5 .所以所以 共线，又因为它们有公共点共线，又因为它们有公共点B B，所以，所以A A，，B B，，D D三点共线三点共线. .【【延伸探究延伸探究】】若本例若本例2 2中中 = =a+λ+λb，其他条件不变，且，其他条件不变，且A A，，B B，，D D共线，共线，试求试求λλ的值的值. .【【解析解析】】因为因为 = =a+λ+λb+3(+3(a- -b)=4)=4a+(λ-3)+(λ-3)b，，因为因为A A，，B B，，D D三点共线，三点共线，所以存在实数所以存在实数μμ，使得，使得所以所以4 4a+(λ-3)+(λ-3)b= =μ(μ(a+ +b) )，，又因为又因为a，，b是不共线的两个向量，是不共线的两个向量，所以所以 所以所以λ=7.λ=7.【【方法技巧方法技巧】】用向量共线的条件证明两直线平行或重合的思路用向量共线的条件证明两直线平行或重合的思路(1)(1)若若b=λ=λa( (a≠≠0) )，且，且b与与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行所在的直线无公共点，则这两条直线平行. .(2)(2)若若b=λ=λa( (a≠≠0) )，且，且b与与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合所在的直线有公共点，则这两条直线重合. .例如，若例如，若 ，则，则 与与 共线，又共线，又 与与 有公共点有公共点A A，从而，从而A A，，B B，，C C三点共线，这是证明三点共线的重要方法三点共线，这是证明三点共线的重要方法. .【【拓展延伸拓展延伸】】用向量共线的条件求参数的方法用向量共线的条件求参数的方法(1)(1)三点三点A A，，B B，，C C共线问题：利用共线问题：利用 构造方程求参数构造方程求参数. .(2)(2)已知向量已知向量m ma+n+nb与与k ka+p+pb( (a与与b不共线不共线) )共线求参数值的步骤共线求参数值的步骤①①设：设：m ma+n+nb= =λ(kλ(ka+p+pb).).②②整：整理得整：整理得( (m-λk)m-λk)a=(=(λp-n)λp-n)b，故，故③③解：解方程组得参数值解：解方程组得参数值. .【【变式训练变式训练】】1.(2015·1.(2015·全国卷全国卷Ⅱ)Ⅱ)设向量设向量a，，b不平行，向量不平行，向量λλa+ +b与与a+2+2b平行，则实数平行，则实数λ=______λ=______．．【【解题指南解题指南】】由向量由向量λλa+ +b与与a+2+2b平行，得到平行，得到λλa+ +b=k(=k(a+2+2b) )，利用向，利用向量相等求解量相等求解. .【【解析解析】】因为向量因为向量λλa+ +b与与a+2+2b平行，平行，所以所以λλa+ +b=k(=k(a+2+2b) )，则，则 所以所以λ=λ=答案：答案：2.(2015·2.(2015·蚌埠高一检测蚌埠高一检测) )设设a a，，b b是两个不共线向量，已知是两个不共线向量，已知 = =2 2a+m+mb，， = =a+3+3b，若，若A A，，B B，，C C三点共线，求三点共线，求m m的值的值. .【【解题指南解题指南】】由于由于A A，，B B，，C C三点共线，则两向量三点共线，则两向量 共线，根据向量共共线，根据向量共线的条件可得，一定存在一个实数线的条件可得，一定存在一个实数λλ使得使得 ，利用向量相等求，利用向量相等求m m的的值值. .【【解析解析】】因为因为A A，，B B，，C C三点共线，所以三点共线，所以 共线，即共线，即 ，所以，所以2 2a+m+mb=λ(=λ(a+3+3b) )，故，故λ=2λ=2，，m=3λm=3λ，解得，解得m=6.m=6.【【补偿训练补偿训练】】对于对于△△ABCABC内部的一点内部的一点O O，存在实数，存在实数λλ使得使得=λ( )=λ( )成立，则成立，则△△OBCOBC与与△△ABCABC的面积比为的面积比为( )( )A.1∶2 B.1∶3 A.1∶2 B.1∶3 C.2∶3 C.2∶3 D.D.与与λλ有关有关【【解析解析】】选选A.A.如图所示，设如图所示，设D D，，E E分别是分别是ABAB，，ACAC的中点，以的中点，以OAOA，，OBOB为邻为邻边作平行四边形边作平行四边形OAGBOAGB，以，以OAOA，，OCOC为邻边作平行四边形为邻边作平行四边形OAFCOAFC，则，则 因为因为 =λ( )=λ( )，，所以所以所以点所以点O O在直线在直线DEDE上上. .又因为又因为D D，，E E分别是分别是ABAB，，ACAC的中点，所以的中点，所以△△OBCOBC与与△△ABCABC的面积比是的面积比是1∶2.1∶2.【【延伸探究延伸探究】】若把本题中的条件改为若把本题中的条件改为 ，则，则△△AOBAOB与与△△AOCAOC的面积之比为的面积之比为__________.__________.【【解析解析】】如图，由平行四边形法则，知如图，由平行四边形法则，知 其中其中E E为为ACAC的中点的中点. .所以所以 所以所以设点设点A A到到BDBD的距离为的距离为h h，则，则S S△AOB△AOB= | |·h= | |·h，，S S△AOC△AOC=2S=2S△AOE△AOE=| |·=| |·h h，所以，所以答案：答案：1∶31∶3类型三类型三 用已知向量表示未知向量用已知向量表示未知向量【【典例典例】】1.1.设设D D，，E E，，F F分别是分别是△△ABCABC的三边的三边BCBC，，CACA，，ABAB上的点，且上的点，且 则则 与与 ( ) ( )A A．反向平行．反向平行 B B．同向平行．同向平行C C．互相垂直．互相垂直 D D．既不平行也不垂直．既不平行也不垂直2.2.如如图所示，四所示，四边形形OADBOADB是以向量是以向量 = =a，， = =b为邻边的平行四的平行四边形形．又．又 试用用a，，b表示表示【【解题探究解题探究】】1.1.典例典例1 1中，判断中，判断 与与 之间的关系的解题之间的关系的解题思路是什么？思路是什么？提示：提示：看看 能否用能否用 来表示来表示. .2.2.典例典例2 2中利用已知条件可以找到哪些与所求向量和已知向量有关的中利用已知条件可以找到哪些与所求向量和已知向量有关的等量关系？等量关系？提示提示：：【【解析解析】】1.1.选选A.A.因为因为所以所以 与与 平行且方向相反．平行且方向相反．2.2.所以所以 = =b+ + a- - b= = a+ + b. .因为因为所以所以= ( )= (= ( )= (a+ +b) )，， = ( = (a+ +b)- )- a- - b= = a- - b. .【【延伸探究延伸探究】】1.(1.(改变问法改变问法) )在本例在本例2 2条件中，试用条件中，试用a，，b表示表示【【解析解析】】方法一方法一：：又又 = (= (a+ +b) )，， = = a+ + b，，所以所以 = = a+ + b- - a- - b=- =- a+ + b. .方法二：因为方法二：因为所以所以 = (= (b- -a)=- )=- a+ + b. .2.(2.(变换条件变换条件) )若本例若本例2 2中中 = =a，， = =b，其他条件不变，试用，其他条件不变，试用a，，b表示表示【【解析解析】】【【方法技巧方法技巧】】用已知向量表示其他向量的两种方法用已知向量表示其他向量的两种方法(1)(1)直接法直接法(2)(2)方程法方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程程. .【【补偿训练】】1.1.如如图，，设△△ABCABC的的重重心心为G G，，O O是是△△ABCABC所所在在平平面面内内的的一一点，且点，且 = =a，， = =b，， = =c，，则 =________.=________.【【解题指南解题指南】】由由OGOG是是△△OGAOGA的一条边，所以的一条边，所以 因此，只要能求得因此，只要能求得向量向量 即可即可. .又因为又因为G G为为△△ABCABC的重心，所以的重心，所以 ，只要能求得向量，只要能求得向量 即可即可. .【【解析解析】】易知，易知，所以所以又因为又因为所以所以故故答案：答案：2.2.如如图所所示示，，D D，，E E分分别是是△△ABCABC中中边ABAB，，ACAC的的中中点点，，M M，，N N分分别是是DEDE，，BCBC的中点，已知的中点，已知 = =a，， = =b，，试用用a，，b分分别表示表示【【解析解析】】由三角形中位线定理由三角形中位线定理，知，知DEDE BC BC，故，故 即即 =- =-a+ +b+ + a=- =- a+ +b. .=- =- a- -b+ + a= = a- -b. .规范解答范解答 向量共向量共线的条件的的条件的应用用【【典例典例】】(12(12分分)(2015·)(2015·合肥高一检测合肥高一检测) )如图所如图所示，在示，在△△ABCABC中，中，D D，，F F分别是分别是BCBC，，ACAC的中点，的中点，且且(1)(1)用用a，，b表示向量表示向量(2)(2)求证：求证：B B，，E E，，F F三点共线三点共线. .【【审题指导审题指导】】(1)(1)要用要用a，，b表示向量表示向量 ，只需根据题目中，只需根据题目中的条件，把所表示的向量放在三角形中，用三角形法则联系起来求解的条件，把所表示的向量放在三角形中，用三角形法则联系起来求解. .(2)(2)要证要证B B，，E E，，F F三点共线，只需证明三点共线，只需证明【【规范解答规范解答】】(1)(1)延长延长ADAD到到G G，使，使 ，连接，连接BGBG，，CGCG，因为，因为D D是是BCBC和和AGAG的中点，的中点，【【题后悟道后悟道】】1.1.熟熟练应用加法和减法法用加法和减法法则用已知向量表示未知向量可借助三角形法用已知向量表示未知向量可借助三角形法则或平行四或平行四边形法形法则. .将未将未知向量与已知向量知向量与已知向量纳入同一个三角形中，或将已知向量和未知向量入同一个三角形中，或将已知向量和未知向量纳入到同一个平行四入到同一个平行四边形中，再根据向量的加、减法和数乘运算建立已形中，再根据向量的加、减法和数乘运算建立已知向量与未知向量知向量与未知向量间的关系，的关系，实现已知向量与未知向量已知向量与未知向量间的沟通的沟通. .2.2.把握向量共把握向量共线的条件的的条件的应用用利用向量共利用向量共线判断三点共判断三点共线是判断三点共是判断三点共线常用的方法常用的方法. .在本在本题中可中可以先作以先作图，通，通过观察察图形得到三点共形得到三点共线的猜想，再将平面几何中判断的猜想，再将平面几何中判断三点共三点共线的方法的方法转化化为用向量共用向量共线证明三点共明三点共线. .。