高等数学隐函数求导.ppt

目录 上页 下页 返回 结束 第四节一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数 隐函数和参数方程求导 第二章 目录 上页 下页 返回 结束 一、隐函数的导数一、隐函数的导数若由方程可确定 y 是 x 的函数 ,由表示的函数 , 称为显函数显函数 .例如例如,可确定显函数可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .函数为隐函数隐函数 .则称此隐函数求导方法求导方法: 两边对 x 求导( 注意 y = y(x) )(含导数 的方程)（隐函数的显化）（隐函数的显化）目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求由方程在 x = 0 处的导数解解: 方程两边对 x 求导得因 x = 0 时 y = 0 , 故确定的隐函数目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求椭圆在点处的切线方程.解解: 椭圆方程两边对 x 求导故切线方程为即目录 上页 下页 返回 结束 的一阶导数确定的隐函数求由方程练习：练习：二阶导数解解: 方程两边对 x 求导， 得目录 上页 下页 返回 结束 隐函数求高阶导数隐函数求高阶导数法法1: 由隐函数直接求出一阶导数由隐函数直接求出一阶导数,用一阶导用一阶导 数的显式继续求导数的显式继续求导.法法2: 反复用隐函数的表达式直接求反复用隐函数的表达式直接求n阶导数阶导数.目录 上页 下页 返回 结束 例例3 3解解目录 上页 下页 返回 结束 练习练习 设由方程确定 , 解解: 方程两边对 x 求导, 得再求导, 得②当时,故由 ① 得再代入 ② 得 求①目录 上页 下页 返回 结束 观察函数观察函数方法方法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.--------对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :对数求导法对数求导法，可用来求，可用来求幂指函数幂指函数和和多个因子连乘积多个因子连乘积函数、开方函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导及其它适用于对数化简的函数的求导对数求导法对数求导法目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求的导数 . 解解: 两边取对数 , 化为隐式两边对 x 求导目录 上页 下页 返回 结束 求的导数 . 解解:目录 上页 下页 返回 结束 又如又如, 对 x 求导两边取对数目录 上页 下页 返回 结束 二、由参数方程所确定的函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数例如例如消去参数消去参数问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?目录 上页 下页 返回 结束 若参数方程可确定一个 y 与 x 之间的函数可导, 且则时, 有时, 有(此时看成 x 是 y 的函数 )关系,目录 上页 下页 返回 结束 若上述参数方程中二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数 .利用新的参数方程,可得目录 上页 下页 返回 结束 例例5 5解解目录 上页 下页 返回 结束 例例6 6解解目录 上页 下页 返回 结束 所求切线方程为所求切线方程为目录 上页 下页 返回 结束 ?例例7. 设, 且求已知解解:练习练习: 解解:注意注意 :对谁求导? 求目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 隐函数求导法则直接对方程两边求导2. 对数求导法 :适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3. 参数方程求导法求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式目录 上页 下页 返回 结束 1. 设由方程确定,解解: 方程两边对x 求导, 得且 存在，求思考与练习思考与练习目录 上页 下页 返回 结束 解解解得解得目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P82 1(2)(3) ; 2 ; 4 (2) (4) ; 5 (1) (2); 6 (2) ; 8 第五节 目录 上页 下页 返回 结束 求其反函数的导数 .解解:方法方法1方法方法2等式两边同时对 求导思考题思考题1. 设目录 上页 下页 返回 结束 , 求解解：方程组两边同时对 t 求导, 得 2. 设目录 上页 下页 返回 结束 练练 习习 题题一、一、 填空题：填空题：1 1、、 设设01552223= =+ +- -+ +- -yxyyxx确定了确定了 y是是x的函的函数，则数，则)1 , 1(dxdy=________=________. .2 2、、 曲线曲线733= =- -+ +xyyx在点在点（（1 1，，2 2）处的切线方程）处的切线方程是是___________.___________.3 3、、 曲线曲线î îí íì ì= == =ttyttxsincos在在2p p= =t处的法线方程处的法线方程________.________.4 4、、 已知已知î îí íì ì= == =teytexttsincos, ,则则dxdy=______=______；；3p p= =tdxdy=______.=______.5 5、、 设设yxexy+ += =, ,则则dxdy=________.=________.目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 求下列方程所确定的隐函数求下列方程所确定的隐函数y y 的二阶导数的二阶导数22dxyd：：1 1、、 ；；2 2、、 ；；3 3、、 yxxy = = )00(> >> >yx，，. .三、三、 用对数求导法则求下列函数的导数：用对数求导法则求下列函数的导数：1 1、、 2xxy = =；；2 2、、 54)1()3(2+ +- -+ += =xxxy；；3 3、、 xexxy- -= =1sin. .目录 上页 下页 返回 结束 四、四、 求下列参数方程所确定的函数的二阶导数求下列参数方程所确定的函数的二阶导数22dxyd：：1 1、、î îí íì ì= == =tbytaxsincos ；；2 2、、î îí íì ì- -¢ ¢= =¢ ¢= =)()()(tftf tytfx 设设)(tf¢ ¢ ¢ ¢存在且不为零存在且不为零 . .五、五、 求由参数方程求由参数方程î îí íì ì- -= =+ += =ttytxarctan)1ln(2所确定的函数的所确定的函数的 二阶导数二阶导数22dxyd . .六、设六、设)(xf满足满足xxfxf3)1(2)(= =+ +，求，求)(xf¢ ¢ . .目录 上页 下页 返回 结束 练习题答案练习题答案一、一、1 1、、34；； 2 2、、02311= =- -+ +yx 3 3、、022= =+ +- -p pp pyx；； 4 4、、32,sincoscossin- -- -- -+ +tttt；； 5 5、、yxyxexye+ ++ +- -- -. .二、二、1 1、、；； 2 2、、- -)(cot)(csc232yxyx+ ++ +；； 3 3、、322)1(ln)1(ln)1(ln+ ++ +- -+ +yxyxxyy. .目录 上页 下页 返回 结束 三、三、1 1、、)1ln2(12+ ++ +xxx；； 2 2、、]1534)2(21[)1()3(254+ +- -- -- -+ ++ +- -+ +xxxxxx；； 3 3、、])1(2cot1[1sin21xxxeexxexx- -- -+ +- -. .四、四、1 1、、tab32sin；； 2 2、、)(1tf¢ ¢ ¢ ¢. .五、五、241tt + +. . 六、六、212x+ +. .。