机械工程控制基础课件第三章线性系统的时域分析第2讲.doc

机械工程控制基础课件第三章_线性系统的时域分析(第2讲)二阶系统的标准形式，相应的方块图如图3-8所示（3-18）－自然频率（或无阻尼振荡频率）－阻尼比（相对阻尼系数）二阶系统的动态特性，可以用和加以描述,二阶系统的特征方程： （3-19）（3-20）33>.3.2 二阶系统的单位阶跃响应 Unit-Step Response of Second-Order Systems阻尼比是实际阻尼系数F与临界阻尼系数的比值 －临界阻尼系数，时，阻尼系数机械工程二． 二阶系统的单位阶跃响应 若系统的输入信号为单位阶跃函数，即 则二阶系统的阶跃路应函数的Laplace变换式为：机械工程其响应函数讨论如下： （1）当 ，系统为欠阻尼系统时，由式（3.4.8）有 或 式（3.4.10）中的第二项是瞬态项，是减幅正弦振荡函数，它的振幅随时间t的增加而减小3.4.10）机械工程 （2）当 ，系统为无阻尼系统时，由式(3.4.9)可知 （3）当 ，系统为临界阻尼系统时，由式（3.4.8），有 其响应的变化速度为： 由此式可知：当t=0时， 时， 时， ，这说明过渡过程在开始时刻和最终时刻的变化速度为零，过渡过程是单调上升的。

3.4.12)机械工程 （4）当 ，系统为过阻尼系统时，由式（3.4.8）有 式中， (3.4.13)机械工程 计算表明，当 时，在式（3.4.13）的两个衰减的指数项中， 的衰减比 的要快得多，因此，过渡过程的变化以 项其主要作用从S平面看，愈靠近虚轴的根，衰减越慢，对过渡过程影响愈大，起主导作用 式（3.4.10）～式（3.4.13）所描述的单位阶跃响应函数如图3.4.3所示机械工程机械工程二阶系统的单位阶跃响应函数过渡过程特性 ：为衰减振荡，随着阻尼的减小，振荡愈加强烈；ξ=0：等幅振荡；ξ=1和ξ>1时：单调上升过渡过程的持续时间：无振荡单调上升的曲线：ξ=1时的时间t最短；在欠阻尼系统中，当ξ=0.4-0.8时，时间比ξ=1时的更短，而且振荡不太严重设计：二阶系统一般工作在ξ=0.4-0.8的欠阻尼状态保证振荡适度、持续时间较短特征参数 与ξ值 决定 瞬态响应 决定 过渡过程机械工程 在根据给定的性能指标设计系统时，将一阶系统与二阶系统相比，通常选择二阶系统，这是因为二阶系统容易得到较短的过渡过程时间，并且也能同时满足对振荡性能的要求。

机械工程三． 二阶系统响应的性能指标考虑：一）产生阶跃输入比较容易，而且从单位阶跃响应也较容易求得任何其它输入的响应；二）在实际中，许多输入与阶跃输入相似，而且阶跃输入又往往是实际中最不利的输入情况因此:性能指标以系统对单位阶跃输入的时域响应量值给出因为：无振荡的单调过程的过渡时间太长，故除了那些不允许产生振荡的系统外，通常都允许系统有适度的振荡，以获得较短的过渡过程时间所以：在设计二阶系统时，常使系统在欠阻尼（通常取 ）状态下工作 机械工程有关二阶系统响应的性能指标的定义及计算公式除特别说明者外，都是针对欠阻尼二阶系统而言的；更确切地说，是针对欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应的过渡过程而言的 欠阻尼二阶系统的单位阶响应的过渡过程的特性，通常采用下列性能指标（见图3.4.4）描述:机械工程（1）上升时间（2）峰值时间 （3）最大超调量（4）调整时间 （5）振荡次数N机械工程1、 上升时间 响应曲线从原工作状态出发，第一次达到输出稳态值所需的时间定义为上升时间（对于过阻尼系统，一般将响应曲线从稳态值的10%上升到6>90%所需的时间称为上升时间）。

欠阻尼二阶系统（ ），阶跃相应为： 根据定义， 时， 由式（3.4.9），得 考虑 故有 令 得 因为上升时间 是 第一次到达输出稳态值的时间，故取 即 由关系式 ，当 增大， 就增大 (3.4.9)机械工程2、峰值时间 响应曲线达到第一个峰值所需的时间定义为峰值时间，将式（3.4.9）对时间t求导数，并令其为零，便可求得峰值时间即由 由定义取 因此 可见峰值时间是有阻尼振荡周期 的一半，另外，由关系式（3.4.15）及 可知，当ξ一定时， 增大， 就减小；当 一定时，ξ增大， 就增大，此情况与 的相同3.4.15)机械工程3、最大超调量 最大超调量定义，即 因为最大超调量发生在峰值时间， 时，故将式（3.4.9）与 代入式（3.4.16），可求得： 超调量 只与阻尼比ξ有关，而与无阻尼固有频率 无关。

所以， 的大小说明系统的阻尼特性当系统阻尼比ξ确定后，即可求得与其相对的超调量 ；反之，如果给出了系统所要求的 ，也可由此确定相应的阻尼比当ξ=0.4～0.8时，相应的超调量 机械工程4、调整时间 是指定微小量，一般取 所需的时间，定义为调整时间 在 之后，系统的输出不会超过下述允许范围： 又因此时 因此 由 所表示的曲线是式（3.4.20）所描述的减幅正弦曲线的包络线，因此，可将由式（3.4.20）所表达的条件改为： 解得代入式（3.4.19），得机械工程 若取 得 若取 得 当 时，可分别将式（3.4.22）和式（3.4.23）近似取为： 与ξ之间的精确关系，可由式（3.4.20）求得，当 ， 为最小；当 ， 为最小，在设计二阶系统时，一般取 作为最佳阻尼比 此时不仅 小，而且起调量 也不大，取 的另一理由将在§4.4中说明。

（3.4.22）（3.4.23） 机械工程 具体设计：根据最大超调量 的要求，确定阻尼ξ，所以调整时间 主要是根据系统的 来确定的由此可见，二阶系统的特征参数 决定系统的调整时间 和最大超调量 ；反过来，根据对 的要求，也能确定二阶系统的特征参数 机械工程5、振荡次数N 在过渡过程时间 内， 穿越其稳态值 的次数的一半定义为振荡次数，从式（3.4.10）可知，系统的振荡周期是 所以其振荡次数为： 因此，当 时，由 ，得 从式（3.4.24）和式（3.4.25）可以看出，振荡次数N随着ξ的增大而减小，它的大小直接反映了系统的阻尼特性3.4.24） （3.4.25）机械工程由以上讨论，可得如下结论： （1）要使二阶系统具有满意的动态性能指标，必须选择合适的阻尼比ξ和无阻尼固有频率 ，提高 ，可以提高系统的响应速度，减少增大ξ，可以减弱系统的振荡性能，降低 ，减小N，但增大 一般情况下，系统在欠阻尼状态 下工作，通常根据允许的超调量来选择阻尼比ξ. （2）系统的响应速度与振荡性能（稳定性）之间是存在矛盾的。

要兼顾系统的振荡性能和响应速度，就要选取合适的ξ和 值 机械工程四.二阶系统计算举例 解 由图3.4.6（a）可知， 是阶跃力输入， ＝8.9N， 是输出位移由图3.4.6（b）可知系统的稳态输出 ＝0.03m， ＝0.0029m， ，此系统的传递函数显然为： 式中：机械工程（1）求k 由Laplace变换的终值定理可知： 而 ＝0.03m，因此k＝297N/m. 其实，根据Hooker定律很容易直接计算k因为 即为静变形， 即可视为静载荷，从而有 即得机械工程(2 ) 求m 由式（3.4.16）得 又由式（3.4.17）求得 将 代入 中，得 再由 求得m＝77.3kg （3） 求c 由 ，求得机械工程例3. 解 (1) 将系统的闭环传递函数写成如式（3.4.1）所示的标准型式： 对照式（3.4.1），可知此二阶系统的 和 将ξ值代入式（3.4.17）得 但 ，故不能满足本题要求。

机械工程(2)图3.4.7（b）所示系统的闭环传递函数为： 为了满足条件： ，由式（3.4.17）算得 现因 ，而 从而求得 从此题可以看出，如第二章所讲，当系统加入微分负反馈时，相当于增加了系统的阻尼比ξ，改善了系统振荡性能，即减小了 ，但并没有改变无阻尼固有频率 机械工程 § 3.5 高阶系统的响应分析 实际上，大量的系统，用高阶微分方程来描述这种系统叫做高阶系统对高阶系统的研究和分析，一般是比较复杂的在分析高阶系统时，要抓住主要矛盾，忽略次要因素，使问题简化为零阶、一阶与二阶环节等的组合，而且也可包含延时环节，而一般所关注的，往往是高阶系统中的二阶振荡环节的特性因此，本节将着重阐明高阶系统过渡过程的闭环主导极点的概念，并利用这一概念，将高阶系统简化为二阶振荡系统机械工程 3．5．1 高阶系统的时间响应分析 设高阶系统的动力学方程（此处未计入延时环节）为： 于是系统的传递函数为： （3.5.1）机械工程若n阶系统的传递函数有q个实数极点和2r个共轭复数极点（包含共轭虚数）则可写成为： 故系统的单位阶跃响应函数的Laplace变换式为： 式中机械工程 由以上分析可知，在系统的传递函数的极点中，如果距虚轴最近的一对共轭复数极点的附近没有零点，而其他的极点距虚轴的距离都在这对极点距虚距离的五倍数上时，则系统的过渡过程的形式及其性能指标主要取决于距虚轴最近的这对共轭复数极点。

这种距虚轴最近的极点称为“主导极点”，它们经常以共轭复数的形式成对出现 应用主导极点分析 高阶系统的过渡过程，实质上就是把高阶系统近似作为二创振荡系统来处理，。