《泰勒公式证明（共6篇）》.doc

《泰勒公式证明（共6篇）》第1篇：泰勒公式 华东师范大学数学系编《数学分析》第三版上册教案第六章 微分中值定理及其应用黔西南民族师专数学系§3 泰勒公式教学章节：第六章 微分中值定理及其应用——§3 泰勒公式 教学目的：掌握Taylor公式，并能应用它解决一些有关的问题.教学要求：（1）深刻理解Taylor定理，掌握Taylor公式，熟悉两种不同余项的Taylor公式及其之间的差异；（2）掌握并熟记一些常用初等函数和Taylor展开公式，并能加以应用.（3）会用带Taylor型余项的Taylor公式进行近似计算并估计误差；会用代Peanlo余项的Taylor公式求某些函数的极限.教学重点：Taylor公式教学难点：Taylor定理的证明及应用.教学方法：系统讲授法.教学程序：引 言不论在近似计算或理论分析中，我们希望能用一个简单的函数来近似一个比较复杂的函数，这将会带来很大的方便.一般来说，最简单的是多项式，因为多项式是关于变量加、减、乘的运算，但是，怎样从一个函数本身得出我们所需要的多项式呢？上一节中，讨论过“微分在近似计算中的应用”从中我们知道，如果函数f在点x0可导，则有有限存在公式；f(x)=f(x0)+f¢(x0)(x-x0)+0(x-x0)即在x0附近，用一次多项式p1(x)=f(x0)+f¢(x0)(x-x0)逼近函数f(x)时，其误差为0(x-x0).然而，在很大场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为0(x-x0)，其中n为多项式次数.为此，有如下的n次多项式：pn(x)=a0+a1(x-x0)+L+an(x-x0)n易见：(n)¢(x0)¢¢(x0)pnpnpn(x0)，a2=，„，an=（多项式的系数由其各阶导数在a0=pn(x0)，a1=1!2!n!x0的取值唯一确定）.对于一般的函数，设它在x0点存在直到n阶导数，由这些导数构造一个n次多项式如下：f¢(x0)f(n)(x0)Tn(x)=f(x0)+(x-x0)+L+(x-x0)n1!n!f(k)(x0)称为函数f在点x0处泰勒多项式，Tn(x)的各项函数，（k＝1,2,„,n）称为泰勒系数.k!问题 当用泰勒多项式逼近f(x)时，其误差为f(x)-Tn(x)=0((x-x0)n)3 华东师范大学数学系编《数学分析》第三版上册教案第六章 微分中值定理及其应用黔西南民族师专数学系一、带有皮亚诺余项的泰勒公式定理1 若函数f在点x0存在直至n阶导数，则有f(x)=Tn(x)+0((x-x0)n)，即f¢(x0)f(n)(x0)f(x)=f(x0)+(x-x0)+L+(x-x0)n+0((x-x0)n)1!n!即函数f在点x0处的泰勒公式；Rn(x)=f(x)-Tn(x)称为泰勒公式的余项.证明：设Rn(x)=f(x)-Tn(x), G(x)=(x-a)n.应用L¢Hospital法则n-1次, 并注意到f(n)(a)存在, 就有(n-1)Rn(x)Rn(x)f(n-1)(x)-f(n-1)(a)-f(n)(a)(x-a) lim= =lim(n-1)=limx®aG(x)x®aGx®a(x)n(n-1)L2(x-a)æf(n-1)(x)-f(n-1)(a)ö1(n)÷ =limç-f(a)=0.ç÷x®an!èx-aø称Rn(x)=o(x-a)n为Taylor公式的Peano型余项, 相应的Maclaurin公式的Peano型余项为Rn(x)=o(xn).并称带有这种形式余项的Taylor公式为具Peano型余项的Taylor公式( 或Maclaurin公式 ).注1、若nf(x)在点x0附近函数满足f(x)=Pn(x)+0((x-x0))，其中()pn(x)必定是f的泰勒多项式Tn(x).但pn(x=)a0+a1x-(x+)+anx-x(n，这并不意味着)0L0pn(x)并非f(x)的泰勒多项式Tn(x).（因为除f¢(0)=0外，f在x＝0出不再存在其它等于一阶的导数.）；n2、满足条件f(x)=Pn(x)+0((x-x0))的n次逼近多项式pn(x)是唯一的.由此可知，当fn满足定理1的条件时，满足要求f(x)=Pn(x)+0((x-x0))的多项式pn(x)一定是f在x0点的泰勒多项式Tn(x)；3、泰勒公式x0＝0的特殊情形――麦克劳林（Maclauyin）公式：f¢(0)f(n)(0)nf(x)=f(0)+x+L+x+0(xn)1!n!引申：定理1给出了用泰勒多项式来代替函数y＝f(x)时余项大小的一种估计，但这种估计只告诉我们当x®x0时，误差是较(x-x0)n高阶的无穷小量，这是一种“定性”的说法，并未从“量”上加以描述；换言之，当点给定时，相应的误差到底有多大？这从带Peano余项的泰勒公式上看不出来.为此，我们有有必要余项作深入的讨论，以便得到一个易于计算或估计误差的形式.4 华东师范大学数学系编《数学分析》第三版上册教案第六章 微分中值定理及其应用黔西南民族师专数学系二、带有Lagrange型余项的Taylor公式定理2（泰勒） 若函数f在[a,b]上存在直到n阶的连续导函数，在(a,b)内存在n＋1阶导函数，则对任意给定的x,x0Î[a,b]，至少存在一点xÎ(a,b)使得：f¢(x0)f(n)(x0)f(n+1)(x)nf(x)=f(x0)+(x-x0)+L+(x-x0)+(x-x0)n+1 （1）1!n!(n+1)!f(n+1)(x)(x-x0)n+1，记 证明：记R(x)=f(x)-T(x)，要证Rn(x)=nn(n+1)!Qn(x)=(x-x0)n+1，不妨设x0