高考数学一轮复习第2节　同角三角函数的基本关系式与诱导公式.pdf

1 / 13 第 2 节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 知 识 梳 理 1同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2cos21 (2)商数关系：sin cos tan_ 2三角函数的诱导公式 1特殊角的三角函数值 0 6 4 3 2 32 sin 0 12 22 32 1 0 1 cos 1 32 22 12 0 1 0 tan 0 33 1 3 不存在 0 不存在 2.诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限“奇”与“偶”指的是诱导公式 k2 中的整数 k 是奇数还是偶数“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若 k 是奇数，则正、余弦互变；若 k 为偶数，则函数名称不变“符号看象限”指的是在 k2 中，将 看成锐角时 k2所在的象限 诊 断 自 测 1判断下列说法的正误 (1)sin()sin 成立的条件是 为锐角( ) (2)六组诱导公式中的角 可以是任意角( ) 2 / 13 (3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化( ) (4)若 sin(k)13(kZ)，则 sin 13.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 解析 (1)对于 R，sin()sin 都成立 (4)当 k 为奇数时，sin 13，当 k 为偶数时，sin 13. 2sin 600 的值为( ) A12 B32 C.12 D.32 答案 B 解析 sin 600 sin(360 240 )sin 240 sin(180 60 )sin 60 32. 3已知 sin2 35，2， ，则 tan ( ) A.34 B34 C43 D.43 答案 C 解析 sin2 cos 35，又 2， ，则 sin 1cos245，则 tan sin cos 43，故选 C. 4已知 sin cos 43，0，4，则 sin cos 的值为( ) A.23 B23 C.13 D13 答案 B 解析 sin cos 43，12sin cos 169， sin cos 718. 又(sin cos )212sin cos 29， 又0，4，sin cos 23. 5(必修 4P22B3 改编)已知 tan 2，则sin cos sin cos 的值为_ 答案 3 解析 原式tan 1tan 121213. 3 / 13 6(2020 嘉兴期末)已知 Psin 56，cos 56是角 的终边上一点，则 cos _；角 的最小正值是_ 答案 12 53 解析 Psin 56，cos 56是角 的终边上一点，所以 cos sin 5612，sin cos 5632，所以2k53(kZ)，所以当 k0时，角 取最小正值53. 考点一 同角三角函数基本关系式的应用 【例 1】 (1)(2021 浙江教育绿色评价联盟适考)已知 为第二象限角，且 3sin cos 0，则 sin ( ) A.1010 B.3 1010 C1010 D3 1010 (2)已知 sin cos 18，且5432，则 cos sin 的值为( ) A32 B.32 C34 D.34 (3)若 tan 34，则 cos22sin 2( ) A.6425 B.4825 C1 D.1625 答案 (1)A (2)B (3)A 解析 (1)由 3sin cos ，两边平方得 9sin21sin2，则 sin 1010，又为第二角限角，所以 sin 0，则 sin 1010，故选 A. (2)5432， cos 0，sin sin ， cos sin 0. 又(cos sin )212sin cos 121834， cos sin 32. (3)tan 34，则 cos22sin 2cos22sin 2cos2sin214tan 1tan26425. 4 / 13 感悟升华 (1)利用 sin2cos21 可以实现角 的正弦、余弦的互化，利用sin cos tan 可以实现角 的弦切互化 (2)应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，利用(sin cos )21 2sin cos ，可以知一求二 (3)注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2. 【训练 1】 (1)已知 sin cos 2，(0，)，则 tan ( ) A1 B22 C.22 D1 (2)若 3sin cos 0，则1cos22sin cos 的值为( ) A.103 B.53 C.23 D2 (3)已知 sin 13，0，则 tan _， sin 2cos 2_ 答案 (1)A (2)A (3)24 2 33 解析 (1)由sin cos 2，sin2cos21， 得：2cos22 2cos 10， 即()2cos 120，cos 22. 又 (0，)，34，tan tan 341. (2)3sin cos 0cos 0tan 13，1cos22sin cos cos2sin2cos22sin cos 1tan212tan 1132123103. (3)因为 0，所以 tan sin cos sin2cos2 sin21sin224，又 022，所以 sin 20， 5 / 13 cos 20，所以 sin 2cos 2sin 2cos 2212sin 2cos 21sin 2 33. 考点二 诱导公式的应用 【例 2】 (1)化简：sin(1 200 )cos 1 290 cos(1 020 ) sin(1 050 )； (2)设 f()2sin（）cos（）cos（）1sin2cos32 sin22(12sin 0)，求 f236的值 解 (1)原式sin 1 200 cos 1 290 cos 1 020 sin 1 050 sin(3360 120 )cos(3360 210 )cos(2360 300 )sin(2360 330 ) sin 120 cos 210cos 300 sin 330 sin(180 60 )cos(180 30 )cos(360 60 ) sin(360 30 )sin 60 cos 30cos 60 sin 30 323212121. (2)f()（2sin ）（cos ）cos 1sin2sin cos2 2sin cos cos 2sin2sin cos （12sin ）sin （12sin ）1tan ， f2361tan2361tan46 1tan6 3. 感悟升华 (1)诱导公式的两个应用 求值：负化正，大化小，化到锐角为终了 化简：统一角，统一名，同角名少为终了 (2)含 2整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有 2 的整数倍的三角函数式中可直接将2 的整数倍去掉后再进行运算，如 cos(5)cos()cos . 【训练 2】 (1)已知 Asin（k）sin cos（k）cos (kZ)，则 A 的值构成的集合是( ) A1，1，2，2 B1，1 C2，2 D1，1，0，2，2 6 / 13 (2)化简：tan（）cos（2）sin32cos（）sin（）_ 答案 (1)C (2)1 解析 (1)当 k 为偶数时，Asin sin cos cos 2； k 为奇数时，Asin sin cos cos 2. (2)原式tan cos （cos ）cos（） sin（） tan cos cos cos sin sin cos cos sin 1. 考点三 诱导公式、同角三角函数关系式的综合 应用 【例 3】 (1)已知 tan6 33，则 tan56 _ (2)已知 cos512 13，且2，则 cos12 ( ) A.2 23 B.13 C13 D2 23 (3)若1sin 1cos 3，则 sin cos ( ) A13 B.13 C13或 1 D.13或1 答案 (1)33 (2)D (3)A 解析 (1)56 6 ， tan56 tan6 tan633. (2)因为512 12 2， 所以 cos12 sin212 sin512 . 因为2，所以7125120，所以251212， 7 / 13 所以 sin512 1cos2512 11322 23. (3)由已知得 sin cos 3sin cos ， 12sin cos 3sin2cos2 ， (sin cos 1)(3sin cos 1)0， sin cos 12sin 212， sin cos 13. 感悟升华 (1)常见的互余的角：3 与6；3 与6；4 与4等 (2)常见的互补的角：3与23；4与34等 【 训 练3 】 (1) 已 知sin312， 则cos6_. (2)设函数 f(x)(xR)满足 f(x)f(x)sin x，当 0 x 时，f(x)0，则 f236( ) A.12 B.32 C0 D12 (3)设 aR，b0，2若对任意实数 x 都有 sin3x3sin(axb)，则满足条件的有序实数对(a，b)的对数为( ) A1 B2 C3 D4 答案 (1)12 (2)A (3)B 解析 (1)3 6 2， cos6 cos23 sin3 12. (2)由 f(x)f(x)sin x，得 f(x2)f(x)sin(x)f(x)sin xsin xf(x)， 所以 f236 f1162 f116 f56 f56 sin56. 因为当 0 x时，f(x)0. 8 / 13 所以 f236 01212. (3)sin3x3sin3x32 sin3x53， (a，b)3，53，又 sin3x3sin3x3sin3x43，(a，b)3，43，注意到 b0，2，只有这两组故选 B. 基础巩固题组 一、选择题 1. 12sin（2）cos（2）( ) Asin 2cos 2 Bsin 2cos 2 C (sin 2cos 2) Dcos 2sin 2 答案 A 解析 12sin（2）cos（2） 12sin 2cos 2 （sin 2cos 2）2|sin 2cos 2|sin 2cos 2. 2cos12 13，则 sin512 ( ) A.13 B.2 23 C13 D2 23 答案 A 解析 sin512 sin212 cos12 13. 3(2021 湖州中学质检一)若 cos()12，则( ) Asin()32 Bsin2 32 Ccos()12 Dcos()12 答案 D 9 / 13 解析 由 cos()12得 cos 12，则 sin 32，sin()sin 32，选项 A 错误；sin2 cos 12，选项 B 错误；cos()cos 12，选项 C错误，选项 D正确，故选 D. 4已知 tan 12，且 ，32，则 sin ( ) A55 B.55 C.2 55 D2 55 答案 A 解析 tan 120，且 ，32，sin 0， sin2sin2sin2cos2tan2tan211414115， sin 55. 5已知 sin 55，则 sin4cos4的值为( ) A15 B35 C.15 D.35 答案 B 解析 sin4cos4sin2cos22sin2135. 6向量 a13，tan ，b(cos ，1)，且 ab，则 cos2 ( ) A13 B.13 C23 D2 23 答案 A 解析 a13，tan ，b(cos ，1)，且 ab， 131tan cos 0，sin 13， cos2 sin 13. 7已知 tan 3，则12sin cos sin2cos2的值是( ) A.12 B2 C12 D2 答案 B 解析 原式sin2cos22sin cos sin2cos2 10 / 13 （sin cos ）2（sin cos ）（sin cos ）sin cos sin cos tan 1tan 131312. 8已知函数 f(x)asin(x)bcos(x)，且 f(。