2020年数学一题目.docx

2020年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题1、 选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上.（1） 当时，下列无穷小量中最高阶的是（ ）(A) （B） （C） （D）（2） 设函数在区间上有定义，且则（ ）（A） 当时，在处可导（B） 当时，在处可导（C） 在处可导时，；（D） 在处可导时，（3） 在处可微，，，非零向量，则（ ）（A） 存在 (B）存在(B) 存在 （D）存在（4） 为幂级数收敛半径，为实数，则（ ）(A) 发散，则 （B）收敛，则 (B) ,发散 (D)，收敛（5） 矩阵A由初等列变换为矩阵B，则（ ）(A) 存在矩阵，使 （B）存在矩阵，使 （B） 存在矩阵，使 （D）方程组与同解（6） 已知，相交于一点，令，则（ ）(A) 可以由线性表示 （B）可以由线性表示(C)可以由线性表示 （D）线性无关（7）则恰好发生一个的概率为（ ）（A） （B） （C） （D） （8）设为来自总体的简单随机样本，其中，表示标准正态分布函数，则由中心极限定理可知，的近似值为（ ）（A） （B） （C） （D） 二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分． 请将答案写作答题纸指定的位置上.(9) (10)设，则(11)设函数满足且，则.（12）设函数，则（13）行列式(14)已知随机变量服从区间的均匀分布,，则三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（15）（本题满分10分）求函数的极值.（16） （本题满分10分）计算，其中为，方向为逆时针方向.(17)（本题满分10分）设数列满足证明：当时，幂级数收敛并求其和函数.(18)(本题满分10分） 设为曲面下侧，为连续函数.计算.(19)(本题满分10分）设函数在上具有连续的导数，.证明(1) 存在使得(2) 若对任意则.（20)（本题满分11分）二次型经正交变换化为二次型，.求：（I）的值；（II）正交矩阵（21）(本题满分11分）设为2阶矩阵,，其中是非零向量且不是的特征向量.(1) 证明是可逆阵;(2) 若，求，并判断是否可以相似对角化.(22)(本题满分11分）设随机变量相互独立，其中服从标准正态分布，的概率分布为，，求(1) 求二维随机变量的分布函数，结果用标准正态分布F(x)表示；(2)证明随机变量Y 服从标准正态分布.（23）(本题满分11分）设某种元件的使用寿命T 的分布函数为（1）求概率 P{T > t}与 P{T > s + t T > s}，其中 s > 0,t > 0 ； （2）任取 n 个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为，若已知，求的最大似然估计值.。