曲面积分的计算曲面积分计算.ppt

已已 知知 向向 量量 A=x2i+y2j+z2k,Σ为为 圆圆 柱柱 x2+y2 ≤a2(0≤z≤h)的的全全表表面面，，求求A穿穿过过曲曲面面Σ而而流流向向其其外外侧侧的通量的通量 解：解：例例5.5.2021/7/11内容小结内容小结1. 高斯公式及其应用公式:应用: (1) 计算曲面积分 (非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)(2) 推出闭曲面积分为零的充要条件: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/122. 通量与散度 设向量场P, Q, R, 在域G内有一阶 连续 偏导数, 则 向量场通过有向曲面  的通量通量为 G 内任意点处的散度散度为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/131. 基本方法基本方法曲面积分曲面积分第一类第一类( ( 对面积对面积 ) )第二类第二类( ( 对坐标对坐标 ) )转化转化二重积分二重积分(1) (1) 统一积分变量统一积分变量 — — 代入曲面方程代入曲面方程(2) (2) 积分元素投影积分元素投影第一类第一类: : 始终非负始终非负第二类第二类: : 有向投影有向投影(3) (3) 确定二重积分域确定二重积分域— — 把曲面积分域投影到相关坐标面把曲面积分域投影到相关坐标面习题课（习题课（2））曲面积分的计算法曲面积分的计算法2021/7/14思思 考考 题题1) 1) 二重积分是哪一类积分二重积分是哪一类积分? ? 答答: : 第一类曲面积分的特例第一类曲面积分的特例. .2) 2) 设曲面设曲面问下列等式是否成立问下列等式是否成立? ? 不对不对 ! ! 对坐标的积分与对坐标的积分与   的的侧侧有关有关 2021/7/152. 基本技巧基本技巧(1) (1) 利用对称性及重心公式简化计算利用对称性及重心公式简化计算(2) (2) 利用高斯公式利用高斯公式注意公式使用条件注意公式使用条件添加辅助面的技巧添加辅助面的技巧( (辅助面一般取平行坐标面的平面辅助面一般取平行坐标面的平面) )(3) (3) 两类曲面积分的转化两类曲面积分的转化2021/7/16练习练习: :的上侧的上侧. .且取下侧且取下侧 , , 提示提示: : 以半球底面以半球底面原式原式 = =记半球域为记半球域为  , ,高斯公式有高斯公式有例例1. 1. 计算计算为辅助面为辅助面, , 利用利用其中其中 为半球面为半球面2021/7/17例例2. 2. 计算曲面积分计算曲面积分其中其中, ,解解: :思考思考: : 本题本题 改为椭球面改为椭球面时时, ,应如何应如何计算计算 ? ?提示提示: : 在椭球面内作辅助小球面在椭球面内作辅助小球面内侧内侧, , 然后用高斯公式然后用高斯公式 . .2021/7/18例例3.3.计算曲面积分计算曲面积分中中 是球面是球面解解: : 利用对称性利用对称性用重心公式用重心公式2021/7/19 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！。